安徽省铜陵一中、浮山中学2026届高三五校5月适应性考试数学试题试卷含解析.doc

安徽省铜陵一中、浮山中学2026届高三五校5月适应性考试数学试题试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（ ）

A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm
3．M、N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点,则|MN|的最小值为(　　)
A．π B．π C．π D．2π
4．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，这个数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫阶幻方．定义为阶幻方对角线上所有数的和，如，则（ ）

A．55 B．500 C．505 D．5050
5．已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）

A． B．
C． D．
7．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．-8 D．8
9．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）

A．甲得分的平均数比乙大 B．甲得分的极差比乙大
C．甲得分的方差比乙小 D．甲得分的中位数和乙相等
10．已知无穷等比数列的公比为2，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
12．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设，若关于的方程有实数解，则实数的取值范围_____．
14．在中，，，，则________，的面积为________．
15．设为定义在上的偶函数，当时，（为常数），若，则实数的值为______.
16．已知实数，满足约束条件，则的最小值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆，上、下顶点分别是、，上、下焦点分别是、，焦距为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆上异于、的动点，过作与轴平行的直线，直线与交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值，说明理由.
18．（12分）2019年6月，国内的运营牌照开始发放.从到，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：
用户分类
预计升级到的时段
人数
早期体验用户
2019年8月至2019年12月
270人
中期跟随用户
2020年1月至2021年12月
530人
后期用户
2022年1月及以后
200人
我们将大学生升级时间的早晚与大学生愿意为套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的）.

（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到的概率；
（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以表示这2人中愿意为升级多支付10元或10元以上的人数，求的分布列和数学期望；
（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.
19．（12分）已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.
20．（12分）设
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
21．（12分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数，）．以坐标原点 为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（l）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程：
（2）若直线与曲线C相交于A，B两点，且．求直线 的方程．
22．（10分）已知数列的前项和和通项满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列中，，，求数列的前项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.
【详解】
解：，
则复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：，
位于第二象限.
故选：B.
本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.
2．D
【解析】
过点做正方形边的垂线，如图，设，利用直线三角形中的边角关系，将用表示出来，根据，列方程求出，进而可得正方形的边长.
【详解】
过点做正方形边的垂线，如图，
设，则，，

则
，

因为，则，
整理化简得，又，
得 ，
.
即该正方形的边长为.
故选：D.
本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.
3．C
【解析】
两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,

设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1=,x2=π,
|x1-x2|=π,
|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|
=π+π
=π,
∴|MN|==π.故选C.
4．C
【解析】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得，即得解.
【详解】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和，
又阶幻方有行（或列），
因此，，
于是．
故选：C
本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
5．B
【解析】
先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出
和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.
【详解】
设,根据图象可知,
,
再由, 取,
∴.
将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,
∴.
,,
令,则,显然,
∴是的必要不充分条件.
故选：B．
本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.
6．C
【解析】
根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.
【详解】
最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.
本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.
7．C
【解析】
根据程序框图程序运算即可得.
【详解】
依程序运算可得：
，
故选：C
本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.
8．B
【解析】
先求出向量,的坐标，然后由可求出参数的值.
【详解】
由向量，，
则，
，
又，则，解得.
故选：B
本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.
9．B
【解析】
由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论．
【详解】
对于甲，；
对于乙，，
故正确；
甲的极差为，乙的极差为，故错误；
对于甲，方差.5，
对于乙，方差，故正确；
甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，故正确．
故选：．
本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
10．A
【解析】
依据无穷等比数列求和公式，先求出首项，再求出，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。
【详解】
因为无穷等比数列的公比为2，则无穷等比数列的公比为。
由有，，解得，所以，
，故选A。
本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。
11．A
【解析】
根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解.
【详解】
∵，
集合，
∴由交集运算可得.
故选：A.
本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.
12．A
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.
【详解】
当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，
若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，
则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，
故选：A.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
先求出，从而得函数在区间上为增函数；在区间为减函数．即可得的最大值为，令，得函数取得最小值，由有实数解，，进而得实数的取值范围．
【详解】
解：，
当时，；当时，；
函数在区间上为增函数；在区间为减函数．
所以的最大值为，
令，
所以当时，函数取得最小值，
又因为方程有实数解，那么，即，
所以实数的取值范围是：．
故答案为：
本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，属于中档题.
14．
【解析】
利用余弦定理可求得的值，进而可得出的值，最后利用三角形的面积公式可得出的面积.
【详解】
由余弦定理得，则，
因此，的面积为.
故答案为：；.
本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题.
15．1
【解析】
根据为定义在上的偶函数，得，再根据当时，（为常数）求解.
【详解】
因为为定义在上的偶函数，
所以，
又因为当时，，
所以，
所以实数的值为1.
故答案为：1
本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
16．
【解析】
作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解与点的斜率，观察图形斜率最小在点B处，联立，解得点B坐标，即可求得答案.
【详解】
作出满足约束条件的可行域，该目标函数视为可行解与点的斜率，故
由题可知，联立得,联立得
所以，故
所以的最小值为

