山东省德州市平原中英文实验高级中学2026年普通高校招生全国统考适应性（一）数学试题试卷含解析.doc

山东省德州市平原中英文实验高级中学2026年普通高校招生全国统考适应性（一）数学试题试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）

A．12个月的PMI值不低于50%的频率为
B．12个月的PMI值的平均值低于50%
C．12个月的PMI值的众数为49.4%
D．12个月的PMI值的中位数为50.3%
2．已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．等比数列若则（ ）
A．±6 B．6 C．-6 D．
4．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（ ）

A． B． C． D．
5．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ）
A．2 B．4 C． D．8
6．已知向量，，=(1，)，且在方向上的投影为，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．0
7．某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．设m，n为直线，、为平面，则的一个充分条件可以是( )
A．，， B．，
C．， D．，
9．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为( )
A．2020 B．20l9 C．2018 D．2017
10．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）

A． B．
C． D．
11．在平行四边形中，若则( )
A． B． C． D．
12．集合的真子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______.
14．已知圆，直线与圆交于两点，，若，则弦的长度的最大值为_______.
15．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是________．
16．数列的前项和为 ，则数列的前项和_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．

(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及．
18．（12分）设，
（1）求的单调区间；
（2）设恒成立，求实数的取值范围.
19．（12分）已知的内角的对边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的周长的最小值.
20．（12分）在以为顶点的五面体中，底面为菱形，，，，二面角为直二面角.

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
21．（12分）已知函数，直线是曲线在处的切线．
（1）求证：无论实数取何值，直线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（2）若直线经过点，试判断函数的零点个数并证明．
22．（10分）在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.
【详解】
对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为，故A正确；
对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确；
对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，；
对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误
故选：D.
本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.
2．C
【解析】
先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合，解得的取值范围.
【详解】
由题化简得，，
作出的图象，

又由易知．
故选：C.
本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.
3．B
【解析】
根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可.
【详解】
由等比数列中等比中项性质可知，，
所以，
而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以，
故选：B.
本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题.
4．D
【解析】
首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及的关系，最终得出选项．
【详解】
经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，
第一次循环：；
第二次循环：；
第三次循环：，
此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，，故选D．
题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．
5．B
【解析】
根据题意得到，，解得答案.
【详解】
，，解得或（舍去）.
故.
故选：.
本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.
6．B
【解析】
先求出，再利用投影公式求解即可.
【详解】
解：由已知得，
由在方向上的投影为，得，
则.
故答案为：B.
本题考查向量的几何意义，考查投影公式的应用，是基础题.
7．B
【解析】
利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.
【详解】
由题意，，解得.
故选：B.
本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.
8．B
【解析】
根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，当，，时，由于不在平面内，故无法得出.
对于B选项，由于，，所以.故B选项正确.
对于C选项，当，时，可能含于平面，故无法得出.
对于D选项，当，时，无法得出.
综上所述，的一个充分条件是“，”
故选：B
本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.
9．B
【解析】
根据题意计算，，，计算，，，得到答案.
【详解】
是等差数列的前项和，若，
故，，，，故，
当时，，，，
，
当时，，故前项和最大.
故选：.
本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
10．D
【解析】
因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.
点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.
11．C
【解析】
由，,利用平面向量的数量积运算,先求得利用平行四边形的性质可得结果.
【详解】
如图所示,  
平行四边形中, , 
，
，
, 
因为, 
所以

, 
，
所以，故选C.
本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.
12．C
【解析】
根据含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，计算可得；
【详解】
解：集合含有个元素，则集合的真子集有（个），
故选：C
考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，属于基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案.
【详解】
如图，在正方体中，记的中点为，连接，
则平面即为平面．证明如下：
由正方体的性质可知，，则，四点共面，
记的中点为，连接，易证．连接，则，
所以平面，则．
同理可证，，，则平面，
所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面．
因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，
其对角线，，所以其面积．
故答案为：

本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
14．
【解析】
设为的中点，根据弦长公式，只需最小，在中，根据余弦定理将表示出来，由，得到
，结合弦长公式得到，求出点的轨迹方程，即可求解.
【详解】
设为的中点，
在中，，①
在中，，②

①②得，
即，
，.
，得.
所以，.
故答案为：.

