彩票中的数学.ppt

彩票中的数学队长：陈卫杰队友：黎志斌，贾锐1目录一、问题重述03二、问题分析09三、模型准备10四、用符号表示有关量14五、模型解答15六、模型优缺点29七、写给彩民们302一、问题重述 近年来“彩票巨峰”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加到彩民的行列，目前流行的彩票主要有传统型和乐透型两种类型。传统型采用“10选6+1”的方案：先从6组0-9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0-4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码，投注者从0-9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0-4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码的相符的个数多少及顺序确定中奖等级，以中奖号码“abcdef*g”为例说明中奖等级，如下表所示（X为未选中的号码）3中奖等级10选6+1（6*1/10)基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中（6*1)二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdeXXbcdef选7中（5）四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中（4）五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中（2）664“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01-33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码，投注者从0133个号码中任选7个组中一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序，又如“36选6+1”的方案，先从01-36个号码中一个一个地摇出6个基本号码，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码，从0136个号码中任选7个作为一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。中奖等级如下表5中奖等级33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖。选7中7。选7中（6+1）二等奖。选7中（6+1）。选7中6三等奖。选7中6。选7中（5+1）四等奖。选7中（5+1）。选7中5五等奖。选7中5。选7中（4+1）六等奖。选7中（4+1）。选7中4七等奖。选7中4。选7中（3+1）6以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不能再兼得低级别的奖金，现在常见的销售规则及相应的奖金设置为下表，表中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖，低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：（当期销售总额总奖金比例）-低项奖总额单项奖比例 （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。（3）写一篇短文，供彩民参考7序号奖项一等奖比例二等奖比例三等奖比例四等奖金额五等奖金额六等奖金额七等奖金额备注方案1 6*1/1050%20%30%50按序26*1/1060%20%20%300205按序3 6*1/1065%15%20%300205按序4 6*1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566*1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%5005010177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042无特别号246*1/3675%10%15%500100105256*1/3680%10%10%50010010267/3670%15%15%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%300308问题分析既然是买彩票，虽说是为福利事业做贡献。但彩民们还是抱着能中奖的心态来买的。不然直接把钱捐给红十字会就行了。所以彩票对彩民的吸引力应该与中奖概率有关。而判定一个彩票的方案好与坏应该与该方案对彩民的吸引力密切相关。因为吸引力越强，投资就越多。至于吸引力，我们认为与中奖概率，中大奖获得的金额，中小奖的数学期望和中大奖的概率，以及奖金标准差有关910大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流 二、问题假设（1）假设彩票老板不出千，即开奖时开出的号码是随机的，相互独立的。（2）假设彩票对彩民的吸引力只与中奖概率和中小奖的数学期望，中大奖概率，中大奖后拿到的奖金数额以及奖金标准差有关。（3）各项彩票的投资总额都远远超过120万元（不然若有市民中了一等奖根本赔不起）11模型准备为了了解各因素对彩民的吸引力，我们做了以下调查问卷，把问卷发到了百度贴吧“彩票吧”。我们一共收到了232条回复。以下为问卷内容12你买彩票的动力是什么1.