江苏省常州市教育学会2026届高三第一次教学教学质量诊断性考试数学试题含解析.doc

江苏省常州市教育学会2026届高三第一次教学教学质量诊断性考试数学试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）

A．134 B．67 C．182 D．108
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．
5．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于、两点，与轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（ ）
A． B．2 C． D．3
6．已知点为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于A，B两点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了
8．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为（　　）
A． B． C． D．
10．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
11．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg
12．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为________.
14．在矩形中，，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_____.
15．过动点作圆：的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是__________．
16．函数在处的切线方程是____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图1，在边长为4的正方形中，是的中点，是的中点，现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.

（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18．（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：
组别

男
2
3
5
15
18
12
女
0
5
10
10
7
13
(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？
(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．视频率为概率．
①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；
②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动．每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：
红包金额（单位：元）
10
20
概率

现某市民要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求的分布列及数学期望．
附表及公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

19．（12分）如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于.

（1）求证:平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）设函数.
（1）求的值；
（2）若，求函数的单调递减区间.
21．（12分）已知矩阵的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵.
22．（10分）已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且.
（1）讨论的单调性
（2）求实数和a的值
（3）证明
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为，利用双勾函数单调性求最值得到答案.
【详解】
是奇函数，
，
易知均为减函数，故且在上单调递减，
不等式，即，
结合函数的单调性可得，即，
设，，故单调递减，故，
当，即时取最大值，所以.
故选：.
本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.
2．B
【解析】
根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.
【详解】
解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，
则小正方形的边长为，小正方形的面积，
则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为
，
故选：B.
本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.
3．D
【解析】
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；
【详解】
解：函数，
要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位．
故选：D．
本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．
4．A
【解析】
观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。
【详解】
设半圆柱体体积为，半球体体积为，由题得几何体体积为
，故选A。
本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。
5．B
【解析】
过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，由和抛物线的定义可求得，利用抛物线的性质可构造方程求得，进而求得结果.
【详解】
过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，

由抛物线解析式知：，准线方程为.
，，，，
由抛物线定义知：，，，
.
由抛物线性质得：，解得：，
.
故选：.
本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.
6．D
【解析】
设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形，
设，得，求出的值，即得解.
【详解】
设双曲线C的左焦点为，连接，
由对称性可知四边形是平行四边形，
所以，.
设，则，
又.故，
所以.
故选：D
本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．C
【解析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
8．B
【解析】
分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】
从“八音”中任取不同的“两音”共有种取法；
“两音”中含有打击乐器的取法共有种取法；
所求概率.
故选：.
本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.
9．D
【解析】
利用等差数列通项公式推导出λ，由d∈[1，2]，能求出实数λ取最大值．
【详解】
∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，
∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，
∵d∈[1，2]，λ2是减函数，
∴d＝1时，实数λ取最大值为λ．
故选D．
本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．A
【解析】
根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.
【详解】
因为双曲线（），
所以，又因为渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：A.
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11．D
【解析】
根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则
=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；
回归直线过样本点的中心（），B正确；
该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；
该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．
故选D．
12．B
【解析】
由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.
又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增，
又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，
根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，
故选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．80.
【解析】
只需找到展开式中的项的系数即可.
【详解】
展开式的通项为，令，
则，故的展开式中的系数为80.
故答案为：80.
本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.
14．.
【解析】
计算外接圆的半径，并假设外接球的半径为R，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据面，即可得解.
【详解】
由题意可知，，
所以可得面，
设外接圆的半径为，
由正弦定理可得，即，，
设三棱锥外接球的半径，
因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，
则，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.
本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题.
15．
【解析】
解答：由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2)，半径等于1.
由M(a,b),则|MN|2=(a−2)2+(b−2)2−12=a2+b2−4a−4b+7，
|MO|2=a2+b2.
由|MN|=|MO|,得a2+b2−4a−4b+7=a2+b2.
整理得：4a+4b−7=0.
∴a，b满足的关系为：4a+4b−7=0.
求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值．
在直线4a+4b−7=0上取一点到原点距离最小，
由“垂线段最短”得，直线OM垂直直线4a+4b−7=0，
由点到直线的距离公式得：MN的最小值为： .
16．
【解析】
求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】
，则，，.
因此，函数在处的切线方程是，
即.
故答案为：.
本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）利用线面平行的定义证明即可
（2）取的中点，并分别连接，，然后，证明相应的线面垂直关系，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用坐标运算进行求解即可
【详解】
证明：（1）在图1中，连接.
又，分别为，中点，
所以.即图2中有.
又平面，平面，
所以平面.
解：（2）在图2中，取的中点，并分别连接，.

