2026年山东省即墨区重点高中高三下学期”领军考试“数学试题含解析.doc

2026年山东省即墨区重点高中高三下学期”领军考试“数学试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ）
A．8年 B．9年 C．10年 D．11年
2．是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（　　）

A． B． C． D．
5．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知为等腰直角三角形，，，为所在平面内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
9．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）

A．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班
B．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定
C．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班
D．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103
11．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ）

A． B． C． D．
12．已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若，则的取值范围是__
14．在中，，是的角平分线，设，则实数的取值范围是__________.
15．已知全集为R，集合，则___________.
16．在中， ，，则_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上，直线与抛物线交于另一点.

（1）设直线，的斜率分别为，，求证：常数；
（2）①设的内切圆圆心为的半径为，试用表示点的横坐标；
②当的内切圆的面积为时，求直线的方程.
18．（12分）电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷
体育迷
合计
男

女

10
55
合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：.
P(K2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635

19．（12分）设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.
(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;
(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.
20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求直线和圆的普通方程；
（2）已知直线上一点，若直线与圆交于不同两点，求的取值范围.
21．（12分）已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求的值.
22．（10分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若函数的最小值为，求的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案.
【详解】
依题意在回归直线上，
，
由，
估计第年维修费用超过15万元.
故选:D.
本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.
2．B
【解析】
分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】
所以 （逆否命题）必要性成立
当，不充分
故是必要不充分条件，答案选B
本题考查了充分必要条件，属于简单题.
3．A
【解析】
如图设平面，球心在上，根据正四面体的性质可得，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出的值.
【详解】
如图设平面，球心在上，由正四面体的性质可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，
，
，，，，因为为重心，因此，则，因此，因此，则，故选A.

本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.
4．A
【解析】
执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，执行上述的程序框图：
第1次循环：满足判断条件，；
第2次循环：满足判断条件，；
第3次循环：满足判断条件，；
不满足判断条件，输出计算结果，
故选A．
本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
5．D
【解析】
利用是偶函数化简，结合在区间上的单调性，比较出三者的大小关系.
【详解】
是偶函数，，
而，因为在上递减，
，
即．
故选:D
本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.
6．D
【解析】
设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】
设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：
，因此双曲线的渐近线方程为：
.
故选：D
本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.
7．D
【解析】
以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点的坐标，进而求得，由平面向量的数量积可得答案.
【详解】
如图建系，则，，，
由，易得，则.
故选：D
本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
8．B
【解析】
化简圆到直线的距离 ，
又 两圆相交. 选B
9．A
【解析】
每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.
【详解】
派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家
基本事件总数：
甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：
甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：
本题正确选项：
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
10．D
【解析】
计算两班的平均值，中位数，方差得到正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，错误，得到答案.
【详解】
由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4；
乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A，B，C正确.
因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D错误.
故选：.
本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11．D
【解析】
由半圆面积之比，可求出两个直角边 的长度之比，从而可知，结合同角三角函数的基本关系，即可求出，由二倍角公式即可求出.
【详解】
解：由题意知 ，以 为直径的半圆面积，
以 为直径的半圆面积，则，即.
由 ，得 ，所以.
故选:D.
本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.
12．A
【解析】
结合已知可知，可求，进而可求，代入，结合，可求，即可判断．
【详解】
图象上相邻两个极值点，满足，
即，
，，且，
，，
，，，
当时，为函数的一个极小值点，而．
故选：．
本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据分段函数的性质，即可求出的取值范围.
【详解】
当时， ，
，
当时，，
所以，
故的取值范围是.
故答案为：.
本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.
14．
【解析】
设，，，由，用面积公式表示面积可得到，利用，即得解.
【详解】
设，，，
由得：
，
化简得，
由于，
故.
故答案为：
本题考查了解三角形综合，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算能力，属于中档题.
15．
【解析】
先化简集合A,再求A∪B得解.
【详解】
由题得A={0,1},
所以A∪B={-1,0,1}.
故答案为{-1,0,1}
本题主要考查集合的化简和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16．
【解析】
先由题意得：，再利用向量数量积的几何意义得，可得结果.
【详解】
由知：，则在方向的投影为，
由向量数量积的几何意义得：
，∴
故答案为
本题考查了投影的应用，考查了数量积的几何意义及向量的模的运算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析；（2）①；②.
【解析】
（1）设过的直线交抛物线于，，联立，利用直线的斜率公式和韦达定理表示出，化简即可；
（2）由（1）知点在轴上，故，设出直线方程，求出交点坐标，因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可.
【详解】
（1）设过的直线交抛物线于，，
联立方程组，得：.
于是，有：
，
又，
；
（2）①由（1）知点在轴上，故，联立的直线方程：.
，又点在抛物线上，得，
又，
；
②由题得，
（解法一）

所以直线的方程为
（解法二）
设内切圆半径为，则.设直线的斜率为，则：
直线的方程为：代入直线的直线方程，
可得
于是有：
得，
又由（1）可设内切圆的圆心为则，
即：，解得：
所以，直线的方程为：.
本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线相关的综合问题的求解，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.
18． (1)无关；(2) ，.
【解析】
(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而可得列联表如下：

非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将22列联表中的数据代入公式计算，得
.
因为3.030<3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X～B(3，)，从而X的分布列为
X
0
1
2
3
P

E(X)＝np＝＝.D(X)＝np(1－p)＝
19． (Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析
【解析】
(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.
(Ⅱ) 设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.
(Ⅲ) 设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.
【详解】
(Ⅰ)，，故，，，.
故四边形的面积为.
(Ⅱ)设为，则，故，
设，，故，
，
同理可得，
，故，
即，，故.
(Ⅲ)设中点为，则，，
相减得到，即，
同理可得：的中点，满足，
故，故四边形不能为矩形.
本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20．（1），；（2）
【解析】
分析：（1）用代入法消参数可得直线的普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，其中参数的绝对值表示直线上对应点到的距离，因此有，，直接由韦达定理可得，注意到直线与圆相交，因此判别式＞0，这样可得满足的不等关系，由此可求得的取值范围.
详解：（1）直线的参数方程为，
普通方程为，
将代入圆的极坐标方程中,
可得圆的普通方程为，
（2）解：直线的参数方程为代入圆的方程为 可得：
（*），
且由题意 ，,
.
因为方程（*）有两个不同的实根，所以，
即，
又，
所以.
因为，所以
所以.
点睛：（1）参数方程化为普通方程，一般用消参数法，而消参法有两种选择：一是代入法，二是用公式；
（2）极坐标方程与直角坐标方程互化一般利用公式；
（3）过的直线的参数方程为（为参数）中参数具有几何意义：直线上任一点对应参数，则.
21．（1）见解析；（2）
【解析】
分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.
详解：（1）当时，等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
（2）设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
22．（1）（2）
【解析】
（1）用分类讨论思想去掉绝对值符号后可解不等式；
（2）由（1）得的最小值为4，则由，代换后用基本不等式可得最小值．
【详解】
解：（1）
讨论：
当时，，即，此时无解；
当时，；
当时，.
所求不等式的解集为
（2）分析知，函数的最小值为4

，当且仅当时等号成立.
的最小值为4.
本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最小值．解绝对值不等式的方法是分类讨论思想．