2026年宁夏银川市一中高三下期末考试（一模）数学试题试卷含解析.doc

2026年宁夏银川市一中高三下期末考试（一模）数学试题试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．8
2．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是( )

A． B．
C． D．
3．如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足，则等于（ ）

A．2 B． C． D．
4．若复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
5．设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列函数中，图象关于轴对称的为（ ）
A． B．，
C． D．
7．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（ ）

A． B． C． D．
8．（ ）
A． B． C．1 D．
9．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）

A．134 B．67 C．182 D．108
12．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知全集，，则________.
14．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 .
15．已知椭圆，，若椭圆上存在点使得为等边三角形（为原点），则椭圆的离心率为_________．
16．给出以下式子：
①tan25°+tan35°tan25°tan35°；
②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；
③
其中，结果为的式子的序号是_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.

（1）证明：平面；
（2）求几何体的体积.
18．（12分）在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且轴，直线交轴于点，，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交椭圆于两点，且满足，求的面积.
19．（12分）某景点上山共有级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为．为了简便描述问题，我们约定，甲从级台阶开始向上走，一步走一个台阶记分，一步走两个台阶记分，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且．
（1）若甲走步时所得分数为，求的分布列和数学期望；
（2）证明：数列是等比数列；
（3）求甲在登山过程中，恰好登上第级台阶的概率．
20．（12分）每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位：℃)与网上预约出租车订单数(单位：份)；
日平均气温（℃）
6
4
2

网上预约订单数
100
135
150
185
210
（1）经数据分析，一天内平均气温与该出租车公司网约订单数（份）成线性相关关系，试建立关于的回归方程，并预测日平均气温为时,该出租车公司的网约订单数；
（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于，若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
21．（12分）已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程.
22．（10分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，每千米的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元（），运输的路程为S（千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为（元）、（元）、（元）.
（1）请分别写出、、的表达式；
（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．
【详解】
由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，
直观图如图所示，．
故选：A．

本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．
2．B
【解析】
执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.
【详解】
由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：
第1次循环：；
第2次循环：；
第3次循环：；

第10次循环：，
此时满足判定条件，输出结果，
故选：B.
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
3．D
【解析】
选取为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．
【详解】
由题意是的重心，

，
∴，，
∴，
故选：D．
本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．
4．B
【解析】
根据复数的除法法则计算，由共轭复数的概念写出.
【详解】
,
,
故选：B
本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.
5．D
【解析】
设直线：，，，由原点在以为直径的圆的外部，可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求得答案.
【详解】
显然直线不满足条件，故可设直线：，
，，由，得，
，
解得或，
，，
，
，

，
解得，
直线的斜率的取值范围为.
故选：D.
本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
6．D
【解析】
图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.
【详解】
图象关于轴对称的函数为偶函数；
A中，，，故为奇函数；
B中，的定义域为，
不关于原点对称，故为非奇非偶函数；
C中，由正弦函数性质可知，为奇函数；
D中，且，，故为偶函数.
故选：D.
本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法:
(1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数
(2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称．
7．C
【解析】
模拟执行程序框图，即可容易求得结果.
【详解】
运行该程序：
第一次，，；
第二次，，；
第三次，，，
…；
第九十八次，，；
第九十九次，，，
此时要输出的值为99.
此时.
故选：C.
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.
8．A
【解析】
利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.
【详解】
，，
因此，.
故选：A.
本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.
9．B
【解析】
由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.
【详解】
因为，由诱导公式得，所以 .
故选B
本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.
10．A
【解析】
设出A，B的坐标，利用导数求出过A，B的切线的斜率，结合，可得x1x2＝﹣1．再写出OA，OB所在直线的斜率，作积得答案．
【详解】
解：设A（），B（），
由抛物线C：x2＝1y，得，则y′．
∴，，
由，可得，即x1x2＝﹣1．
又，，
∴．
故选：A．
点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A,B,,再求切线PA,PB方程，
求点P坐标，再根据得到最后求直线与的斜率之积.如果先设点P的坐标，计算量就大一些.
11．B
【解析】
根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.
【详解】
解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，
则小正方形的边长为，小正方形的面积，
则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为
，
故选：B.
本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.
12．C
【解析】
取中点，连接，，根据正棱柱的结构性质，得出//，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果.
【详解】
解：如图，取中点，连接，，

