2025-2026学年河南省平顶山市高三第二次教学质量检查考试数学试题试卷含解析.doc

2025-2026学年河南省平顶山市高三第二次教学质量检查考试数学试题试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线：（）与抛物线：交于（坐标原点），两点，直线：与抛物线交于，两点.若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )

A．
B．
C．
D．
3．设双曲线的右顶点为，右焦点为，过点作平行的一条渐近线的直线与交于点，则的面积为（ ）
A． B． C．5 D．6
4．函数的图象大致为（　　　 ）
A． B．
C． D．
5．已知，，若，则实数的值是（　　）
A．-1 B．7 C．1 D．1或7
6．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）

A．134 B．67 C．182 D．108
7．函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
8．下列判断错误的是( )
A．若随机变量服从正态分布，则
B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件
C．若随机变量服从二项分布： ， 则
D．是的充分不必要条件
9．设函数，若函数有三个零点，则（　　）
A．12 B．11 C．6 D．3
10．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．函数在上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设集合，，则____________.
14．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数
为______________.(用数字作答)
15．已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于、两点，且,，则椭圆的离心率为__________．
16．函数的单调增区间为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在中，角、、的对边分别为、、，且.
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值.
18．（12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，的面积为.
（1）求证：；
（2）若，求的值.
19．（12分）如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD＝60°．

（1）求BC的长度；
（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB＝α，∠DPC＝β，问点P在何处时，α+β最小？
20．（12分）如图，在三棱锥中，，是的中点，点在上，平面，平面平面，为锐角三角形，求证：

（1）是的中点；
（2）平面平面.
21．（12分）在中，角的对边分别为，且，．
（1）求的值；
（2）若求的面积．
22．（10分）如图，直三棱柱中，分别是的中点，.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
设，，联立直线与抛物线方程，消去、列出韦达定理，再由直线与抛物线的交点求出点坐标，最后根据，得到方程，即可求出参数的值；
【详解】
解：设，，由，得，
∵，解得或，∴，.
又由，得，∴或，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴代入解得.
故选：D
本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.
2．B
【解析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式．
【详解】
因为该程序图是计算值的一个程序框圈
所以共循环了5次
所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，
即判断框内的不等式应为或
所以选C
本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．
3．A
【解析】
根据双曲线的标准方程求出右顶点、右焦点的坐标，再求出过点与的一条渐近线的平行的直线方程，通过解方程组求出点的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】
由双曲线的标准方程可知中：，因此右顶点的坐标为，右焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为：，根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点作平行的一条渐近线的直线与交于点，所以直线的斜率为，因此直线方程为：，因此点的坐标是方程组：的解，解得方程组的解为：，即，所以的面积为：
.
故选：A
本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.
4．A
【解析】
用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.
【详解】
因为 ,
所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;
因为,故排除,
因为由图象知,排除.
故选:A
本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.
5．C
【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.
【详解】
由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得
.
∴解得.
故选：C.
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
6．B
【解析】
根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.
【详解】
解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，
则小正方形的边长为，小正方形的面积，
则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为
，
故选：B.
本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.
7．D
【解析】
通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.
【详解】
函数的定义域为，当时，，排除B和C；
当时，，排除A.
故选：D.
本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.
8．D
【解析】
根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解.
【详解】
对于选项，若随机变量服从正态分布，根据正态分布曲线的对称性，有，故选项正确，不符合题意；
对于选项，已知直线平面，直线平面，则当时一定有，充分性成立，而当时，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项正确，不符合题意；
对于选项，若随机变量服从二项分布： ， 则，故选项正确，不符合题意；
对于选项，，仅当时有，当时，不成立，故充分性不成立；若，仅当时有，当时，不成立，故必要性不成立.
因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确，符合题意.
故选：D
本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.
9．B
【解析】
画出函数的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．
【详解】
作出函数的图象如图所示，

