2025-2026学年上海市普陀区曹杨二中高三第二次模拟考试数学试题含解析.doc

2025-2026学年上海市普陀区曹杨二中高三第二次模拟考试数学试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． C．13 D．
2．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数( )
A．3 B． C． D．
3．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）

A． B．
C． D．
4．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y=3x，x＞0}时，A∩B=（ ）
A．{x|x＞﹣2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|1≤x≤2} D．∅
5．已知数列满足,(),则数列的通项公式( )
A． B． C． D．
6．已知是边长为的正三角形，若，则
A． B．
C． D．
7．设复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．函数f(x)＝的图象大致为()
A． B．
C． D．
9．若双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（ ）
A． B． C．6 D．8
10．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ）
A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣12
11．存在点在椭圆上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量、的夹角为，且，则的最大值是_____．
14．已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，，…，，则______．
15．已知，，且，则最小值为__________．
16．如图，在体积为V的圆柱中，以线段上的点O为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为，，则的值是______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）对于很多人来说，提前消费的认识首先是源于信用卡，在那个工资不高的年代，信用卡绝对是神器，稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买，甚至于分期买，然后慢慢还！现在银行贷款也是很风靡的，从房贷到车贷到一般的现金贷．信用卡“忽如一夜春风来”，遍布了各大小城市的大街小巷．为了解信用卡在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）

经常使用信用卡
偶尔或不用信用卡
合计
40岁及以下
15
35
50
40岁以上
20
30
50
合计
35
65
100
（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关？
（2）①现从所抽取的40岁及以下的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人赠送积分，求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率；
②将频率视为概率，从市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品，记其中经常使用信用卡的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差．
参考公式：，其中．
参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

18．（12分）已知函数（）
（1）函数在点处的切线方程为，求函数的极值；
（2）当时，对于任意，当时，不等式恒成立，求出实数的取值范围.
19．（12分）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.
已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.
（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；
（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）；
（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.
参考数据：.
20．（12分）如图，是矩形，的顶点在边上，点，分别是，上的动点（的长度满足需求）.设，，，且满足.

（1）求；
（2）若，，求的最大值.
21．（12分）已知函数的最大值为，其中.
（1）求实数的值；
（2）若求证:.
22．（10分）已知函数
（1）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；
（2）若函数对恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．
【详解】
解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即

点到坐标原点的距离最大，即．
故选：．
本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．
2．B
【解析】
利用乘法运算化简复数即可得到答案.
【详解】
由已知，，所以，解得.
故选：B
本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
3．D
【解析】
因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.
点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.
4．B
【解析】试题分析：由集合A中的函数，得到，解得：，∴集合，由集合B中的函数，得到，∴集合，则，故选B．
考点：交集及其运算．
5．A
【解析】
利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．
【详解】
数列满足：，，
可得

以上各式相加可得：
，
故选：．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力．
6．A
【解析】
由可得，因为是边长为的正三角形，所以，故选A．
7．D
【解析】
先把变形为，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标可得答案.
【详解】
解：由，得，
所以，其在复平面内对应的点为，在第四象限
故选：D
此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
8．D
【解析】
根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值可区分剩余两个选项.
【详解】
因为f(－x)＝≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称，排除选项B，C.
又f(2)＝＝－<0.排除A，故选D.
本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.
9．A
【解析】
依题意可得，再根据离心率求出，即可求出，从而得解；
【详解】
解：∵双曲线的离心率为，
所以，∴，∴，双曲线的焦距为.
故选：A
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
10．D
【解析】
分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.
【详解】
设，
联立
则，
因为直线经过C的焦点，
所以.
同理可得，
所以
故选：D.
本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。
11．D
【解析】
根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.
【详解】
因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,
由,解得,即,所以,
所以.
故选：D
本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.
12．B
【解析】
求出导函数，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围．
【详解】
，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在上只有一个极大值也是最大值，显然时，，时，，
因此要使函数有两个零点，则，∴．
故选：B．
本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
建立平面直角坐标系，设，可得，进而可得出，，由此将转化为以为自变量的三角函数，利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可得出结果.
【详解】
根据题意建立平面直角坐标系如图所示，设，，以、为邻边作平行四边形，则，
设，则，，且，