故答案为：
本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2），理由见解析.
【解析】
（1）求出椭圆的上、下焦点坐标，利用椭圆的定义求得的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）设点的坐标为，求出直线的方程，求出点的坐标，由此计算出直线和的斜率，可计算出的值，进而可求得的值，即可得出结论.
【详解】
（1）由题意可知，椭圆的上焦点为、，
由椭圆的定义可得，可得，，
因此，所求椭圆的方程为；
（2）设点的坐标为，则，得，

直线的斜率为，所以，直线的方程为，
联立，解得，即点，
直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，，，
因此，.
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题.
18．（1）（2）详见解析（3）事件虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析
【解析】
（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）由题意的所有可能值为，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.
（3）设事件为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐”，得到七概率为，即可得到结论.
【详解】
（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即.
（2）由题意的所有可能值为，
记事件为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级多支付10元或10元以上”，
事件为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级多支付10元或10元以上”，
由题意可知，事件，相互独立，且，，
所以，

，
，
所以的分布列为

0
1
2

0.18
0.49
0.33
故的数学期望.
（3）设事件为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐”，那么.
回答一：事件虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.
回答二：事件发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.
本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
19．（1）（2）
【解析】
（1）由抛物线定义可知，解得，故抛物线的方程为；
（2）设直线：，联立，利用韦达定理算出的中点，又，所以直线的方程为，
求出，利用求解即可.
【详解】
（1）设的准线为，过作于，则由抛物线定义，得，
因为到的距离比到轴的距离大1，所以，解得，
所以的方程为
（2）由题意，设直线方程为，
由消去，得，
设，，则，
所以，
又因为为的中点，点的坐标为，
直线的方程为，
令，得，点的坐标为，
所以，
解得，所以直线的斜率为.
本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的运算求解能力.涉及抛物线的弦的中点，斜率问题时，可采用韦达定理或“点差法”求解.
20．（1）（2）
【解析】
(1)通过讨论的范围,得到关于的不等式组,解出取并集即可.
(2)去绝对值将函数写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由恒成立求得结果.
【详解】
解：（1）当时，，即
或或
解之得或，即
不等式的解集为.
（2）由题意得：
当时为减函数，显然恒成立.
当时，为增函数，
，
当时，为减函数，

综上所述：使恒成立的的取值范围为.
本题考查了解绝对值不等式问题,考查不等式恒成立问题中求解参数问题,考查分类讨论思想,转化思想,属于中档题.
21． (1)见解析(2)
【解析】
（1）将消去参数t可得直线的普通方程，利用x=ρcosθ， 可将极坐标方程转为直角坐标方程．（2）利用直线被圆截得的弦长公式计算可得答案．
【详解】
（1）由消去参数t得（），
由得曲线C的直角坐标方程为：
（2）由得，圆心为（1，0），半径为2，
圆心到直线的距离为，
∴，即，整理得
，∵，∴，，，
所以直线l的方程为：．
本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查分析能力与计算能力，属于基础题．
22．（1）；（2）
【解析】
（1）当时，利用可得，故可利用等比数列的通项公式求出的通项.
（2）利用分组求和法可求数列的前项和.
【详解】
（1）当时，，所以，
当时，，①
，②
所以，
即，又因为，故，所以，
所以是首项，公比为的等比数列，
故.
（2）由得：数列为等差数列，公差，
，，

.
本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.