分析知，，.
又平面平面，平面平面，平面，所以平面.
又，所以，，.
分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.
设平面的一个法向量，则，
取，则，，所以.
又，
所以.
分析知，直线与平面所成角的正弦值为.
本题考查线面平行的证明以及利用空间向量求解线面角问题，属于基础题
18． (1)不能；(2) ①；②分布列见解析，.
【解析】
（1）根据题目所给的数据可求2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．（2）由相互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率：P＝1﹣（）3﹣（）3，解出X的分布列及数学期望E（X）即可；
【详解】
(1)由图中表格可得列联表如下:

非“环保关注者”
是“环保关注者”
合计
男
10
45
55
女
15
30
45
合计
25
75
100
将列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值，
所以在犯错误的概率不超过0. 05的前提下，不能认为是否为“环保关注者”与性别有关.
(2)视频率为概率,用户为男“环保达人”的概率为.为女“环保达人”的概率为，
①抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为
；
②的取值为10，20，30，40.
,
,
,
,
所以的分布列为

10
20
30
40

.
本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题，是中档题目．
19．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）过点作交于，连接，设，连接，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得，，由线面垂直的判断定理证得平面，再由面面垂直的判断得证.
（2）平面几何知识和线面的关系可证得平面，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.
【详解】
（1）如图，过点作交于，连接，设，连接，，，
又为的角平分线，四边形为正方形，，
又，，，，，又为的中点，
又平面，，平面，
又平面，平面平面，
（2）在中，，，，在中，，，
又，，，，
又，，平面，平面，
故建立如图空间直角坐标系，则，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则，，
令，得,
设平面的一个法向量为，则，
，令，得
，由图示可知二面角是锐角，
故二面角的余弦值为.

本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.
20．（1）（2）的递减区间为和
【解析】
（1）化简函数，代入，计算即可；
（2）先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间，再结合即可求出.
【详解】
（1）

，
从而.
（2）令.
解得.
即函数的所有减区间为，
考虑到，取，可得，，
故的递减区间为和.
本题主要考查了三角函数的恒等变形，正弦函数的图象与性质，属于中档题.
21．.
【解析】
根据特征多项式可得，可得，进而可得矩阵A的逆矩阵.
【详解】
因为矩阵的特征多项式，所以，所以.
因为，且，
所以.
本题考查矩阵的特征多项式以及逆矩阵的求解，是基础题.
22．（1）在区间单调递增；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
（1）求出，在定义域内，再次求导，可得在区间上恒成立，从而可得结论；（2）由，可得，由可得，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知在区间单调递增，可证明，取，可得，而，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.
【详解】
（1）由已知可得函数的定义域为，且，
令，则有，由，可得，
可知当x变化时，的变化情况如下表：

1

-
0
+

极小值

，即，可得在区间单调递增；
（2）由已知可得函数的定义域为，且，
由已知得，即，①
由可得，，②
联立①②，消去a，可得，③
令，则，
由（1）知，，故，在区间单调递增，
注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，
；
（3）证明：由（1）知在区间单调递增，
故当时，，，
可得在区间单调递增，
因此，当时，，即，亦即，
这时，故可得，取，
可得，而，
故
.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.