河南省开封市重点名校2026年高三下学期第一次质量预测数学试题含解析.doc

河南省开封市重点名校2026年高三下学期第一次质量预测数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设为虚数单位，为复数，若为实数，则（ ）
A． B． C． D．
2．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）

A． B． C． D．
3．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为( )
A．5 B．6 C．7 D．9
4．已知（），i为虚数单位，则（ ）
A． B．3 C．1 D．5
5．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．4 C．2 D．
6．已知直线和平面，若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分不必要
7．已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围（ ）．
A． B． C． D．
8．将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(>0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则的最小值为( )
A． B． C． D．
9．已知为虚数单位，若复数，，则
A． B．
C． D．
10．若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
12．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据： ）

A．48 B．36 C．24 D．12
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，，若，则______.
14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
15．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△ABC面积的最大值为_______．

16．设，满足约束条件，若的最大值是10，则________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且.

（1）求证：平面；
（2）若，，，，求二面角的正弦值.
18．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.
19．（12分）在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.

（1）求证：平面；
（2）已知二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）如图所示的几何体中，，四边形为正方形，四边形为梯形，，，，为中点.

（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
21．（12分）在平面直角坐标系中，将曲线（为参数）通过伸缩变换，得到曲线，设直线（为参数)与曲线相交于不同两点，.
（1）若，求线段的中点的坐标；
（2）设点，若，求直线的斜率.
22．（10分）已知函数.
（1）当时.
①求函数在处的切线方程；
②定义其中，求；
（2）当时，设，(为自然对数的底数)，若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解
【详解】
设，则.
由题意有，所以.
故选：B
本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题
2．B
【解析】
列出每一次循环，直到计数变量满足退出循环.
【详解】
第一次循环：；第二次循环：；
第三次循环：，退出循环，输出的为.
故选：B.
本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.
3．A
【解析】
由题可知：，且可得，构造函数求导，通过导函数求出的单调性，结合图像得出，即得出，
从而得出的最大值.
【详解】
因为，
则，即
整理得，令，
设，
则，
令,则，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，则，
因为，，
由题可知：时，则，所以，
所以，
当无限接近时，满足条件，所以，
所以要使得
故当时，可有，
故，即，
所以：最大值为5.
故选：A.
本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.
4．C
【解析】
利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.
【详解】
由，得，解得.
故选:C.
本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题.
5．A
【解析】
由已知得，，由已知比值得，再利用双曲线的定义可用表示出，，用勾股定理得出的等式，从而得离心率．
【详解】
.又，可令，则.设，得，即，解得，∴,,
由得，，，该双曲线的离心率.
故选：A.

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点到焦点的距离都用表示出来，从而再由勾股定理建立的关系．
6．B
【解析】
由线面关系可知，不能确定与平面的关系，若一定可得，即可求出答案.
【详解】
,
不能确定还是，
，
当时，存在，，
由
又可得，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题.
7．B
【解析】
根据条件可知方程有且只有一个实根等价于函数的图象与直线只有一个交点，作出图象，数形结合即可．
【详解】
解：因为条件等价于函数的图象与直线只有一个交点，作出图象如图，

由图可知，，
故选：B．
本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题．
8．B
【解析】
首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合，
那么，利用的最小正周期为，从而求得结果.
【详解】
的最小正周期为，
那么(∈)，
于是，
于是当时，最小值为，
故选B.
该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.
9．B
【解析】
由可得，所以，故选B．
10．C
【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系.
【详解】
对数函数为上的增函数，则，即；
指数函数为上的增函数，则；
指数函数为上的减函数，则.
综上所述，.
故选：C.
本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.
11．A
【解析】
试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．
考点：集合的运算．
12．C
【解析】
由开始，按照框图，依次求出s，进行判断。
【详解】

，故选C.
框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．-1
【解析】
由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论．
【详解】
由已知，∵，∴，．
故答案为：－1．
本题考查向量垂直的坐标运算．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
14．130. 15.
【解析】
由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.
【详解】
(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
15．
【解析】
先根据点共线得到，从而得到O的轨迹为阿氏圆，结合三角形和三角形的面积关系可求.
【详解】
设
B，O，E共线，则，解得，从而O为CD中点，故.
在△BOD中，BD＝2，，易知O的轨迹为阿氏圆，其半径，
故．
故答案为：.
本题主要考查三角形的面积问题，把所求面积进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
16．
【解析】
画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.
【详解】
画出不等式组表示的平面区域如下所示：

