2025-2026学年湖北沙市中学高三2月测试数学试题含解析.doc

2025-2026学年湖北沙市中学高三2月测试数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为
A． B． C． D．
2．已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ）
A． B． C． D．
3．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ）
A．2 B．4 C． D．8
4．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为( )
A．2020 B．20l9 C．2018 D．2017
5．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（ ）

A． B． C．2 D．
6．已知向量，，=(1，)，且在方向上的投影为，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．0
7．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知函数，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为
A． B．
C． D．
9．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ）

A． B． C． D．
10．设，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
12．下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．下图是一个算法流程图，则输出的S的值是______.

14．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.
15．如图，在体积为V的圆柱中，以线段上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为，，则的值是______.

16．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，则球的体积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图， 在四棱锥中， 底面， ，， ，，点为棱的中点.

（1）证明：：
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若为棱上一点， 满足， 求二面角的余弦值.
18．（12分）某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏．
（1）若当时，，求此时的值；
（2）设，且．
（i）试将表示为的函数，并求出的取值范围；
（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值．

19．（12分）已知函数的导函数的两个零点为和．
（1）求的单调区间；
（2）若的极小值为，求在区间上的最大值．
20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.
21．（12分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：

满意
不满意
男

女

是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？
若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券．若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品，求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．
附表及公式：．

22．（10分）已知数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，为数列的前项和.求证：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，，
求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解．
【详解】
解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1，
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，

由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1，
记∠KPF的平分线与轴交于
根据角平分线定理可得，
，
当时，，
当时，，
，
综上：．
故选：A．
本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．
2．D
【解析】
以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系．求解平面的法向量，利用线面角的向量公式即得解.
【详解】
如图所示的直四棱柱，，取中点，
以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系．

设，则，
．
设平面的法向量为，
则取，
得．
设直线与平面所成角为，
则，
，
∴直线与平面所成角的正切值等于
故选：D
本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
3．B
【解析】
根据题意得到，，解得答案.
【详解】
，，解得或（舍去）.
故.
故选：.
本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.
4．B
【解析】
根据题意计算，，，计算，，，得到答案.
【详解】
是等差数列的前项和，若，
故，，，，故，
当时，，，，
，
当时，，故前项和最大.
故选：.
本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
5．C
【解析】
建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，进而得到最大值.
【详解】
以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，

设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；
根据三角形面积公式得到，
可得到内切圆的半径为
可得到点的坐标为：

故得到
故得到
，
故最大值为：2.
故答案为C.
这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
6．B
【解析】
先求出，再利用投影公式求解即可.
【详解】
解：由已知得，
由在方向上的投影为，得，
则.
故答案为：B.
本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题.
7．B
【解析】
首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；
【详解】
解：因为，
所以
因为
所以

，即，，

时
故选：
本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.
8．D
【解析】
由得，分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，.

9．B
【解析】
根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解.
【详解】
从八卦中任取两卦基本事件的总数种，
这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，
分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），
所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.
故选：B
本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
10．D
【解析】
由不等式的性质及换底公式即可得解.
【详解】
解：因为，，则，且，
所以，，
又,
即,则，
即，
故选：D.
本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.
11．A
【解析】
由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率.
【详解】
解：设双曲线的半个焦距为，由题意
又，则，，，所以离心率，
故选：A.
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题
12．C
【解析】
将正四面体的展开图还原为空间几何体，三点重合，记作，取中点，连接，即为与直线所成的角，表示出三角形的三条边长，用余弦定理即可求得.
【详解】
将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中三点重合，记作：

