2025-2026学年广西贵港市港南中学高三仿真（三）数学试题含解析.doc

2025-2026学年广西贵港市港南中学高三仿真（三）数学试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B．
C． D．
2．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
A．-40 B．-20 C．20 D．40
3．已知正方体的棱长为1，平面与此正方体相交.对于实数，如果正方体的八个顶点中恰好有个点到平面的距离等于，那么下列结论中，一定正确的是
A． B．
C． D．
4．在中，，，，为的外心，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．展开项中的常数项为
A．1 B．11 C．-19 D．51
7．设函数，若在上有且仅有5个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的对称轴不可能为（ ）
A． B． C． D．
9．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
11．定义两种运算“★”与“◆”，对任意，满足下列运算性质：①★，◆；②（）★★ ，◆◆，则（◆2020）（2020★2018）的值为( )
A． B． C． D．
12．设函数（，）是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在矩形中，，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_____.
14．若四棱锥的侧面内有一动点Q，已知Q到底面的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角平面角的大小为时，k的值为______.
15．执行如图所示的伪代码，若输出的y的值为13，则输入的x的值是_______.

16．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，电子购物平台成为人们的热门选择.为提高市场销售业绩，某公司设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采用促销”和“没有采用促销”的营销网点各选取了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.

（1）请你根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”；

采用促销
没有采用促销
合计
精英店

非精英店

合计
50
50
100
（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价 (单位：元)和日销量 (单位：件) 的一组数据后决定选择 作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的 ：

①根据上表数据计算的值；
②已知该公司成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价定为多少时日利润可以达到最大.
附①：

附②：对应一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.
18．（12分）（1）求曲线和曲线围成图形的面积；
（2）化简求值：．
19．（12分）已知函数的导函数的两个零点为和．
（1）求的单调区间；
（2）若的极小值为，求在区间上的最大值．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.

（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.
21．（12分）设直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若.
（1）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标；
（2）是否存在常数，满足？并说明理由.
22．（10分）已知椭圆C的离心率为且经过点
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点(0，2)的直线l与椭圆C交于不同两点A、B，以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M在椭圆C上，求直线l的方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.
【详解】
由题意，该几何体如图所示：

该几何体的体积.
故选：A.
本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．
2．D
【解析】
令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.
故常数项==-40+80=40
3．B
【解析】
此题画出正方体模型即可快速判断m的取值.
【详解】
如图（1）恰好有3个点到平面的距离为；如图（2）恰好有4个点到平面的距离为；如图（3）恰好有6个点到平面的距离为.
所以本题答案为B.

本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.
4．B
【解析】
首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值.
【详解】
如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，，
过分别做，的平行线，，

由题知，
则外接圆半径，
因为，所以，
又因为，所以，，
由题可知，
所以，，
所以.
故选：D.
本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.
5．A
【解析】
根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.
【详解】
依题意，.
故选：A
本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.
6．B
【解析】
展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.
【详解】
展开式中的项为常数项，有3种情况：
（1）5个括号都出1，即；
（2）两个括号出，两个括号出，一个括号出1，即；
（3）一个括号出，一个括号出，三个括号出1，即；
所以展开项中的常数项为，故选B.
本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.
7．A
【解析】
由求出范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立不等量关系，即可求解.
【详解】
当时，，
∵在上有且仅有5个零点，
∴，∴.
故选:A.
本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.
8．D
【解析】
由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．
【详解】
对于函数，令，解得，
当时，函数的对称轴为，，.
故选：D.
本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．
9．D
【解析】
利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
将将函数的图象向左平移个单位长度，
可得函数
又由函数为偶函数，所以，解得，
因为，当时，，故选D．
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．D
【解析】
先化简函数解析式,再根据函数的图象变换规律,可得所求函数的解析式为,再由正弦函数的对称性得解.
【详解】

, 
将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为
, 
再向右平移个单位长度,所得函数的解析式为

,
，
可得函数图象的一个对称中心为，故选D.
三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．
11．B
【解析】
根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值，可得选项.
【详解】
由（）★★ ，得（+2）★★，
又★，所以★，★，★， ，以此类推，2020★2018★2018，
又◆◆，◆，
所以◆，◆，◆， ，以此类推，◆2020，
所以（◆2020）（2020★2018），
故选：B.
本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题.
12．D
【解析】
根据函数为上的奇函数可得，由函数的对称轴及单调性即可确定的值，进而确定函数的解析式，即可求得的值.
【详解】
函数（，）是上的奇函数，
则，所以.
又的图象关于直线对称可得，，即，，
由函数的单调区间知，，
即，
综上，则，
.
故选：D
本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．.
【解析】
计算外接圆的半径，并假设外接球的半径为R，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据面，即可得解.
【详解】
由题意可知，，
所以可得面，
设外接圆的半径为，
由正弦定理可得，即，，
设三棱锥外接球的半径，
因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，
则，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.
本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题.
14．
【解析】
二面角平面角为，点Q到底面的距离为，点Q到定直线得距离为d，则.再由点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k，可得，由此可得，则由可求k值.
【详解】
解：如图，
设二面角平面角为，点Q到底面的距离为，
点Q到定直线的距离为d，则，即.
∵点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k，
∴，则，
∵动点Q的轨迹是抛物线，
∴，即则.
∴二面角的平面角的余弦值为
解得：（）.