目标函数可转化为与直线平行，
数形结合可知当且仅当目标函数过点，取得最大值，
故可得，解得.
故答案为：.
本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）要证明平面，只需证明，，即可求得答案；
（2）先根据已知证明四边形为矩形，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立坐标系，求得平面的法向量为，平面的法向量，设二面角的平面角为，，即可求得答案.
【详解】
（1）平面，平面，
.
，，
.
又，
平面.
（2）由（1）可知.
在中，，
.
.
又，，
四边形为矩形.
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立坐标系，
如图：

则：，，，，
：，
设平面的法向量为，

即，
令，则，

由题平面，即平面的法向量为
由二面角的平面角为锐角，
设二面角的平面角为
即

二面角的正弦值为：.
本题主要考查了求证线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直判断定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）把点代入椭圆方程，结合离心率得到关于的方程，解方程即可；
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段的中垂线方程即可证明.
【详解】
（Ⅰ）由已知椭圆过点得，，
又，得，
所以，即椭圆方程为.
（Ⅱ）证明： 由，得，
由，得，
由韦达定理可得，，
设的中点为，得，即，
，
的中垂线方程为，即，
故得中垂线恒过点.
本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由已知可得，结合，由直线与平面垂直的判定可得平面；
（2）由（1）知，，则，，两两互相垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，0，，由二面角的余弦值为求解，再由空间向量求解直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：因为四边形是等腰梯形，，，所以.又，所以，
因此，，
又，
且，，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，，
由于，因此，
又平面，平面，所以.
由于，，平面，
所以平面，故，
所以为二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，
因此，又，
因为，所以，所以
以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系，则，，
，，
设平面的法向量为
所以，即，令，则，，
则平面的法向量，，
设直线与平面所成角为，则

本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题．
20．（1）见解析；（2）
【解析】
(1)取的中点，结合三角形中位线和长度关系，为平行四边形，进而得到，根据线面平行判定定理可证得结论；
(2)以，，为，，轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；
【详解】
（1）取的中点，连结，
因为为中点，，，
所以，，∴为平行四边形，
所以，
又因为，
所以；
（2）由题及（1）易知，，两两垂直，
所以以，，为，，轴建立空间直角坐标系,
则，，，，，，
易知面的法向量为
设面的法向量为
则
可得
所以,
如图可知二面角为锐角，所以余弦值为

本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角,正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.
21．（1）；（2）.
【解析】
（1）由l参数方程与椭圆方程联立可得A、B两点参数和，再利用M点的参数为A、B两点参数和的一半即可求M的坐标；
（2）利用直线参数方程的几何意义得到，再利用计算即可，但要注意判别式还要大于0.
【详解】
（1）由已知，曲线的参数方程为（为参数），其普通方程为，
当时，将 （为参数）代入得，设
直线l上A、B两点所对应的参数为，中点M所对应的参数为，则，
所以的坐标为；
（2）将代入得，
则，因为即，
所以，故，由
得，所以.
本题考查了伸缩变换、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道中档题.
22．（1）①；②8079；（2）.
【解析】
（1）①时，，，利用导数的几何意义能求出函数在处的切线方程．
②由，得，由此能求出的值．
（2）根据若对任意给定的，，在区间，上总存在两个不同的，使得成立，得到函数在区间，上不单调，从而求得的取值范围．
【详解】
（1）①∵，
∴
∴，∴，∵，
所以切线方程为.
②，
.
令，则,.
因为①,
所以②,
由①+②得,所以.
所以.
（2），当时，函数单调递增；
当时，，函数单调递减∵，，
所以，函数在上的值域为.
因为， ，
故，，①
此时，当 变化时、的变化情况如下：

—
0
+

单调减
最小值
单调增
∵，
，
∴对任意给定的，在区间上总存在两个不同的，
使得成立，当且仅当满足下列条件
，即
令，，
，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减所以，对任意，有，即②对任意恒成立.
由③式解得：④
综合①④可知，当时，对任意给定的，
在上总存在两个不同的，使成立.
本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件．不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．