河北省承德市联校2026年招生全国统一考试仿真卷（十）-高考数学试题仿真试题含解析.doc

河北省承德市联校2026年招生全国统一考试仿真卷（十）-高考数学试题仿真试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（ ）
A．36种 B．44种 C．48种 D．54种
2．若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，则A∪B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x﹣1≤x≤2}
5．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面四边形中，满足，且，沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为（ ）

A．12 B． C． D．
7．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，且，当时，.若，则函数在上的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．8
9．对于任意，函数满足，且当时，函数.若，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合，则全集则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
11．若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．若直线不平行于平面，且，则（ ）
A．内所有直线与异面
B．内只存在有限条直线与共面
C．内存在唯一的直线与平行
D．内存在无数条直线与相交
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设是等比数列的前项的和，成等差数列，则的值为_____．
14．已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________.
15．在平面直角坐标系中,点在曲线：上,且在第四象限内．已知曲线在点处的切线为,则实数的值为__________．
16．已知抛物线的焦点为，其准线与坐标轴交于点，过的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）
（1）求的值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.
18．（12分）设函数，.
（1）求函数的极值；
（2）对任意，都有，求实数a的取值范围.
19．（12分）已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.
（1）判断点是否在直线上？说明理由；
（2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.
20．（12分）随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：
分组
频数（单位：名）
使用“余额宝”

使用“财富通”

使用“京东小金库”
30
使用其他理财产品
50
合计
1200
已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多160名.
（1）求频数分布表中，的值；
（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为，“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取7人，然后从这7人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为，求的分布列及数学期望.注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.
21．（12分）已知椭圆（）的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
22．（10分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形， ，．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
分三种情况，任务A排在第一位时，E排在第二位；任务A排在第二位时，E排在第三位；任务A排在第三位时，E排在第四位，结合任务B和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案．
【详解】
六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F，
如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好D、F，再在D、F之间的3个空位中插入B、C，此时共有排列方法：；
如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A、E的两侧，排列方法有，可能都在A、E的右侧，排列方法有；
如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A、E的两侧；
所以不同的执行方案共有种．
本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．
2．A
【解析】
先确定集合中的元素，然后由交集定义求解．
【详解】
，.
故选：A．
本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．
3．B
【解析】
由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．
【详解】
解：由等差数列的性质可得，解得，
，

故选：B．
本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．
4．A
【解析】
解出集合A和B即可求得两个集合的并集.
【详解】
∵集合{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，
B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．
故选：A．
此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.
5．D
【解析】
设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】
设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：
，因此双曲线的渐近线方程为：
.
故选：D
本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.
6．C
【解析】
过作于，连接，易知，，从而可证平面，进而可知，当最大时，取得最大值，取的中点，可得，再由，求出的最大值即可.
【详解】
在和中，，所以，则，
过作于，连接，显然，则，且，
又因为，所以平面，
所以，
当最大时，取得最大值，取的中点，则，
所以，
因为，所以点在以为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，
所以的最大值为椭圆的短轴长的一半，故最大值为，
所以最大值为，故的最大值为.
故选：C.

本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.
7．D
【解析】
求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，直线的斜率为，
可得直线的方程为，
把直线的方程代入双曲线，可得，
设，则，
由的中点为，可得，解答，
又由，即，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：D.
本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
8．A
【解析】
根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得；利用定义可证明函数的单调性，由赋值法即可求得函数在上的最大值.
【详解】
函数的定义域为，且，
则；
任取，且，则，
故，
令，，则，
即，
故函数在上单调递增，
故，
令，，
故，
故函数在上的最大值为4.
故选：A.
本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.
9．A
【解析】
由已知可得的单调性，再由可得对称性，可求出在单调性，即可求出结论.
【详解】
对于任意，函数满足，
因为函数关于点对称，
当时，是单调增函数，
所以在定义域上是单调增函数.
因为，所以，
.
故选:A.
本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..
10．D
【解析】
化简集合，根据对数函数的性质，化简集合，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论.
【详解】
由，
则，故，
由知，，因此，
，，
，
故选:D
本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.
11．A
【解析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．
【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即.
故选：A

本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
12．D
【解析】
通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD的正误.
【详解】
根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC错误，故选D.
本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2
【解析】
设等比数列的公比设为再根据成等差数列利用基本量法求解再根据等比数列各项间的关系求解即可.
【详解】
解：等比数列的公比设为
成等差数列,
可得
若则
显然不成立,故
则,
化为
解得,
则
故答案为：．
本题主要考查了等比数列的基本量求解以及运用,属于中档题.
14．2
【解析】
根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.
【详解】
为焦点
在双曲线上，则
又

