2026届江西省全南县初三第三次诊断考试数学试题理试题含解析.doc

2026届江西省全南县初三第三次诊断考试数学试题理试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是　　
已知：如图，在中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且，，
求证：∽．
证明：又，，，，∽．

A． B． C． D．
2．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．在下列各平面图形中，是圆锥的表面展开图的是( )
A． B． C． D．
4．下列计算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．计算：得（　　）
A．- B．- C．- D．
6．二次函数y＝x2﹣6x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
7．边长相等的正三角形和正六边形的面积之比为（ ）
A．1∶3 B．2∶3 C．1∶6 D．1∶
8．当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
9．如图是我市4月1日至7日一周内“日平均气温变化统计图”，在这组数据中，众数和中位数分别是（ ）

A．13；13 B．14；10 C．14；13 D．13；14
10．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________.
12．如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，动点P从点A出发，沿AB匀速运动，到达点B时停止，设点P所走的路程为x，线段OP的长为y，若y与x之间的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的周长为_____．

13．在数轴上，点A和点B分别表示数a和b，且在原点的两侧，若=2016，AO=2BO，则a+b=_____
14．某种水果的售价为每千克a元，用面值为50元的人民币购买了3千克这种水果，应找回 元（用含a的代数式表示）．
15．如图，圆锥底面半径为r cm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为 ．

16．一个两位数，个位数字比十位数字大4，且个位数字与十位数字的和为10，则这个两位数为_______．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据≈1.732）

18．（8分）化简：.
19．（8分）某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，、两地相距10千米，甲班从地出发匀速步行到地，乙班从地出发匀速步行到地.两班同时出发，相向而行.设步行时间为小时，甲、乙两班离地的距离分别为千米、千米，、与的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：直接写出、与的函数关系式；求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离地多少千米？甲、乙两班相距4千米时所用时间是多少小时?

20．（8分）小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．

21．（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．

（1）填空：∠AHC　 　∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
22．（10分）如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）2+m也经过点A，其顶点为B，将该抛物线沿直线l平移使顶点B落在直线l的点D处，点D的横坐标n（n＞1）．

（1）求点B的坐标；
（2）平移后的抛物线可以表示为　　（用含n的式子表示）；
（3）若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，且点C的横坐标为a．
①请写出a与n的函数关系式．
②如图2，连接AC，CD，若∠ACD=90°，求a的值．
23．（12分）先化简，再求值：（﹣m+1）÷，其中m的值从﹣1，0，2中选取．
24．如图，在△OAB中，OA=OB，C为AB中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，AO与⊙O交于点E，OB与⊙O交于点F和D，连接EF，CF，CF与OA交于点G
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）求证：△GOC∽△GEF；
（3）若AB=4BD，求sinA的值．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、B
【解析】
根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤；
【详解】
证明：，
，
又，
，
∽．
故选B．
本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．
2、A
【解析】
试题分析：已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，由垂径定理可得AD=BD=4，在Rt△ADO中，由勾股定理可得OD=3，所以CD=OC-OD=5-3=2.故选A.
考点：垂径定理；勾股定理.
3、C
【解析】
结合圆锥的平面展开图的特征，侧面展开是一个扇形，底面展开是一个圆．
【详解】
解：圆锥的展开图是由一个扇形和一个圆形组成的图形．
故选C．
考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的展开图的特征，是解决此类问题的关键．注意圆锥的平面展开图是一个扇形和一个圆组成．
4、C
【解析】
利用幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项及零指数幂的定义分别计算后即可确定正确的选项．
【详解】
A、原式，故错误；
B、原式，故错误；
C、利用合并同类项的知识可知该选项正确；
D、，，所以原式无意义，错误，
故选C．
本题考查了幂的运算性质及特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是能够利用有关法则进行正确的运算，难度不大．
5、B
【解析】
同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化．
【详解】
-
故选B.
本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
6、C
【解析】
根据二次函数解析式求得对称轴是x=3，由抛物线的对称性得到答案．
【详解】
解：由二次函数得到对称轴是直线，则抛物线与轴的两个交点坐标关于直线对称，
∵其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为，
故选C．
考查抛物线与x轴的交点坐标，解题关键是掌握抛物线的对称性质．
7、C
【解析】
解：设正三角形的边长为1a，则正六边形的边长为1a．过A作AD⊥BC于D，则∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=1a•=a，∴S△ABC=BC•AD=×1a×a=a1．

