九年级数学下册 第三章圆 2 圆的对称性第1课时习题课件 北师大版 课件.ppt

2,圆的对称性,第,1,课时,1.,利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理,.(,重点,),2.(1),和圆有关的相关概念的辨析理解,.,(2),垂径定理及其逆定理的应用,.(,重点、难点,),1.,圆的轴对称性,圆是轴对称图形，其对称轴是,_.,2.,和圆相关的概念,(1),弦和直径：弦是连接圆上任意两点间的,_,，直径是经过,_,的弦,.,(2),弧：,_,任意两点间的部分叫做圆弧，简称,_.,(3),等圆和等弧：,_,相等的圆叫等圆，在,_,中，,能够完全,_,的弧叫做等弧,.,任意一条过圆心的直线,线段,圆心,圆上,弧,半径,同圆或等圆,重合,3.,垂径定理及其推论,如图，,CD,为,O,的直径，,AB,为弦,.,【,思考,1】,(1),当,CDAB,，垂足为,E,时，将圆沿直线,CD,对折，点,A,与,点,B,重合吗？你会发现哪些相等的线段和相等的弧？,提示：,重合,.,(2),你能证明,AE=BE,吗？,提示：,连接,OA,，,OB,，则,OA=OB.,CDAB,，,OAE,和,OBE,都是直角三角形,.,又,OE,为公共边，两个直角三角形全等，则,AE=BE.,(3),当,AE=BE,时，将圆沿直线,CD,对折，相等吗？,提示：,连接,OA,，,OB,，则,OE,为等腰,AOB,底边上的中线，,CDAB,，对折后点,A,与点,B,重合，,(4),上述证明是在,AOB,存在即,AB,为非直径的弦的条件下得到的,结论，那么当,AB,为直径时是否成立呢？你能画出图形吗？,提示：,成立,.,如图所示,.,【,总结,】,垂径定理：垂直于弦的直径,_,，并且,_,弦所,对的弧,.,平分弦,平分,【,思考,2,】,(1)AB,是,O,的弦,(,不是直径,),，作一条平分,AB,的直径,CD,，交,AB,于点,E,，那么,CD,会垂直于,AB,吗？还会平分弦所对的两,条弧吗？,提示：,连接,OA,，,OB,，则,OA=OB,，,AOB,为等腰三角形,.,直径,CD,平分,AB,，底边,AB,上的中线,OE,所在的直线,CDAB.CD,为直径，,(2),当弦,AB,为直径时，作一条平分,AB,的直径,CD,，那么,CD,还垂直于,AB,吗？还平分弦所对的两条弧吗？请画图说明,.,提示：,不一定,.,如图，,CD,平分,AB,，但是,CD,不垂直于,AB,，不平分弦所对的两条弧,.,【,总结,】,垂径定理的推论,:,平分弦,(,不是直径,),的直径,_,于弦,并且,_,弦所对的弧,.,垂直,平分,(,打“”或“,”),(1),任意一条直径都是圆的对称轴,.(),(2),半径是一个圆中最短的弦,.(),(3),平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧,.(),(4),等弧一定出现在等圆或同圆中,.(),知识点,1,垂径定理,【,例,1】,如图，,O,的半径为,2,，弦 点,C,在弦,AB,上，,则,OC,的长为,(),【,思路点拨,】,作,ODAB,于点,D,构造两个直角三角形，应用勾,股定理和垂径定理求出,OC,的长度,.,【,自主解答,】,选,D.,如图，作,ODAB,于点,D,，则,由勾股定理，得,【,总结提升,】,垂径定理运用中的,“,两注意,”,1.,两条辅助线：一是过圆心作弦的垂线，二是连接圆心和弦的一端,(,即半径,),，这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理求解,.,2.,方程的思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常常将未知的一条线段设为,x,利用勾股定理构造关于,x,的方程解决问题,.,这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路,.,知识点,2,垂径定理的应用,【,例,2】,如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以,O,为圆心的,圆的一部分，路面,AB=10,米，净高,CD=7,米，则此圆的半径,OA,是,多少米？,【,解题探究,】,1.,根据题意及图示，你能用数学符号语言表述垂径定理吗,(,假设,CE,为,O,的直径,),？,提示：,CE,为,O,的直径，,CEAB,，,2.,如何根据垂径定理求,AD,的长？,提示：,在,O,中，,AB=10,米，,ODAB,，,3,设,O,的半径,OA,为,x,米，请用代数式表示线段,OD,的长,.,提示：,OD,可表示为,(7-x),米,.,4,应用垂径定理计算的关键是寻找以弦的一半、半径和弦到,圆心的垂线段为边的直角三角形,.,利用勾股定理列方程求解，,请你找出此直角三角形，并求解,.,提示：,此直角三角形是,RtAOD.,在,RtAOD,中，,OA,2,=OD,2,+AD,2,，,即,x,2,=(7-x),2,+5,2,，解得,【,总结提升,】,垂径定理基本图形的四变量、两关系,1.,四变量：如图，弦长,a,，圆心到弦的距离,d,半径,r,弧的中点,到弦的距离,(,弓形高,)h,这四个变量知任意两个可求其他两个,.,2.,两关系：,题组一：,垂径定理,1.