2026年福建省福州市长乐区长乐高级中学高三线上一模数学试题含解析.doc

2026年福建省福州市长乐区长乐高级中学高三线上一模数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）．
A． B． C． D．
2．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．运行如图程序，则输出的S的值为（　　）

A．0 B．1 C．2018 D．2017
5．已知为等差数列，若，，则( )
A．1 B．2 C．3 D．6
6．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种.
A．360 B．240 C．150 D．120
7．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．函数在上单调递增 B．函数的周期是
C．函数的图象关于点对称 D．函数在上最大值是1
8．如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）

A． B． C． D．
9．下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．若均为任意实数，且，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数一个递增区间为
C．函数的图像关于直线对称
D．将函数图像向左平移个单位可得函数的图像
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在的二项展开式中，x的系数为________．（用数值作答）
14．函数的图象在处的切线方程为__________．
15．已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______．
16．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，，
（1）讨论的单调性；
（2）若在定义域内有且仅有一个零点，且此时恒成立，求实数m的取值范围.
18．（12分）已知三点在抛物线上.

（Ⅰ）当点的坐标为时，若直线过点，求此时直线与直线的斜率之积；
（Ⅱ）当，且时，求面积的最小值.
19．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为，过点的直线l的参数方程为（为参数），直线l与曲线C交于M、N两点。
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：
（2）若成等比数列，求a的值。
20．（12分）设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；
记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）.
记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，.
（1）设，，请计算，，；
（2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；
（3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.
21．（12分）已知，，分别为内角，，的对边，且.
（1）证明：；
（2）若的面积，，求角.
22．（10分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：规定产品的质量指标值在的为劣质品，在的为优等品，在的为特优品，销售时劣质品每件亏损元，优等品每件盈利元，特优品每件盈利元，以这件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．

（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该企业主管部门为了解企业年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对该企业近年的年营销费用和年销售量，数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．

表中，，，．
根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程．
①求关于的回归方程；
②用所求的回归方程估计该企业每年应投入多少营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（收益销售利润营销费用，取）
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.
【详解】
因为终边上有一点，所以，

故选：B
此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.
2．D
【解析】
由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且，
可知为的三等分点，且,
点在直线上，并且，则，，
设，则，
解得，即，
代入双曲线的方程可得，解得，故选D．
点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
3．A
【解析】
首先判断和1的大小关系，再由换底公式和对数函数的单调性判断的大小即可.
【详解】
因为，，，所以，综上可得.
故选：A
本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．D
【解析】
依次运行程序框图给出的程序可得
第一次：，不满足条件；
第二次：，不满足条件；
第三次：，不满足条件；
第四次：，不满足条件；
第五次：，不满足条件；
第六次：，满足条件，退出循环．输出1．选D．
5．B
【解析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．
【详解】
∵{an}为等差数列，,
∴，
解得＝﹣10，d＝3，
∴＝+4d＝﹣10+11＝1．
故选：B．
本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．C
【解析】
可分成两类，一类是3个新教师与一个老教师结对，其他一新一老结对，第二类两个老教师各带两个新教师，一个老教师带一个新教师，分别计算后相加即可．
【详解】
分成两类，一类是3个新教师与同一个老教师结对，有种结对结对方式，第二类两个老教师各带两个新教师，有．
∴共有结对方式60＋90＝150种．
故选：C．
本题考查排列组合的综合应用．解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情，是先分类还是先分步，确定方法后再计数．本题中有一个平均分组问题．计数时容易出错．两组中每组中人数都是2，因此方法数为．
7．A
【解析】
根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.
【详解】
将横坐标缩短到原来的得：
当时，
在上单调递增 在上单调递增，正确；
的最小正周期为： 不是的周期，错误；
当时，，
关于点对称，错误；
当时，
此时没有最大值，错误.
本题正确选项：
本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.
8．B
【解析】
为所求的二面角的平面角，由得出，求出在内的轨迹，根据轨迹的特点求出的最大值对应的余弦值
【详解】
，，，
，同理
为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角
，又

，
在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系
则，设
，整理可得：
在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆
平面平面，，
为二面角的平面角，
当与圆相切时，最大，取得最小值
此时

故选
本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．
9．D
【解析】
根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.
【详解】
对于，，，错误；
对于，在上单调递减，，错误；
对于，，，，错误；
对于，在上单调递增，，正确.
故选：.
本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.
10．D
【解析】
该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.
【详解】
由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为，
故选D.
本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.
11．B
【解析】
由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可.
【详解】
解：显然是偶函数
所以只需时，有且只有2个零点即可
令，则
令，
递减，且
递增，且