连接OA、OB，过O作OD⊥AB．

∵∠AOB==20°，∴∠AOD=30°，∴OD=OB•cos30°=1a•=a，∴S△ABO=BA•OD=×1a×a=a1，∴正六边形的面积为：2a1， ∴边长相等的正三角形和正六边形的面积之比为：a1：2a1=1：2．故选C．
点睛：本题主要考查了正三角形与正六边形的性质，根据已知利用解直角三角形知识求出正六边形面积是解题的关键．
8、D
【解析】
∵ab＞0，∴a、b同号．当a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；
当a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B图象符合要求．
故选B．
9、C
【解析】
根据统计图，利用众数与中位数的概念即可得出答案．
【详解】
从统计图中可以得出这一周的气温分别是：12,15,14,10,13,14,11
所以众数为14；
将气温按从低到高的顺序排列为：10,11,12,13,14,14,15
所以中位数为13
故选：C．
本题主要考查中位数和众数，掌握中位数和众数的求法是解题的关键．
10、D
【解析】
A，B，C只能通过旋转得到，D既可经过平移，又可经过旋转得到，故选D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、k＞－且k≠1
【解析】
由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，
所以△＞1，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞1．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠1，
∴k＞-1/4 且k≠1．
12、1
【解析】
分析：根据点P的移动规律，当OP⊥BC时取最小值2，根据矩形的性质求得矩形的长与宽，易得该矩形的周长．
详解：∵当OP⊥AB时，OP最小，且此时AP=4，OP=2，
∴AB=2AP=8，AD=2OP=6，
∴C矩形ABCD=2（AB+AD）=2×（8+6）=1．
故答案为1．
点睛：本题考查了动点问题的函数图象，关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出AP=4，OP=2．
13、-672或672
【解析】
∵ ，∴a-b=±2016,
∵AO=2BO，A和点B分别在原点的两侧
∴a=-2b.
当a-b=2016时，∴-2b-b=2016,
解得：b=-672.
∴a=−2×(-672)=1342,
∴a+b=1344+(-672)=672.同理可得当a-b=-2016时，a+b=-672, ∴a+b=±672,
故答案为：−672或672.
14、（50-3a）.
【解析】
试题解析：∵购买这种售价是每千克a元的水果3千克需3a元，
∴根据题意，应找回（50-3a）元．
考点：列代数式.
15、1．
【解析】
试题分析：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为211°的扇形，
∴2πr=×2π×10，解得r=1．
故答案为：1．
【考点】圆锥的计算．
16、37
【解析】
根据题意列出一元一次方程即可求解.
【详解】
解：设十位上的数字为a,则个位上的数为（a+4）,依题意得：
a+a+4=10,
解得：a=3,
∴这个两位数为：37
本题考查了一元一次方程的实际应用,属于简单题,找到等量关系是解题关键.

三、解答题（共8题，共72分）
17、隧道最短为1093米．
【解析】
【分析】作BD⊥AC于D，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
【详解】如图，作BD⊥AC于D，

由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米），
∠BAC=30°，∠BCA=45°，
在Rt△ABD中，
∵tan30°=，即，
∴AD=400（米），
在Rt△BCD中，
∵tan45°=，即，
∴CD=400（米），
∴AC=AD+CD=400+400≈1092.8≈1093（米），
答：隧道最短为1093米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.
18、
【解析】
原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
【详解】
解：原式．
19、（1）y1=4x，y2=-5x+1．（2）km．（3）h．
【解析】
（1）由图象直接写出函数关系式；
（2）若相遇，甲乙走的总路程之和等于两地的距离.
【详解】
(1)根据图可以得到甲2.5小时,走1千米,则每小时走4千米,则函数关系是：y1=4x，
乙班从B地出发匀速步行到A地,2小时走了1千米,则每小时走5千米,则函数关系式是：y2=−5x+1.
(2)由图象可知甲班速度为4km/h，乙班速度为5km/h，
设甲、乙两班学生出发后，x小时相遇，则
4x+5x=1，
解得x=.
当x=时,y2=−5×+1=，
∴相遇时乙班离A地为km.
(3)甲、乙两班首次相距4千米，
即两班走的路程之和为6km，
故4x+5x=6，
解得x=h.
∴甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是h.
20、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：(1)、3个等只有一个控制楼梯，则概率就是1÷3；(2)、根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出概率.
试题解析：(1)、小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：
(2)、画树状图得：