故答案为：.
本题考查了四棱锥的结构特征，由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值，属于中档题.
15．8
【解析】
根据伪代码逆向运算求得结果.
【详解】
输入，若，则，不合题意
若，则，满足题意
本题正确结果：
本题考查算法中的语言，属于基础题.
16．3
【解析】
作出可行域,可得当直线经过点时,取得最大值,求解即可.
【详解】
作出可行域（如下图阴影部分）,联立,可求得点,
当直线经过点时,.
故答案为:3.

本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）列联表见解析，有把握；（2）①；② 元时
【解析】
（1）直接由题意列出列联表，通过计算，可判断精英店与采用促销活动是否有关.
（2）①代入表中数据，结合公式求出；②由①中所得的线性回归方程，若售价为，单价利润为，日销售量为 ，进而可求出日利润，结合导数可求最值.
【详解】
解：（1）由题意知，采用促销中精英店的数量为 ，
采用促销中非精英店的数量为；没有采用促销中精英店的数量为，没有采用促销中非精英店的数量为，列联表为

采用促销
没有采用促销
合计
精英店
35
20
55
非精英店
15
30
45
合计
50
50
100
因为
有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”.
（2）①由公式可得：
所以回归方程为
②若售价为，单件利润为，日销售为，
故日利润，解得.
当时，单调递增；
当时，单调递减.
故当售价元时，日利润达到最大为元.
本题考查了独立性检验，考查了线性回归方程的求法，考查了函数最值的求解.在求函数的最值时，常用的方法有：函数图像法、结合函数单调性分析最值、基本不等式法、导数法.其中最常用的还是导数法.
18．（1）（2）
【解析】
（1）求曲线和曲线围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1，然后求在区间上的定积分．
（2）首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出，
然后再整体代入可得；
【详解】
解：
（1）联立解得，，所以曲线和曲线围成的图形面积

．
（2）

∴
本题考查定积分求曲边形的面积以及三角恒等变换的应用，属于中档题.
19．（1）单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）最大值是．
【解析】
（1）求得，由题意可知和是函数的两个零点，根据函数的符号变化可得出的符号变化，进而可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）由（1）中的结论知，函数的极小值为，进而得出，解出、、的值，然后利用导数可求得函数在区间上的最大值.
【详解】
（1），
令，
因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同．
又因为，所以当时，，即；当或时，，即.
所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；
（2）由（1）知，是的极小值点，
所以有，解得，， ，
所以．
因为函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.
所以为函数的极大值，
故在区间上的最大值取和中的最大者，
而，所以函数在区间上的最大值是．
本题考查利用导数求函数的单调区间与最值，考查计算能力，属于中等题.
20．（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）依题意，得，，由此能求出椭圆C的方程.
（2）点与点关于轴对称，设，，设，由于点在椭圆C上，故，由，知，由此能求出圆T的方程.
（3）设，则直线MP的方程为：，令，得，同理：，由此能证明为定值.
【详解】
（1）依题意，得，，
，
故椭圆C的方程为.
（2）点与点关于轴对称，设，，设，
由于点在椭圆C上，所以，
由，则，

.
由于，
故当时，的最小值为，所以，故，
又点在圆T上，代入圆的方程得到.
故圆T的方程为：
（3）设，则直线MP的方程为：，
令，得，同理：.
故
又点与点在椭圆上，
故，代入上式得：
，
所以
本题考查了椭圆的几何性质、圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.
21．（1）证明见解析（0，2）；（2）存在，理由见解析
【解析】
（1）设直线l的方程为y=kx+b代入抛物线的方程，利用OA⊥OB，求出b，即可知直线过定点（2）由斜率公式分别求出，，联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得，，，代入，，化简即可求解.
【详解】
（1）证明：由题知，直线l的斜率存在且不过原点，
故设
由可得，
.
，
，
故
所以直线l的方程为
故直线l恒过定点.
（2）由（1）知

设
由可得，

，即存在常数满足题意.
本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系，直线过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22．（1）（2）
【解析】
（1）根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及列方程，由此求得，进而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何意义得到，由此求得点的坐标，将的坐标代入椭圆方程，化简后可求得直线的斜率，由此求得直线的方程.
【详解】
（1）由椭圆的离心率为，点在椭圆上，所以，且
解得，所以椭圆的方程为．
（2）显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，设，由消去得，
所以，
由已知得，所以，由于点都在椭圆上，
所以，
展开有，
又，
所以，
经检验满足，
故直线的方程为.
本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.