则为中点，取中点，连接，设正四面体的棱长均为，
由中位线定理可得且，
所以即为与直线所成的角，
，
由余弦定理可得
，
所以直线与直线所成角的余弦值为，
故选：C.
本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据流程图，运行程序即得.
【详解】
第一次运行，；
第二次运行，；
第三次运行，；
第四次运行；所以输出的S的值是.
故答案为：
本题考查算法流程图，是基础题.
14．
【解析】
分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可.
【详解】
首先，第一行队伍的排法有种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有种；第二行的每个位置的人员安排有种；第三行的每个位置的人员安排有种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率.
故答案为：.
本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.
15．
【解析】
根据圆柱的体积为，以及圆锥的体积公式，计算即得.
【详解】
由题得，，得.
故答案为：
本题主要考查圆锥体的体积，是基础题.
16．
【解析】
由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积.
【详解】
解：因为，为正三角形，
所以，
因为，所以三棱锥的三条侧棱两两垂直，
所以它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，
因为正方体的对角线长为，所以其外接球的半径为，
所以球的体积为
故答案为：
此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】
（1）根据题意以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并表示出，由空间向量数量积运算即可证明.
（2）先求得平面的法向量，即可求得直线与平面法向量夹角的余弦值，即为直线与平面所成角的正弦值；
（3）由点在棱上，设，再由，结合，由空间向量垂直的坐标关系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量，由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值，再根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：∵底面，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵，，点为棱 的中点．
∴，，，，
，
，
.
（2）,
设平面的法向量为.
则，代入可得，
令解得，即，
设直线与平面所成角为，由直线与平面夹角可知

所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3），
由点在棱上，设，
故，
由，得，
解得，
即，
设平面的法向量为，
由，得，
令，则
取平面的法向量，
则二面角的平面角满足，
由图可知，二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为.
本题考查了空间向量的综合应用，由空间向量证明线线垂直，求直线与平面夹角及平面与平面形成的二面角大小，计算量较大，属于中档题.
18． (1)；(2)(i)，；(ii).
【解析】
（1）在中，由正弦定理可得所求；
（2）（i）由余弦定理得，两式相加可得所求解析式．（ii）在中，由余弦定理可得，根据的最大值不小于可得关于的不等式，解不等式可得所求．
【详解】
（1）在中，由正弦定理得，
所以，
即．
（2）（i）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又
所以，
即．
又，解得，
所以所求关系式为，．
（ii）当观赏角度的最大时，取得最小值．
在中，由余弦定理可得
，
因为的最大值不小于，
所以，解得，
经验证知，
所以．
即两处喷泉间距离的最小值为．
本题考查解三角形在实际中的应用，解题时要注意把条件转化为三角形的边或角，然后借助正余弦定理进行求解．解题时要注意三角形边角关系的运用，同时还要注意所得结果要符合实际意义．
19．（1）单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）最大值是．
【解析】
（1）求得，由题意可知和是函数的两个零点，根据函数的符号变化可得出的符号变化，进而可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）由（1）中的结论知，函数的极小值为，进而得出，解出、、的值，然后利用导数可求得函数在区间上的最大值.
【详解】
（1），
令，
因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同．
又因为，所以当时，，即；当或时，，即.
所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；
（2）由（1）知，是的极小值点，
所以有，解得，， ，
所以．
因为函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.
所以为函数的极大值，
故在区间上的最大值取和中的最大者，
而，所以函数在区间上的最大值是．
本题考查利用导数求函数的单调区间与最值，考查计算能力，属于中等题.
20．（1）曲线，曲线.（2）.
【解析】
（1）用和消去参数即得的极坐标方程；将两边同时乘以，然后由解得直角坐标方程.
（2）过极点的直线的参数方程为，代入到和：中，表示出即可求解.
【详解】
解：由和，得
，化简得
故：
将两边同时乘以，得
因为，所以
得的直角坐标方程.
（2）设直线的极坐标方程
由，得，
由，得

故
当时，取得最大值
此时直线的极坐标方程为：，
其直角坐标方程为：.
考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.
21．有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；.
【解析】
由题得，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；
获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，，，．从中随机抽取人，所有基本事件有个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有个，进而求出获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.
【详解】
解析：由题得
所以，有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．
获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，，，．
从中随机抽取人，所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共个．
其中仅有1人是女顾客的基本事件有：，，，，，，，，共个．
所以获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．
本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题．
22．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）利用求得数列的通项公式.
（2）先将缩小即，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.
【详解】
（1）∵，令，得.
又，两式相减，得.
∴.
（2）∵
.
又∵，，∴.
∴
.
∴.
本小题主要考查已知求，考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.