结果：（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，C）、（C，A）、（C，B）
∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是=.
考点：概率的计算.
21、（1）=；（2）结论：AC2＝AG•AH．理由见解析；（3）①△AGH的面积不变．②m的值为或2或8﹣4．.
【解析】
（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=43°，∠ACH+∠ACG=43°，即可推出∠AHC=∠ACG；
（2）结论：AC2=AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；
（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；
②分三种情形分别求解即可解决问题.
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝43°，
∴AC＝，
∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝43°，∠ACH+∠ACG＝43°，
∴∠AHC＝∠ACG．
故答案为＝．
（2）结论：AC2＝AG•AH．
理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝133°，
∴△AHC∽△ACG，
∴，
∴AC2＝AG•AH．
（3）①△AGH的面积不变．
理由：∵S△AGH＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝1．
∴△AGH的面积为1．
②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，

可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，
∵BC∥AH，
∴,
∴AE＝AB＝．
如图2中，当CH＝HG时，

易证AH＝BC＝4，
∵BC∥AH，
∴＝1，
∴AE＝BE＝2．
如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.3．

在BC上取一点M，使得BM＝BE，
∴∠BME＝∠BEM＝43°，
∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，
∴∠MCE＝∠MEC＝22.3°，
∴CM＝EM，设BM＝BE＝m，则CM＝EMm，
∴m+m＝4，
∴m＝4（﹣1），
∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，
综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22、（1）B（1，1）；（2）y=（x﹣n）2+2﹣n．（3）a=；a=+1.
【解析】
1) 首先求得点A的坐标, 再求得点B的坐标, 用h表示出点D的坐标后代入直线的解析式即可验证答案。
(2) ①根据两种不同的表示形式得到m和h之间的函数关系即可。
②点C作y轴的垂线, 垂足为E, 过点D作DF⊥CE于点F, 证得△ACE~△CDF, 然后用m表示出点C和点D的坐标, 根据相似三角形的性质求得m的值即可。
【详解】
解：（1）当x=0时候，y=﹣x+2=2，
∴A（0，2），
把A（0，2）代入y=（x﹣1）2+m，得1+m=2
∴m=1．
∴y=（x﹣1）2+1，
∴B（1，1）
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2+1，
∵∵D（n，2﹣n），
∴则平移后抛物线的解析式为：y=（x﹣n）2+2﹣n．
故答案是：y=（x﹣n）2+2﹣n．
（3）①∵C是两个抛物线的交点，
∴点C的纵坐标可以表示为：
（a﹣1）2+1或（a﹣n）2﹣n+2
由题意得（a﹣1）2+1=（a﹣n）2﹣n+2，
整理得2an﹣2a=n2﹣n
∵n＞1
∴a==．
②过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠CDF
又∵∠AEC=∠DFC
∴△ACE∽△CDF
∴=．
又∵C（a，a2﹣2a+2），D（2a，2﹣2a），
∴AE=a2﹣2a，DF=m2，CE=CF=a
∴=
∴a2﹣2a=1
解得：a=±+1
∵n＞1
∴a=＞
∴a=+1
【点睛】本题主要考查二次函数的应用和相似三角形的判定与性质，需综合运用各知识求解。
23、 ，当m=0时，原式=﹣1．
【解析】
原式括号中两项通分，并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果.根据分数分母不为零的性质，不等于-1、2，将代入原式即可解出答案.
【详解】
解：原式，
，
，
，
∵且，
∴当时，原式．
本题主要考查分数的性质、通分，四则运算法则以及倒数.
24、 (1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】
（1）利用等腰三角形的性质，证明OC⊥AB即可；
（2）证明OC∥EG，推出△GOC∽△GEF即可解决问题；
（3）根据勾股定理和三角函数解答即可．
【详解】
证明：（1）∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB，
∴⊙O是AB的切线．
（2）∵OA=OB，AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OE=OF，
∴∠OFE=∠OEF，
∵∠AOB=∠OFE+∠OEF，
∴∠AOC=∠OEF，
∴OC∥EF，
∴△GOC∽△GEF，
∴，
∵OD=OC，
∴OD•EG=OG•EF．
（3）∵AB=4BD，
∴BC=2BD，设BD=m，BC=2m，OC=OD=r，
在Rt△BOC中，∵OB2=OC2+BC2，
即（r+m）2=r2+（2m）2，
解得：r=1.5m，OB=2.5m，
∴sinA=sinB=.
考查圆的综合题，考查切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．