你认为中奖概率重不重要？（中奖就不会亏了，只要中奖，你就开心了）A.非常重要 B.重要 C.一般 D.无所谓2.你认为中大奖的概率中重不重要？（概率越高，你就越容易获得一笔飞来横财）A.非常重要 B.重要 C.一般 D.无所谓3.你认为中大奖获得的奖金多少重不重要？（如果奖金足够多，你一个不好运中奖了，下半世殴蹩脚都唔使忧）A.非常重要 B.重要 C.一般 D.无所谓4.你认为中小奖的数学期望中不重要？（期望越高的话，当你买了足够多注彩票后，就会赚的多又或者说是捐给福利机构的会少一点）A.非常重要 B.重要 C.一般 D.无所谓5.如果各奖项的奖金差距过大你会不会反感？A.简直要吐 B.有点恶心 C我想静静 D没有关系13我们收集的数据如下，我们选取了200组数据各选项的人数如下：中奖概率：A 24 B122 C43 D11中大奖概率：A172 B25 C3 D6中大奖获得的奖金 A107 B41 C46 D6中小奖的期望 A11 B6 C84 D99奖金标准差 A12 B47 C102 D39依据A4分、B3分、C2分 D1分算出各因素分值分别为中奖概率559 中大奖概率 775中大奖获得的奖金649 中小奖的期望329奖金标准差432各因素的比值为1.700：2.356：1.973：1 =1.7：2.4：2.0：1：1.3 所以假设彩票对彩民的吸引力为1.7中奖概率+2.4中大奖概率+2中大奖获得的奖金+中小奖的期望-1.3大奖金方差14三、用符号表示有关量（1）设传统型的中奖概率为a(i)，乐透型33选7的中奖概率为b(i)，乐透型33选6+1的概率为c(i)（i是指中了几等奖，如a(1)是指中一等奖的概率）（2）方案j的大奖奖金额为A(j),方案j的中奖率是B(j),方案j中低项奖的数学期望为C(j)，个人中高项奖获得的奖金总和为E(j)，各方案对彩民的吸引力为F(j)，各方案大奖金标准差为D(j)（3）全体市民一共买了x注10选6+1，y注33选7，z注36选6+115四、模型的解答问题一求解：先求出传统型和乐透型的中奖概率吧a(1)=(1/10)(1/5)=210 传统型中奖表a(2)=(1/10)(4/5)=810a(3)=(1/10)(9/10)2=1.810a(4)=(1/10)(9/10)3+(9/10)(1/10)2=2.6110a(5)=(1/10)(9/10)4=3.2410a(6)=(1/10)(9/10)5+(1/10)(9/10)12+(1/10)(9/10)5=4.199510总中奖率a(总)=4.5516106-76-75-542-432342-3324-2-216乐透型33选7的中奖概率b(1)=C /C =2.3408010b(2)=(C C )/C (C /C )=1.6385610b(3)=C C /C （25/26）=4.0964 10b(4)=(C C )/C (2C /C )=1.2289210b(5)=(C C )/C (24/26)=1.4747010b(6)=(C C )/C (3C /C )=2.4578410 b(7)=(C C )/C (23/26)=1.8843410 (没钱)总中奖率b(总)=4.09827 10 (不算b(7)777337626133711261-6767526233711261-475263371262337-3742633371126174263337-2-3-5-7-317乐透型36选6+1中奖概率c(1)=(C /C )=1.1979410c(2)=(C /C )(29/30)=3.4740210c(3)=(C C /C )(21/30)=2.0844110c(4)=(C C /C )(28/30)=2.9181710c(5)=(C C /C )(31/30)=7.2954410c(6)=(C C /C )(27/30)=6.5659010c(7)=(C C /C )(41/30)=8.7545310c(总)=1.63662107736776366-67529136675291366742923667429236673293366-5-4-4-3-3-7-218各方案理论上每期的大奖奖金额A(1)=x-50 x.a(4)=0.98695xA(2)=A(3)=A(4)=x-300 x.a(4)+20 x.a(5)+5x.a(6)=0.64693xA(15)=x-600 x.b(4)+60 x.b(5)+6x.b(6)=0.82302xA(16)=x-500 x.b(4)+50 x.b(5)+10 x.b(6)=0.84024xA(24)=x-500 x.c(4)+100 x.c(5)+10 x.c(6)=0.71230 xA(25)=x-500 x.c(4)+100 x.c(5)+10 x.c(6)+5x.c(7)=0.66853x19各方案理论上每期的中奖率B(1)=a(1)+a(2)+a(3)+a(4)=2.8110B(2)=B(3)=B(4)=a(总)=4.551610B(15)=B(16)=b(总)=4.0982710B(24)=7.6116710B(25)=1.6366210比值为 B(1):B(2):B(3):B(4):B(14):B(15):B(24):B(25)=0.002:0.269:0.269:0.269:0.024:0.024:0.045:0.097-4-2-3-3-220各方案每期大奖中奖率B(1大)=B(2大)=B(3大)=B(4大)=1.910B(14大)=B(15大)=4.2836610B(24大)=B(25大)=2.4437910比值为B(1大):B(2大):B(3大):B(4大):B(14大):B(15大):B(24大):B(15大)=0.114:0.114:0.114:0.114:0.257:0.257:0.015:0.015-5-5-621各方案每期中奖的数学期望依照公式中低项奖的数学期望=(中奖概率得奖奖金)依次求得C(1)=50.a(1)=0.01305C(2)=C(3)=C(4)=0.35307C(15)=0.17698 