在中，由正弦定理，得，即，
在中，由正弦定理，得，即.
，，
则，
当时，取最大值.
故答案为：.
本题考查了向量的数量积最值的计算，将问题转化为角的三角函数的最值问题是解答的关键，考查计算能力，属于难题．
14．18
【解析】
由题意得函数f（x）与g（x）的图像都关于点对称，结合函数的对称性进行求解即可．
【详解】
函数为奇函数，函数关于点对称，，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，与图像的交点为，，…，,两两关于点对称， .
故答案为：18
本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.
15．
【解析】
首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
【详解】
，
结合可知原式，
且
，
当且仅当时等号成立.
即最小值为.
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
16．
【解析】
根据圆柱的体积为，以及圆锥的体积公式，计算即得.
【详解】
由题得，，得.
故答案为：
本题主要考查圆锥体的体积，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关；（2）①；②分布列见解析，，
【解析】
(1)计算再对照表格分析即可.
(2)①根据分层抽样的方法可得经常使用信用卡的有人,偶尔或不用信用卡的有人,再根据超几何分布的方法计算3人或4人偶尔或不用信用卡的概率即可.
②利用二项分布的特点求解变量的分布列、数学期望和方差即可.
【详解】
（1）由列联表可知,,因为,
所以不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关.
（2）①依题意,可知所抽取的10名40岁及以下网民中,经常使用信用卡的有（人）,偶尔或不用信用卡的有（人）.
则选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率.
②由列联表,可知40岁以上的网民中,抽到经常使用信用卡的频率为,
将频率视为概率,即从市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用信用卡的市民的概率为.
由题意得,
则,
,
,
.
故随机变量的分布列为：

0
1
2
3

故随机变量的数学期望为,方差为.
本题主要考查了独立性检验以及超几何分布与二项分布的知识点,包括分类讨论以及二项分布的数学期望与方差公式等.属于中档题.
18．（1）极小值为，极大值为.（2）
【解析】
（1）根据斜线的斜率即可求得参数，再对函数求导，即可求得函数的极值；
（2）根据题意，对目标式进行变形，构造函数，根据是单调减函数，分离参数，求函数的最值即可求得结果.
【详解】
（1）函数的定义域为，
，，，
可知，，
解得，，
可知在，时，，函数单调递增，
在时，，函数单调递减，
可知函数的极小值为，
极大值为.
（2）可以变形为，
可得，
可知函数在上单调递减
，
，
可得，
设，
，
可知函数在单调递减，
，
可知，
可知参数的取值范围为.
本题考查由切线的斜率求参数的值，以及对具体函数极值的求解，涉及构造函数法，以及利用导数求函数的值域；第二问的难点在于对目标式的变形，属综合性中档题.
19．（1）289200元；（2）能够获批；（3）应选择等额本金还款方式
【解析】
（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；
（2）根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；
（3）计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断.
【详解】
（1）由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为，
表示数列的前项和，则，，
则，
故小张该笔贷款的总利息为元.
（2）设小张每月还款额为元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，
则，
所以，
即，
因为，
所以小张该笔贷款能够获批.
（3）小张采取等额本息贷款方式的总利息为：
，
因为，
所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式.
本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解决问题的关键，属于中档题.
20．（1）（2）
【解析】
（1）利用正弦定理和余弦定理化简，根据勾股定理逆定理求得.
（2）设，由此求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】
（1）设，，，由，
根据正弦定理和余弦定理得.
化简整理得.由勾股定理逆定理得.
（2）设，，由（1）的结论知.
在中，，由，所以.
在中，，由，所以.
所以，
由，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为.
本小题考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转换思想，应用意识.
21．（1）1；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得的最大值，进而求得的值.
（2）利用（1）的结论，将转化为，求得的取值范围，利用换元法，结合函数的单调性，证得，由此证得不等式成立.
【详解】
（1）

当时，取得最大值.

（2）证明:由（1）得，，

，当且仅当时等号成立，

令，
则在上单调递减

当时，

.
本小题主要考查含有绝对值的函数的最值的求法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）求导得到，讨论和两种情况，计算函数的单调性，得到，再讨论，，三种情况，计算得到答案.
（2）计算得到，讨论，两种情况，分别计算单调性得到函数最值，得到答案.
【详解】
（1），
①当时恒成立，所以单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合题意；
②当时，令，
函数在上单调递减，在上单调递增，函数。
（i）当即,所以符合题意，
（ii）当即 时，
因为，
故存在,所以 不符题意
（iii）当 时，
因为，
设，
所以,单调递增，即，
故存在，使得，不符题意；
综上，的取值范围为。
（2）。
①当时，恒成立，所以 单调递增，所以，
即符合题意；
②当 时，恒成立，所以单调递增，
又因为，
所以存在，使得，且当时，。
即在上单调递减，所以，不符题意。
综上，的取值范围为.
本题考查了函数的零点问题，恒成立问题，意在考查学生的分类讨论能力和综合应用能力.