(2013,广安中考,),如图，已知半径,OD,与弦,AB,互相垂直，垂足,为点,C,，若,AB=8 cm,，,CD=3 cm,，则圆,O,的半径为,(),【,解析,】,选,A.,连接,AO,，设圆,O,的半径是,r cm,则,AO=r cm,CO=(r-,3)cm.,由垂径定理得,在,RtAOC,中，由勾股定理,得,4,2,+(r-3),2,=r,2,，解得,2.(2013,潍坊中考,),如图，,O,的直径,AB=12,，,CD,是,O,的弦，,CDAB,，垂足为,P,，且,BPAP=,15,则,CD,的长为,(),【,解析,】,选,D.,连接,OC,，,OP=4.APCD,，,CP=DP.,在,Rt,OCP,中，,3.,如图，,AB,为,O,的直径，弦,CDAB,于,E,，已知,CD,12,，,BE,2,，则,O,的直径为,(),A.8 B.10,C.16 D.20,【,解析,】,选,D.,连接,OC,，设,OC,的长为,r,，,CD,12,，由垂径定理,可得,CE,6,，,OEC,是直角三角形，,BE,2,，,OE,r,2,，,由勾股定理可得,OC,2,OE,2,+CE,2,，,即,r,2,(r,2),2,+6,2,，解得,r,10,，,O,的直径为,10,2=20.,4.,如图，在半径为,10,的,O,中，如果弦心距,OC=6,，那么弦,AB,的长等于,_.,【,解析,】,连接,OA,，在,RtOAC,中，,OA=10,，,OC=6,，根据勾股定理,得到 因而,AB=2AC=16,，弦,AB,的长等于,16,答案：,16,5.,如图,在,O,中,AB,为,O,的弦,C,D,是直线,AB,上的两点,且,AC=BD,求证：,OCD,是等腰三角形,.,【,证明,】,过,O,点作,OMAB,垂足为,M.OMAB,AM=BM.,AC=BD,CM=DM.,又,OMAB,OC=OD.,OCD,是等腰三角形,.,6.,已知：如图，,PAC=30,，在射线,AC,上顺次截取,AD=3 cm,，,DB=10 cm,，以,DB,为直径作,O,交射线,AP,于,E,，,F,两点，求圆心,O,到,AP,的距离及,EF,的长,.,【,解析,】,过点,O,作,OGAP,于点,G,，连接,OF,，,DB=10 cm,，,OD=5 cm,，,AO=AD+OD=3+5=8(cm),，,PAC=30,，,OGEF,，,EG=GF,，,EF=2GF=6(cm),，,圆心,O,到,AP,的距离为,4 cm,EF,的长为,6 cm.,【,解题技巧,】,解决有关弦的问题,常常需要作辅助线：弦心距和半径,把垂径定理和勾股定理结合起来,.,题组二：,垂径定理的应用,1.,如图,将半径为,2 cm,的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心,O,则折痕,AB,的长为,(),【,解析,】,选,C.,作,ODAB,于,D,连接,OA.,根据,题意得 再根据勾股定理得：,AD=cm,根据垂径定理得,2.(2013,丽水中考,),一条排水管的截面如图所示，,已知排水管的半径,OB=10,，水面宽,AB=16,，则截面,圆心,O,到水面的距离,OC,是,(),A.4 B.5 C.6 D.8,【,解析,】,选,C.,由垂径定理知,OC,垂直平分,AB,，故,BC=8,，由勾股定理得,OC=6.,3.,工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是,10 mm,，测得钢珠顶端离零件表面的距离为,8 mm,，如图所示，则这个小圆孔的宽口,AB,的长度为,_mm.,【,解析,】,设圆心为,O,，过点,O,作,ODAB,于点,D,，根据题意知，,OA=5 mm,，,OD=8,5=3(mm),，根据勾股定理，得：,则,AB=2AD=8 mm.,答案：,8,4.,如图，以点,P,为圆心的圆弧与,x,轴交于,A,，,B,两点，点,P,的坐标为,(4,，,2),，点,A,的坐标为,(2,，,0),，则点,B,的坐标为,_.,【,解析,】,如图，过点,P,作,PCx,轴于,C,，则,OC=4,，,又,OA=2,，所以,AC=2,，根据垂径定理可得,BC=AC=2.,因此，点,B,的坐标为,(6,，,0).,答案：,(6,0),5.,在直径为,52 cm,的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图,如果油的最大深度为,16 cm,那么油面宽度,AB,为,_cm.,【,解析,】,作,OCAB,交,O,于,D,连接,OA,依题意,OC=26-16=10(cm),AC,2,=26,2,-10,2,=24,2,AC=,24(cm).,由垂径定理知,AB=48 cm.,因此油面,宽,AB,为,48 cm.,答案：,48,6.,如图,我国新建一座石拱桥,桥拱是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦长,),为,40 m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,8 m,求桥拱的半径,R.,【,解析,】,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OD,D,为垂足,与 相交于,C.,根据垂径定理,D,是,AB,的中点,C,是 的中点,CD,就是拱高,.,由题设,AB=40 m,CD=8 m,在,RtOAD,中,由勾股定理得,OA,2,=AD,2,+OD,2,即,R,2,=20,2,+(R-8),2,解这个方程得,R=29 m.,【,想一想错在哪？,】,有一个半径为,5,米的排水管，水面宽度为,8,米，求此时水的深度,.,提示：,此题没有给出图形，应该有两个深度,.,