令，
由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个），
所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），
由，可得的值分别为，
则
故选B．
本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型.
10．A
【解析】
将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．
【详解】
解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，

∵四面体所有棱长都是4，
∴正方体的棱长为，
设球的半径为，
则，解得，
所以，
故选：A．
本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．
11．A
【解析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.
【详解】
由成等比数列得，即，已知，解得.
故选：.
本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.
12．C
【解析】
根据函数的奇偶性及函数在时的符号，即可求解.
【详解】
由可知函数为奇函数.
所以函数图象关于原点对称，排除选项A，B；
当时，，
，排除选项D，
故选：C.
本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
先解不等式,再求交集的定义求解即可.
【详解】
由题,因为,解得,即,
则,
故答案为:
本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.
14．5040.
【解析】
分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为。填5040.
利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊元素，对于特殊元素“优先法”，所以有了分类。本题还涉及不相邻问题，采用“插空法”。
15．
【解析】
设,则,,由知, ,,作,垂足为C，则C为的中点,在和中分别求出,进而求出的关系式,即可求出椭圆的离心率.
【详解】
如图,设,则,,
由椭圆定义知,,
因为,所以,,

作,垂足为C，则C为的中点,
在中,因为,
所以，
在中,由余弦定理可得,
，
即,解得,
所以椭圆的离心率为.
故答案为:
本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
16．
【解析】
先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的的集合，从而可得函数的单调增区间.
【详解】
函数的定义域为.
，
令，则，故函数的单调增区间为：.
故答案为：.
本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）利用余弦定理得出关于的二次方程，结合，可求出的值；
（2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求出的值.
【详解】
（1）在中，由余弦定理得，
，即，
解得或（舍），所以；
（2）由及得，，
所以，
又因为，所以，
从而，所以.
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.
18．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用，利用正弦定理，化简即可证明
（2）利用（1），得到当时，，
得出，得出，
然后可得
【详解】
证明：（1）据题意，得，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴.
解：（2）由（1）求解知，.
∴当时，.
又，
∴，
∴，
∴

.
本题考查正弦与余弦定理的应用，属于基础题
19．（1）；（2）当BP为cm时，α+β取得最小值．
【解析】
（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，根据得到，解得答案.
（2）设BP＝t，则，故，设，求导得到函数单调性，得到最值.
【详解】
（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE＝10，DE＝10，设BC＝x，
则，
化简得，解之得，或（舍），
（2）设BP＝t，则，
，
设，，
令f'（t）＝0，因为，得，
当时，f'（t）＜0，f（t）是减函数；
当时，f'（t）＞0，f（t）是增函数，
所以，当时，f（t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，
因为恒成立，所以f（t）＜0，
所以tan（α+β）＜0，，
因为y＝tanx在上是增函数，所以当时，α+β取得最小值．

本题考查了三角恒等变换，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
（1）推导出，由是的中点，能证明是有中点．
（2）作于点，推导出平面，从而，由，能证明平面，由此能证明平面平面．
【详解】
证明：（1）在三棱锥中，
平面，平面平面，
平面，
，
在中，是的中点，是有中点．
（2）在三棱锥中，是锐角三角形，
在中，可作于点，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，，
，，
平面，
平面，平面平面．

本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．
21．（1）3（2）78
【解析】
试题分析：（1）由两角和差公式得到，由三角形中的数值关系得到，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.
解析：
（1）在中，由，得为锐角，所以，
所以，
所以.

（2）在三角形中,由，
所以， 由，
由正弦定理,得，
所以的面积.
22． (1)证明见解析 (2)
【解析】
（1）连接交于点，由三角形中位线定理得，由此能证明平面．
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【详解】
证明：证明：连接交于点，
则为的中点．又是的中点，
连接，则．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）由，可得：，即
所以
又因为直棱柱，所以以点为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，

设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为，
同理可得平面的一个法向量为，
则
所以二面角的余弦值为.
本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．