线性代数第四章释疑解难.ppt

,释 疑 解 难,1.若向量组,1,2,r,线性相关,那么,是否对于任意不全为零的数,k,1,k,2,k,r,都有,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,r,r,=0?,答,结论是否定的.因为按定义,向量组,1,2,r,线性相关是指,存在,不全为零的数,k,1,k,2,k,r,使得,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,r,r,=0.,而不是对任意不全为零的数,k,1,k,2,k,r,都能使,上,式成立(否则必有,1,=,2,=,=,r,=0).,我们也,可以用反例来说明该结论是否定的.取,1,=(1,0,0),2,=(2,0,0),则 2,1,-,2,=0,因而,1,2,线性相关.若取,k,1,=1,k,2,=2,那么,k,1,1,+,k,2,2,=,1,+2,2,=(5,0,0)(0,0,0),这说明并非对任意不全为零的,k,1,k,2,都能使,k,1,1,+,k,2,2,=0.,2.若向量组,1,2,r,线性无关,那么是,否对于任意不全为零的数,k,1,k,2,k,r,使得,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,r,r,0?,答,结论是肯定的.因为若存在不全为零的数,k,1,k,2,k,r,有,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,r,r,=0,则按线性相关的定义,1,2,r,线性相关.,3.如果向量组,1,2,r,(,r,2),中任取,m,(,m,r,),个向量 所组成的部分向量组都线性无,关,那么这个向量组本身是否线性无关?,答,1,2,r,未必是线性无关的.例如,取,1,=(1,0),2,=(0,1),3,=(1,1),则,1,2,3,的任一部分组都是线性无关的.,但由,1,+,2,-,3,=0,知,1,2,3,线性相关.,注意,当向量组,1,2,r,线性无关,则,其任何一部分向量组都线性无关,.,4.若,1,2,r,(,r,2),是线性相关的,则,其中任何一个向量都可由其余向量线性表示吗?,答,结论是否定的.我们知道,若,1,2,r,(,r,2),是线性相关的,则其中至少有一个向量,能由其余向量线性表示,但并非其中任一向量都,能由其余向量线性表示.例如,1,=(0,0),2,=(1,1),1,2,很显然是线性相关的,但,2,不能由,1,线性,表示.,5.向量组的线性相关性能否用线性方程组,的解来判定?,答,按向量组线性相关的定义,可知列向量组,1,2,n,线性相关的充要条件是齐次线性方,程组,x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,n,n,=0,有非零解,也就是齐次线性方程组,即,Ax,=0,有非零解,其中,A,=(,1,2,n,),x,=(,x,1,x,2,x,n,),T,.,列向量,b,能由列向量组,1,2,n,线性表,示的充要条件是非齐次线性方程组,x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,n,n,=b,即,Ax=b,有解(但不一定是唯一解).,类似地,可以把行向量组线性相关、行向量能,由行向量组线性表示与线性方程组的解联系起来,从而可以利用线性方程组的解的情况来研究向量,组的线性相关性.,6.如果向量组,1,2,s,的秩为,r,那,么其中任意,r,个向量是否都可以构成它的一个最,大线性无关组?,答,未必如此.按秩的定义,在,1,2,s,的秩为,r,的条件下,只能得到:其中存在,r,个向量,构成它的一个最大线性无关组,而并不能得到其,中任意,r,个向量都构成它的一个最大线性无关组.,例如,取,1,=(10,12,6),2,=(5,6,3),3,=(7,3,-,1),易知,向量组,1,2,3,的秩为 2,但,1,2,不,构成其最大线性无关组.,7.如何用矩阵的初等行变换求向量组的一个,最大无关组,并用该最大无关组表示其余向量?,答,方法如下:把向量组中的每一个向量作为,一列构成矩阵,对该矩阵实施初等行变换,使之成,为行最简形矩阵.则在该行最简形矩阵中,每个阶,梯上的第一个非零元(这个非零元为1)所在的列向,量构成该向量组的一个最大无关组.而其他列上,的位于阶梯线上方的元素即为用这个最大无关组,表示该列向量时相应的系数.,例,求向量组,1,=(1,0,2,-,1),2,=(3,0,6,-,3),3,=(,-,2,1,-,4,4),4,=(2,2,5,0),5,=(,-,1,-,1,7,-,19),的一个最大无关组,并用它表示其余向量.,解,构造矩阵,A,=(,1,T,2,T,3,T,4,T,5,T,),行变换,所以一个最大无关组为,1,3,4,且,2,=3,1,5,=,-,57,1,-,19,3,+9,4,.,8.研究向量空间的基和维数对掌握向量空,间有什么作用?,答,一般而言,一个向量空间中有无穷多个元,素，如何掌握和表达它们呢?亦即它们之间的关,系如何?通过向量空间的线性运算引入了基和维,数的概念,使得对向量的表达和运算简单化了.,向量空间的一组基,可以说是它的一个最大,无关组,掌握了向量组的一个最大无关组,就等,于掌握了整个向量组.掌握了向量空间的一组,基,就等于掌握了整个向量空间.,9.齐次线性方程组,Ax,=0,的解空间是几维,空间?,答,设方程组,Ax,=0,有,n,个未知量,m,个方,程,且,R,(,A,)=,r,则该方程组的解空间是,n,-,r,维,向量空间,它的基础解系由,n,r,个向量构成.,10.判断非齐次线性方程组有解的途径有哪,几种?,答,非齐次线性方程组,Ax=b,的解分为三种,情况:无解、有唯一解、有无穷多解,要判断,Ax=b,有解,只需证,R,(,A,)=,R,(,B,),或,者证向量,b,是列向量,1,2,n,的线性组合.,当,R,(,A,)=,R,(,B,)=,n,时,Ax=b,有唯一解.当方,程的个数与未知量的个数相等时,只需证|,A,|0,则,Ax=b,就有唯一解.当,R,(,A,)=,R,(,B,),n,时,则,方程有无穷多解.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!,若想结束本堂课,请单击返回按钮.,