时，有且只有2个零点，
只需
故选：B
考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.
12．B
【解析】
化简到，根据定义域排除，计算单调性知正确，得到答案.
【详解】
，
故函数的定义域为，故错误；
当时，，函数单调递增，故正确；
当，关于的对称的直线为不在定义域内，故错误.
平移得到的函数定义域为，故不可能为，错误.
故选：.
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．-40
【解析】
由题意，可先由公式得出二项展开式的通项，再令10-3r=1，得r=3即可得出x项的系数
【详解】
的二项展开式的通项公式为，
r=0，1，2，3，4，5，
令，
所以的二项展开式中x项的系数为.
故答案为：-40.
本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.
14．
【解析】
利用导数的几何意义,对求导后在计算在处导函数的值,再利用点斜式列出方程化简即可.
【详解】
,则切线的斜率为.
又,所以函数的图象在处的切线方程为,即.
故答案为：
本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题,需要注意求导法则与计算,属于基础题.
15．
【解析】
求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可
【详解】
则又
故切线方程为y=x+1
故答案为y=x+1
本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题
16．
【解析】
由题意可知：，且，从而可得值．
【详解】
由题意可知：
∴，即,
∴
故答案为：
本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．（2）．
【解析】
（1）求出导函数，分类讨论，由确定增区间，由确定减区间；
（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得结论．
【详解】
（1）函数定义域是，
，
当时，，单调递增；
时，令得，时，，递减，时，，递增，
综上所述，时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．
（2）易知，由函数单调性，若有唯一零点，则或．
当时，，，
从而只需时，恒成立，即，
令，，在上递减，在上递增，
∴，从而．
时，，，
令，由，知在递减，在上递增，，∴．
综上所述，的取值范围是．
本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数零点个数与不等式恒成立问题，解题关键在于转化，不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值．这又可通过导数求解．
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）16.
【解析】
（Ⅰ）设出直线的方程并代入抛物线方程，利用韦达定理以及斜率公式，变形可得；
（Ⅱ）利用，，的斜率，求得的坐标，，再用基本不等式求得的最小值，从而可得三角形的面积的最小值．
【详解】
解：（Ⅰ）设直线的方程为.
联立方程组，得，
，故，.
所以
；
（Ⅱ）不妨设的三个顶点中的两个顶点在轴右侧（包括轴），
设，，，的斜率为，
又，则， ①
因为，所以②
由① ②得，，（且）
从而
当且仅当时取“”号，从而，
所以面积的最小值为.
本题考查了直线与抛物线的综合，属于中档题．
19．（1）l的普通方程；C的直角坐标方程；（2）.
【解析】
（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程，代入曲线的方程，利用参数的几何意义即可得出，从而建立关于的方程，求解即可．
【详解】
（1）由直线l的参数方程消去参数t得,
，即为l的普通方程
由，两边乘以得
为C的直角坐标方程.
（2）将代入抛物线得

由已知成等比数列，

即，，，
整理得
（舍去）或.
熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．
20．（1）（2）详见解析（3）29
【解析】
（1）将，代入，可求出，，可代入求，，可求结果．
（2）可求，，通过反证法证明，
（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．
【详解】
（1）由题意知等差数列的通项公式为：；
等差数列的通项公式为：，
得，
则，，
得，
故．
（2）证明：已知．，由题意知等差数列的通项公式为：；
等差数列的通项公式为：，
得，，．
得，，，．
所以若，则存在，，使，
若，则存在，，，使，
因此，对于正整数，考虑集合，，，
即，，，，，，．
下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数．
反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，
又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，
不妨设为，，其中，，．则这两个元素的差为7的倍数，即，
所以，与矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．
即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为，，，
则存在，使，，，即，，，
由已证可知，若，则存在，，使，而，所以为负整数，
设，则，且，，，，
所以，当，时，对于整数，若，则成立．
（3）下面用反证法证明：若对于整数，，则，假设命题不成立，即，且．
则对于整数，存在，，，，，使成立，
整理，得，
又因为，，
所以且是7的倍数，
因为，，所以，所以矛盾，即假设不成立．
所以对于整数，若，则，
又由第二问，对于整数，则，
所以的最大值，就是集合中元素的最大值，
又因为，，，，
所以．
本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题．
21．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得
（2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到，利用三角形的面积公式列方程，由此求得，进而求得的值，从而求得角.
【详解】
（1）由已知得，
由余弦定理得，∴.
（2）由（1）及正弦定理得，即，
∴，∴，
∴.
，
∴，，.
本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
22．（1）元．（2）①②万元
【解析】
（1）每件产品的销售利润为，由已知可得的取值，由频率分布直方图可得劣质品、优等品、特优品的概率，从而可得的概率分布列，依期望公式计算出期望即为平均销售利润；
（2）①对取自然对数，得，
令，，，则，这就是线性回归方程，由所给公式数据计算出系数，得线性回归方程，从而可求得；
②求出收益，可设换元后用导数求出最大值．
【详解】
解：（1）设每件产品的销售利润为，则的可能取值为，，．由频率分布直方图可得产品为劣质品、优等品、特优品的概率分别为、、．
所以；；．所以的分布列为

所以（元）．
即每件产品的平均销售利润为元．
（2）①由，得，
令，，，则，
由表中数据可得，
则，
所以，即，
因为取，所以，故所求的回归方程为．
②设年收益为万元，则
令，则，，当时，，
当时，，所以当，即时，有最大值．
即该企业每年应该投入万元营销费，能使得该企业的年收益的预报值达到最大，最大收益为万元．
本题考查频率分布直方图，考查随机变量概率分布列与期望，考查求线性回归直线方程，及回归方程的应用．在求指数型回归方程时，可通过取对数的方法转化为求线性回归直线方程，然后再求出指数型回归方程．