本题正确结果：
本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.
15．
【解析】
先设切点,然后对求导,根据切线方程的斜率求出切点的横坐标,代入原函数求出切点的纵坐标,即可得出切得,最后将切点代入切线方程即可求出实数的值.
【详解】
解:依题意设切点,
因为,
则,
又因为曲线在点处的切线为,
,解得,
又因为点在第四象限内,则,
.则
又因为点在切线上.
所以.
所以.
故答案为:
本题考查了导数的几何意义,以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标,本题属于基础题.
16．
【解析】
求出抛物线焦点坐标，由，结合向量的坐标运算得，直线方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，，从而可求得，得斜率．
【详解】
由得，即
联立得
解得或，∴．
故答案为：．
本题考查直线与抛物线相交，考查向量的线性运算的坐标表示．直线方程与抛物线方程联立后消元，应用韦达定理是解决直线与抛物线相交问题的常用方法．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1)a=-1,b=1;(2)-1.
【解析】
（1）对求导得，根据函数的图象在处的切线为，列出方程组，即可求出的值；（2）由（1）可得，根据对任意恒成立，等价于对任意恒成立，构造，求出的单调性，由，，，，可得存在唯一的零点，使得，利用单调性可求出，即可求出的最大值.
（1），.
由题意知.
（2）由（1）知：，
∴对任意恒成立
对任意恒成立
对任意恒成立.
令，则.
由于，所以在上单调递增.
又，，，，
所以存在唯一的，使得，且当时，，时，. 即在单调递减，在上单调递增.
所以.
又，即，∴.
∴ .
∵ ，∴ .
又因为对任意恒成立，
又，∴ .
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
18．（1）当时， 无极值；当时， 极小值为；（2）.
【解析】
（1）求导，对参数进行分类讨论，即可容易求得函数的极值；
（2）构造函数，两次求导，根据函数单调性，由恒成立问题求参数范围即可.
【详解】
（1）依题，
当时，，函数在上单调递增，此时函数无极值；
当时，令，得，
令，得
所以函数在上单调递增，
在上单调递减.
此时函数有极小值，
且极小值为.
综上：当时，函数无极值；
当时，函数有极小值，
极小值为.
（2）令
易得且，
令
所以，
因为，，从而，
所以，在上单调递增.
又
若，则
所以在上单调递增，从而，
所以时满足题意.
若，
所以，，
在中，令，由（1）的单调性可知，
有最小值，从而.
所以
所以，由零点存在性定理：
，使且
在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，.
故当，不成立.
综上所述：的取值范围为.
本题考查利用导数研究含参函数的极值，涉及由恒成立问题求参数范围的问题，属压轴题.
19．（1）不在，证明见详解；（2）
【解析】
（1）假设直线方程，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算，可得，然后验证可得结果.
（2）分别计算线段中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点的轨迹方程，然后可得焦点，结合抛物线定义可得，计算可得结果.
【详解】
（1）设直线方程，
根据题意可知直线斜率一定存在，
则

则

由
所以
将代入上式
化简可得，所以
则直线方程为，
所以直线过定点，
所以可知点不在直线上.
（2）设
线段的中点为
线段的中点为
则直线的斜率为，
直线的斜率为
可知线段的中垂线的方程为
由，所以上式化简为
即线段的中垂线的方程为
同理可得：
线段的中垂线的方程为
则
由（1）可知：
所以
即，所以点轨迹方程为
焦点为，
所以
当三点共线时，有最大
所以
本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处，第（2）问中关键在于得到点的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.
20．（1）；（2）680元.
【解析】
（1）根据题意，列方程，然后求解即可
（2）根据题意，计算出10000元使用“余额宝”的利息为（元）和
10000元使用“财富通”的利息为（元），
得到所有可能的取值为560（元），700（元），840（元），
然后根据所有可能的取值，计算出相应的概率，并列出的分布列表，然后求解数学期望即可
【详解】
（1）据题意，得，
所以.
（2）据，得这被抽取的7人中使用“余额宝”的有4人，使用“财富通”的有3人.
10000元使用“余额宝”的利息为（元）.
10000元使用“财富通”的利息为（元）.
所有可能的取值为560（元），700（元），840（元）.
，，.
的分布列为

560
700
840

所以（元）.
本题考查频数分布表以及分布列和数学期望问题，属于基础题
21． (1) (2)见解析
【解析】
（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.
【详解】
(1)由题意可得，，又，
解得，.
所以，椭圆的方程为
(2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.
设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.
设，，定点.(依题意
则由韦达定理可得，，.
直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.
所以，，即得.
又，，
所以，，整理得，.
从而可得，，
即，
所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.
本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.
22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（1）取中点，连，，由等边三角形三边合一可知，，即证．（2）以，，为正方向建立空间直角坐标系，由向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）证明：连，，则和皆为正三角形．
取中点，连，，则，，
则平面，则
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，所以．
如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，

则，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以
取
面的法向量取，
则，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值．