C(16)=0.15976C(24)=0.28770 C(25)=0.33147比值为C(1):C(2):C(3):C(4):C(14):C(15):C(24):C(25)=0.006:0.174:0.174:0.174:0.087:0.079:0.142:0.16322预计个人中高项奖获得的奖金总和E(j)=(各高项奖奖金/得奖人数)E(1)=(0.98605x 50%)/(210 x)+(0.98605x 20%)/(810 x)+(0.98605x 30%)/(1.810 x)=2465125(i)+246513(ii)+16434(iii)=2728072E(2)=1940790+161733+7188=2102523E(3)=2102523+121299+7188=2231010E(4)=2264255+121299+5391=2390495E(15)=2461184+50228+4018=2515430E(16)=2692156+51279+3077=2746512E(24)=4459541+20504+5126=4485171E(25)=4464531+19244+3207=4486982-7-7-523比值为E(1):E(2):E(3):E(4):E(14):E(15):E(24):E(25)=0.115:0.089:0.094:0.101:0.106:0.116:0.189:0.189然后各方案大奖金标准差为D(1)=1104096D(2)=877353D(3)=961982D(4)=1038597D(15)=1147582D(16)=1256436D(24)=2096216D(25)=2099318 比值为D(1):D(2):D(3):D(4):D(15):D(16):D(24):D(25)=0.104:0.083:0.091:0.098:0.108:0.119:0.198:0.19824各方案对彩民的吸引力彩民吸引力F(j)=1.7B(j)+2.4B(j大)+2E(j)+C(j)-1.3D(j)所以 F(1):F(2):F(3):F(4):F(15):F(16):F(24):F(25)=0.378:0.975:0.974:0.980:0.816:0.814:0.401:0.485因此，传统型奖项最好的是方案4 乐透型33选7最好的是方案15 乐透型36选6+1最好的是方案25方案最差的是125问题二求解设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。这个问题其实是如何设置奖金的问题。设一至七等奖的奖金分别为o(比例),p(比例),q(比例),r,s,t,u，一至七等奖中奖概率分别为，由于总中奖概率和中大奖概率已经确定，所以只要考虑中小奖的期望C以及中大奖的奖金A如何分配给个人的奖金E就可以了，这样就可以确定对彩民的吸引力F，如果F越大，则方案越好。然而，由前面的调查问卷可知，期望C的影响力，可以说是微乎其微，所以C的设计应该偏小一点。但是为了提高彩民的积极性，我们认为：七等奖=5元，六等奖=10元，五等奖=50元，四等奖=200元。(没设七等奖的六等奖5元，其他相同）这样通过奖金的递进形式，可以促进销售。因此26式子如下：C=r +s+t +u;A=1-Cx E=Ao/(x)+Ap/(x)+Aq/(x);o+p+q=1;MAX(F)=C/C总+2E/E(总)-1.3D/D(总);把传统型和乐透型的概率分别代入上面，用MATLAB求得最优解如下：27奖金opqrstu彩票10选6+172.83%12.58%14.59%2005010533选776.74%10.30%12.96%2005010536选6+168.96%19.15%11.89%20050105所以把彩票奖金按照上述来设就最好了，可以更好的吸引彩民，但是奖金最好取一些好看的数字，所以28奖金opqrstu彩票10选6+173%12%15%2005010533选777%10%13%2005010536选6+169%19%12%20050105我们给彩票部门的建议就是按照表格设计奖金，一定可以吸引更多的彩民投资。29模型优缺点优点：通俗易懂，简单明了缺点：1：模型中只是笼统的使用比值来判断各因素的影响力，存在较大的误差2：对彩民的吸引力算法存在一定的主观影响。3：问题二中方案的设计没有考虑小奖的奖金的影响力。4：未充分考虑其他因素。30写给彩民们 如今，彩票的风暴已经席卷神州大地。面对那丰厚的奖金，是不是想想都有点小激动呢？而且更重要的是，即使没有中奖，我们也不会因此而失落。因为我们只是把钱捐给了福利机构而已，也是做了一件好事吧。话虽如此，但我们彩民还是想成为上天眷顾的幸运儿吧！所以作为已经对彩票做了深层研究的我就略一指点大家吧。如果你觉得中奖就是你的乐趣。即使中了鸡毛一样的小奖你也可以笑到半天合不拢嘴的，那么10选6+1是你的不二选择。买了以后，你就会发现中奖原来就是31这么简单。若然，你是一个有理想的彩民，即小奖这种东西根本就无法打动你，甚至乎你就算发现中了小奖也懒得去彩票中心兑换。我推荐你买33选7，中大奖概率会高那么一点。或许今天买了，晚上你就会兴奋到睡不着觉了。人生能有多少激动的时刻？买了33选7的你将会比别人更有机会拥有那份独特的惊喜。再者，如果你觉得你的运气是前所未有的，无论是谁也阻挡不了你的运势。那请你选择36选6+1。因为如果你一个不小心就中了，36选6+1的奖金真的够你活半辈子了！最后，我想说的是，中奖固然美好，但是不中奖的你也不要沮丧。因为，为社会福利事业做出贡献的你终有一天会得到回报的！32