贝塞尔函数-5.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学物理方法,贝塞尔函数,(Bessel Function),一、贝塞尔函数的引出,在,柱坐标系下，对拉普拉斯（,Laplace,）方程或亥姆霍兹（,Helmholtz,）,方程进行分离变量，将导出,n,阶,Bessel,方程。,柱坐标系中用分离变量法解拉普拉斯,方程问题时,以,代入,Lplace,方程,如果圆柱上、下两底的边界条件不是齐次的，而圆柱的侧面的边界条件是,齐次的，就得出,一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表示，从而就导入了一,类特殊函数,贝塞尔函数。,引入新的自变量,上面最后一个方程可改写为,其中,n,为任意实数或复数,本章中,n,只限与实数,.,二、贝塞尔方程的解,这就是贝塞尔方程,.,贝塞尔方程,设上述贝塞尔方程有一个级数解，其形式为,其中,常数 和 可以通过把 和它的导数 、代入上式,来确定。,到此，我们可以得到一个特解,用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数,轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为,n,阶第一类贝塞尔函数，记,作,贝塞尔方程的一个特解,当,n,为正整数或零时，故有,或,n,阶贝塞尔函数,n,阶,纽曼,函数,(,第二类,n,阶贝塞尔函数,),n,阶汉克尔函数,(,第三类,n,阶贝塞尔函数,),(n,整数,),贝塞尔函数的图象,诺伊曼函数的图象,三、当,n,为整数时贝塞尔方程的通解,取哪一个特解,?,一般情况下认为选取第二类贝塞尔函数比较方便,.,不过,当,n,为整数时,上式右端无意义,!,为此,要想写出整数阶贝塞尔方程的通解,必须要修改第二类贝塞尔函数的定义,.,在,n,为整数的情况下,我们定义第二类,贝塞尔函数为,由于当,n,为整数时,所以上式右端的极限,是 形式的不定型的极限,依据洛必达法则并经过冗长的推导,最后得到,其中,称为欧拉常数,.,依据重新定义的函数,它的确是贝塞尔方程的解,而且与 是线性无,关的,(,因为当 时,为有限值,而 为无穷大,.,综上所述,贝塞尔方程,的通解为,其中,A,B,为任意常数,n,为任意实数,.,四、贝塞尔函数的生成函数,函数,称为整数阶第一类贝塞尔函数的生成函数,.,它对于得到,n,取整数值的第一类,贝塞尔函数的诸多性质是非常有用的,然后常可证明这些性质对所有的,n,也,成立,.,五、贝塞尔函数的递推公式,不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的,而是有一定的联系,这种联系,建立在递推公式上,.,首先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系,.,在下式中,令,n=0,及,n=1,n=0,；,m=0,：,n=1,；,m=0,：,取出第一个级数 的第,k+1,项求导数,得,n=1,；,m=0,：,得到关系,将 乘以 并求导数,又得到,即,以上结果,可以推广,.,下列结论对所有的,n,都是成立的,:,六、可变换成贝塞尔方程的方程,方程,其中 都是常数,有通解,其中 若,方程可视为欧拉或柯西方程,是可解的,.,七、贝塞尔函数的渐近公式,对于大的 值,有下列渐近公式,:,八、贝塞尔函数的零点,在求园盘的温度分布时,是通过分离变量法,转化为求解贝塞尔方程的,本征值问题,:,为了求出上述本征值方程的本征值,必须要计算 的零点,.,有没有实的零点,?,若存在实的零点,一共有多少个,?,关于这些问题,有以下,几个结论,.,（,1,）有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在,x,轴上关于原,点对称分布。自然 必有无穷多个正的零点。,（,2,）的零点与 的零点彼此相间分布。,（,3,）以 表示 的非负零点（正的零点）（,m=1,，,2,，,),则 当 时,其值将无限地接近于,即,几乎是以,2,为周期的周期函数,.,九、贝塞尔函数的正交性,在求园盘的温度分布时,是通过分离变量法,转化为求解贝塞尔方程的,本征值问题,:,本征值方程,上述本征方程的解为,:,即,本征值,与这些本征值相对应的本征函数为,:,本征函数,本征函数,本征函数系 的正交性,.,在 上,带权重 正交,.,若 和 是两个不同的常数,可以证明,而,由第一式我们看到,若 和 是方程,的任意两个不同的根,(,这里,R,S,是常数,),则,它表明 和 在,(0,1),是正交的,.,我们也可以说,和 是关于权函数 正交的,.,