由于正三棱柱，则底面，
而底面，所以，
由正三棱柱的性质可知，为等边三角形，
所以，且,
所以平面，
而平面，则，
则//，，
∴即为异面直线与所成角，
设，则，，，
则，
∴.
故选：C.
本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用集合的补集运算即可求解.
【详解】
由全集，，
所以.
故答案为：
本题考查了集合的补集运算，需理解补集的概念，属于基础题.
14．
【解析】
不妨设双曲线，焦点，令，由的长为实轴的二倍能够推导出的离心率.
【详解】
不妨设双曲线，
焦点，对称轴，
由题设知，
因为的长为实轴的二倍，
，
，
，故答案为.
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.
15．
【解析】
根据题意求出点N的坐标，将其代入椭圆的方程，求出参数m的值，再根据离心率的定义求值.
【详解】
由题意得，
将其代入椭圆方程得，
所以.
故答案为：.
本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，属于中档题.
16．①②③
【解析】
由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.
【详解】
①∵tan60°＝tan（25°+35°），
tan25°+tan35°tan25°tan35°；
tan25°tan35°，
，
②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），
＝2sin60°；
③tan（45°+15°）＝tan60°；
故答案为：①②③
本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由题可知，根据三角形的中位线的性质，得出，根据矩形的性质得出，所以，再利用线面平行的判定定理即可证出平面；
（2）由于平面平面，根据面面垂直的性质，得出平面，从而得出到平面的距离为，结合棱锥的体积公式，即可求得结果.
【详解】
解：（1）∵，分别为，的中点，
∴，
∵四边形是矩形，∴，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）取，的中点，，连接，，，，则，
由于为三棱柱，为四棱锥，
∵平面平面，∴平面，
由已知可求得，
∴到平面的距离为，
因为四边形是矩形，，，
，
设几何体的体积为，
则，
∴，
即：.

本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查逻辑推理和计算能力.
18．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据离心率以及，即可列方程求得，则问题得解；
（2）设直线方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，根据题意中转化出的，即可求得参数，则三角形面积得解.
【详解】
（1）设，由题意可得.
因为是的中位线，且，
所以，即，
因为
进而得，
所以椭圆方程为
（2）由已知得两边平方
整理可得.
当直线斜率为时，显然不成立.
直线斜率不为时，
设直线的方程为，
联立消去，得，
所以，
由得
将代入
整理得，
展开得，
整理得，
所以.即为所求.
本题考查由离心率求椭圆的方程，以及椭圆三角形面积的求解，属综合中档题.
19．见解析
【解析】
（1）由题可得的所有可能取值为，，，，
且，，
，，
所以的分布列为

所以的数学期望．
（2）由题可得，所以，
又，，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（3）由（2）可得
．
20．（1），232；（2）
【解析】
(1) 根据公式代入求解；
(2) 先列出基本事件空间，再列出要求的事件，最后求概率即可.
【详解】
解：（1）由表格可求出代入公式求出，
所以，所以
当时，.
所以可预测日平均气温为时该出租车公司的网约订单数约为232份.
（2）记这5天中气温不高于的三天分别为，另外两天分别记为，则在这5天中任意选取2天有，共10个基本事件，其中恰有1天网约订单数不低于210份的有，共6个基本事件，
所以所求概率，即恰有1天网约订单数不低于20份的概率为.
考查线性回归系数的求法以及古典概型求概率的方法，中档题.
21．（1）；（2）或.
【解析】
（1）由抛物线的准线方程求出的值，确定左焦点坐标，再由点F到直线l：的距离为4，求出即可；
（2）设直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数关系和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程.
【详解】
（1）抛物线的准线方程为，
，直线，点F到直线l的距离为，
，
所以椭圆的标准方程为；
（2）依题意斜率不为0，又过点，设方程为，
联立，消去得，，
，设，
，
，

，
线段AB的中垂线交直线l于点Q，所以横坐标为3，
，，
，平方整理得，
解得或（舍去），，
所求的直线方程为或.
本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式，合理运用两点间的距离公式，考查计算求解能力，属于中档题.
22．（1），，.
（2）当时，此时选择火车运输费最省；
当时，此时选择飞机运输费用最省；
当时，此时选择火车或飞机运输费用最省.
【解析】
（1）将运费和损耗费相加得出总费用的表达式.
（2）作差比较、的大小关系得出结论.
【详解】
（1），
，.
（2），
故，
恒成立，故只需比较与的大小关系即可，
令，
故当，即时，
，即，此时选择火车运输费最省，
当，即时，
，即，此时选择飞机运输费用最省.
当，即时，
，，
此时选择火车或飞机运输费用最省.
本题考查了常见函数的模型，考查了分类讨论的思想，属于基础题.