第三章圆-回顾与思考.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 圆,回顾与思考,第三章 圆,圆的概念及性质,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,圆的定义、点与圆的关系,对称性,垂径定理,圆心角、弧、弦,之间关系定理,圆周角与圆心角的关系,切线的性质,切线的判定,切线的作图,圆与圆的五种位置关系,弧长、扇形面积、,圆锥的侧面积,.,O,A,r,平面上到定点的距离等于,定长,的,所有点,组成的图形叫做圆,注,:,确定一个圆需要,两个,元素,:,“,一是位置,二是大小,.,”,圆心,决定,圆的位置,；,半径,决定,圆的大小,一,、,圆的定义,:,若证几点共圆，则证这些点到定点的距离相等。,圆是轴对称图形和中心对称图形,.,对称轴和对称中心分别是,。,点与圆的位置关系,图形,圆心到点的距离,d,与半径,r,的关系,点在圆外,A,点在圆上,A,点在圆内,A,dr,d=r,dr,d,d,d,二,、,点,与,圆,的,位置,关系,三、垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧,.,CDAB,如图,CD,是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.,O,A,B,C,D,M,“,垂径定理,三角形,”,设,OA=,r,OM,=,d,AB,=,a,（如图）在,Rt,AEO,中,已知,a,d,r,其中任意两个量,则可以求出其它两个量,.,在圆,O,中，弦,CD,与直径,AB,垂直于,E,，若,CD=8,，,AE=3,，求圆的半径。,O,A,B,C,D,如图，在圆,O,中，已知,AC=BD，,试说明：,（1）,OC=OD,（2）AE=BF,垂径定理的,推论,AB,是,O,的一条弦,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论,.,O,C,D,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,.,如图,在上面五个条件中,:,A,B,M,CD,是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.,这是一个圆形零件，你能找到它的圆心位置吗？,O,A,B,C,D,1.,两条弦在圆心的同侧,O,A,B,C,D,2.,两条弦在圆心的两侧,圆的两条平行弦所夹的弧相等,.,在,0,中，弦,AB/CD,AC=BD,重要结论,在,同圆,或,等圆,中,如果,两个圆心角,两条弧,两条弦,中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,.,四,、,圆心角,弧,弦,之间的关系,上面三个等式中，只要有一个等式成立，,则,可推出其余两个等式。,AB=AB,AOB=AOB,AB=AB,在,同圆,或,等圆,中,圆的特性,圆的,旋转不变性,；,O,A,B,A,B,同弧或等弧所对的圆周角相等,.,五,、,圆周角定理,:,.O,A,B,D,E,C,B=D=E,B,、,D,、,E,同对,弧,AB,在,0,中，,同弧或等弧中，,圆周角等于该弧所对的圆心角的一半,圆周角定理,:,C,.,B,(,A,O,C,与,AOB,同对,弧,AB,在,0,中，,例4:,一个圆形人工湖,弦,AB,是湖上的一座桥,已知桥,AB,长,100m.,测得圆周角,C=45,求这个人工湖的直径,.,A,B,C,例4:,一个圆形人工湖,弦,AB,是湖上的一座桥,已知桥,AB,长,100m.,测得圆周角,C=45,求这个人工湖的直径,.,A,B,C,D,2,，已知,BC,为半圆,O,的直径，,AB=AF,AC,交,BF,于点,M,，过,A,点作,ADBC,于,D,，交,BF,于,E,，则,AE,与,BE,的大小有什么关系？为什么？