本题考查直线与圆的位置关系、相交弦长的最值，解题的关键求出点的轨迹方程，考查计算求解能力，属于中档题.
15．
【解析】
由题意得出展开式中共有11项，；再令求得展开式中各项的系数和．
【详解】
由的展开式中只有第六项的二项式系数最大，
所以展开式中共有11项，所以；
令，可求得展开式中各项的系数和是：
．
故答案为：1．
本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项式展开式各项系数和的求法，属于基础题.
16．
【解析】
解： 两式作差，得 ，经过检验得出数列的通项公式，进而求得 的通项公式， 裂项相消求和即可．
【详解】
解：
两式作差，得
化简得 ，
检验：当n=1时， ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列； ，，
令

故填： ．
本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (Ⅰ). (Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先计算其逆事件，即人都认为不很幸福的概率，再用减去人都认为不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根据题意,随机变量，列出分布列，根据公式求出期望即可．
【详解】
(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福

(Ⅱ)根据题意，随机变量，的可能的取值为
；；
；
所以随机变量的分布列为：

所以的期望
本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型．
18．（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）
【解析】
（1），令，解不等式即可；
（2），令得，即，且的最小值为，令，结合即可解决.
【详解】
（1），
当时，，递增，
当时，，递减.
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），
，
，设的根为，即有可得，
，当时，，递减，
当时，，递增.

，
所以，
①当；
②当时，设，
递增，，所以.
综上，.
本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数恒成立问题，这里要强调一点，处理恒成立问题时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理.
19．（1）（2）
【解析】
（1）因为，所以，
由余弦定理得，化简得，
可得，解得，
又因为，所以.（6分）
（2）因为，所以，
则（当且仅当时，取等号）.
由（1）得（当且仅当时，取等号），解得.
所以（当且仅当时，取等号），
所以的周长的最小值为.
20．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）连接交于点，取中点，连结，证明平面得到答案.
（Ⅱ）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.
【详解】
（Ⅰ）连接交于点，取中点，连结
因为为菱形，所以.
因为，所以.
因为二面角为直二面角，所以平面平面，
且平面平面，所以平面所以
因为
所以是平行四边形，所以.
所以，所以，所以平面，
又平面，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知两两垂直，分别以为轴
建立如图所示的空间直角坐标系.

设
设平面的法向量为，由，
取.
平面的法向量为 .
所以二面角余弦值为.
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
21．（1）见解析，（2）函数存在唯一零点.
【解析】
（1）首先求出导函数，利用导数的几何意义求出处的切线斜率，利用点斜式即可求出切线方程，根据方程即可求出定点.
（2）由（1）求出函数，令方程可转化为记，利用导数判断函数在上单调递增，根据，由零点存在性定理即可求出零点个数.
【详解】

所以直线方程为
即，恒过点
将代入直线方程，
得考虑方程
即，等价于
记，
则
于是函数在上单调递增，又
所以函数在区间上存在唯一零点， 即函数存在唯一零点.
本题考查了导数的几何意义、直线过定点、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，属于难题.
22．（1）；（2）
【解析】
（1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点的轨迹的方程；
（2）设出切线的斜率分别为，切点，，点，则可得过点的拋物线的切线方程为，联立抛物线方程并化简，由相切时可得两条切线斜率关系；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出，可求得，结合点满足的方程可得的取值范围，即可求得的范围.
【详解】
（1）设点，
∵点到直线的距离等于，
∴，化简得，
∴动点的轨迹的方程为.
（2）由题意可知，的斜率都存在，分别设为，切点，，
设点，过点的拋物线的切线方程为，
联立，化简可得，
∴，即，
∴，.
由，求得导函数，
∴，，，
∴，
因为点满足，
由圆的性质可得，
∴，即直线斜率的取值范围为.
本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.