,圆周角定理的,推论,:,1.BC,是,O,的直径，,BAC=90,(,直角,),2.,在,0,中,圆周角,BAC=90,，,BC,为,0,直径,.,半圆,(,或直径,),所对的圆周角是直角,；,90,的圆周角所对的弦是直径,.,六、确定圆的条件的定理,过已知,一点,可作,无数,个圆,过已知,两点,也可作,无数,个圆,.,不在同一直线上的三个点,确定,一个圆,（圆心在线段,AB,的垂直平分线上）,想一想:,如图,:AB,是,O,的直径,弦,CDAB,于点,E,G,是,上任意一点,延长,AG,与,DC,的延长线相交于点,F,连接,AD,GD,CG,找出图中所有和,ADC,相等的角,并说明理由,.,AC,A,B,D,G,F,C,E,O,外接圆的,圆心,是三角形,三边垂直平分线,的的交点,叫做三角形的,外心,.,三角形的,外接圆与,圆的,内接三角形,.,锐角,三角形,的外心位于三角形,内,直角,三角形,的外心位于直角三角形,斜边中点,钝角,三角形,的外心位于三角形,外,.,C,A,B,O,A,B,c,O,A,B,C,O,七,、,直线,和,圆,的,位置,关系,直线和圆的位置关系,公共点的个数,公共点的名称,圆心到直线的距离,d,与半径,r,的关系,直线名称,相交,相切,相离,2,1,0,交点,切点,dr,割线,切线,说明,：判断直线与圆的位置关系，关键要知道,圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系。,l,A,O,r,d,用,定义,判定直线和圆,相切,的,两种方法,:,(1),直线与圆只有,唯一,的公共点,A.,直线,l,与,O,相切,(2),d=r,直线,l,与,O,相切,经过,半径,的,外端,并且,垂直于,这条,半径,的直线是圆的切线,.,切线的判定定理,直线,l,为,o,的,切线,OA,l,l,经过半径,OA,的外端,A,符号语言,切线的性质,圆的切线垂直于过切点的直径,.,O,A,D,如果,CD,切,O,于,A,则,CDOA,几何语言：,C,注：,在解决有关圆的切线问题时,常常需要作出过切点的半径。,（,1,）直线与圆有交点时，连接交点与圆心，,证明垂直,；,（,2,）直线与圆,“,无,”,交点时，过圆,心作直线的垂线，,证明,垂线段的,长,等于半径,.,证明一条直线是圆的切线时,1,、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。,2,、数量法（,d=r,）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。,3,、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,证明直线与圆相切有如下三种途径:,即：,（,1,）,若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径；,（,2,）若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径,3.,在,RtABC,中,B=90,A,的平分线交,BC,于,D,以,D,为,圆心,DB,长为半径作,D.,试说明,:AC,是,D,的切线,.,F,E,如图,已知：,OA=OB,AB,，以为圆心，以为半径的圆与直线,AB,相切吗？为什么？,三角形的内心都在三角形的内部。,三角形,内切,圆,的,圆心,是三角形,三条角平分线,的交点,叫做三角形的,内心,.,三角形的,内切圆与,圆的,外切三角形,.,A,B,C,I,C,A,B,I,I,A,B,c,名称,确定方法,图形,性质,三角形,外心,：,外接,圆,的圆心,三角形三边,中垂线,的交点,（,1,）,OA=OB=OC,；,（,2,）,外心不一定在三角形的内部,三角形,内心,:,内切,圆,的圆心,.,三角形三条,角平分线,的交点,（,1,）到三边的距离相等；,（,2,）,OA,、,OB,、,OC,分别平分,BAC,、,ABC,、,ACB,；,（,3,）内心在三角形内部,内心,与,外心,对比,O,F,E,D,C,A,B,等边,三角形的,内心,和,外心,重合,.,设等边,ABC,中，,内切圆,半径为,r,，,外接圆,半径为,R.,r,R,则,R:r,=2:1,从圆外一点引圆的两条切线，它们的,切线长,相等,，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,A,P,O,。,B,E,C,D,若,P,A,、,PB,分别切,O,于,A,、,B,则,PA=PB,OPA=OPB,（,OP,垂直平分,AB,）,重要结论：,圆的外切四边形的两组对边的和相等,切线,长定理：,直角三角形,的三边长分别是,a,，,b,c.,则其内切圆的半径为,:,（与,切线,有关的重要结论）,A,B,C,r,.,0,x,r,y,r,y,x,r,RtABC,的,内切圆,半径等于两直角边的和与斜边的差的一半。,X+r,=a,y+r,=b,X+y,=c,（,-+,）,2,1,。已知,:,如图,O,是,RtABC,的内切圆,C,是直角,AC=3,BC=4.,求,O,的半径,r.,A,B,C,O,A,B,C,O,O,D,E,F,Rt,的三边长与其内切圆半径间的关系,b,a,c,已知,:,如图,ABC,的面积,S=4cm,2,周长等于,10cm.,求内切圆,O,的半径,r,.,A,B,C,O,O,D,E,F,斜的三边长及面积与其内切圆半径间的关系,圆与圆的位置关系,外离,外切,相交,内切,内含,图示,公共点的个数,公共点的名称,R,、,r,与,d,之间的关系,八 圆,与圆的位置关系列表如下：,r,R,O,1,O,2,r,R,O,1,O,2,r,R,O,1,O,2,r,R,O,1,O,2,r,R,O,1,O,2,0,1,2,1,0,切点,交点,切点,d,R+r,d=,R+r,R-rd,R+r,d=R-r,0,d R-r,重要结论,:,两圆相内切或外切时,两圆的连心线一定经过切点,.,小结,:,1),两圆的,五种,位置关系,2),用两圆的,圆心距,d,与两圆的,半径,R,r,的数量关系来判别两圆的位置关系,设圆,O,和圆,P,的半径分别为,R,、,r,，圆心距为,d,。在下列情况下，两圆的位置关系怎样？,R=6,，,r=3,，,d=4,R=6,，,r=3,，,d=0,R=3,，,r=7,，,d=4,R=5,，,r=3,，,d=3,小组竞答,1,、若两圆有唯一公共点，且两圆半径分别为,5,和,2,，则两圆圆心距为,。,相信自己,2,、已知，两圆相外切，半径分别是,1,和,2,，要作和这两个已知圆都相切且半径等于,3,的圆，可作,_,个。,这是一块铁板，上面有,A,、,B,、,C,三个点，经测量，,AB=9cm,BC=13cm,CA=14cm,以各顶点为圆心的三个圆两两外切。求各圆的半径。,A,C,B,两圆相切的性质,:,相切,两圆的,连心线,经过,切点,.,课本,140,页读一读,O,3,O,2,O,1,A,O,1,或,O,2,或,O,2,相切于点,A,，,连心线,经过,切点,A,.,两圆相交的性质,:,相交,两圆,的连心线,垂直平分,两圆的,公共弦,.,课本,140,页读一读,C,O,1,O,2,A,B,O,1,与,O,2,相交于点,A,、,B,，,O,1,O,2,AB,于,C,O,1,O,2,平分,AB,九,弧长的公式与扇形面积公式：,l,（,l,）,n,0,0,R,A,B,如图，在半径为,1,的圆中，有一弦长,AB=,的扇形，求此扇形的周长及面积,.,O,A,B,C,如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是,12cm,，其中水面高,6cm,，求截面上有水部分的面积。（精确到,0.1cm,2,）。,0,B,A,C,D,有水部分的面积,=S,扇,-S,观察圆锥可发现它是由,两个面围成的,，,底面和侧面,(,扇形,).,十 圆锥的侧面积,那么在,RtPOA,中，,r,、,h,、,l,满足关系为,:,r,2,+h,2,=,l,2,圆锥的高，母线，底面圆的半径构成直角三角形。,h,l,r,P,O,A,已知,r,、,h,、,l,中的两个量，则可求出第三个量,.,圆锥的,侧,面积为：,圆锥的,全,面积为：,圆锥侧面展开图,-,扇形,此扇形,的,弧长,就是,圆锥的底面,圆周长,.,S,全,=,r,2,+,l,（,=,C,=,2r,P,O,A,l=,R,r,h,）,B,C=2,r,n,h,+r,=R,S,侧,=,ra,(,r,表示圆锥底面的,半径,a,表示圆锥的,母线长,),圆锥的,侧面积,与,底面积的和,叫做圆锥的,全面积,(,或表面积,).,弧长与扇形面积计算,圆锥的侧面积计算,l,r,l,R,2,r,1,、若圆锥的底面半径,r,=4cm,，,高线,h,=3cm,，,则它的侧面展开图中扇形的圆心角是,度。,2.,如图，若圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个展开图的圆心角是,_,度；,圆锥底面半径,r,与母线,a,的比,r,：,a,=_.,288,180,1:2,结论：当圆锥底面半径,r,与母线,a,的比为,1,：,2,时，圆锥的侧面展开图为半圆。,3.,已知一个圆锥的轴截面,ABC,是等边三角形，它的表面积为,75,cm,2,求这个圆锥的底面半径和母线的长,.,C,O,B,A,解：轴截面,ABC,是等边三角形,AC=2OC,由题意，得,答：圆锥的底面半径为,5cm,，母线长为,10cm.,立体,平面,例已知：在,Rt,ABC,求以,AB,为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。,B,C,A,D,略解：过,C,点作 ，垂足为,D,点,所以,底面周长为,答：这个几何体的全面积为,所以,S,全面积,