江苏省常州市“教学研究合作联盟”2026届高三“联测促改”活动数学试题含解析.doc

江苏省常州市“教学研究合作联盟”2026届高三“联测促改”活动数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用，化简，得.设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）

A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合,则（ ）
A． B． C． D．
5．已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（　　）
A．sina＞sinb B．ca＞cb C．ac＜bc D．
6．已知平行于轴的直线分别交曲线于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．要得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
8．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．函数（且）的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）
A．1 B．2 C． D．4
11．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）

A． B． C．10 D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________．

14．已知等差数列满足，，则的值为________．
15．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．

16．已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，，分别是三个内角，，的对边，．
（1）求；
（2）若，，求，．
18．（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）.

（1）请用角表示清洁棒的长；
（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.
19．（12分）已知的内角、、的对边分别为、、，满足.有三个条件：①；②；③.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：
（1）求；
（2）设为边上一点，且，求的面积.
20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.当与连线的斜率为时，直线的倾斜角为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是以为直径的圆上的任意一点，求证：
21．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点.

（1）证明：平面；
（2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值.
22．（10分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值．该项指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．

乙生产线样本的频数分布表
质量指标

合计
频数
2
18
48
14
16
2
100
（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率；
（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？

甲生产线
乙生产线
合计
合格品

不合格品

合计

附：，．

0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
分析：设三角形的直角边分别为1，，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论.
解析：设三角形的直角边分别为1，，则弦为2，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为.
图钉落在黄色图形内的概率为.
落在黄色图形内的图钉数大约为.
故选：A.
点睛：应用几何概型求概率的方法
建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．
(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．
2．A
【解析】
分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出.
详解：由题设有，故，故选A.
点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.
3．D
【解析】
画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围．
【详解】
画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．

表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，
设，结合图形可得或，
由题意得点A,B的坐标分别为，
∴，
∴或，
∴的取值范围为．
故选D．
解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题．
4．B
【解析】
计算，再计算交集得到答案
【详解】
,表示偶数，
故.
故选：.
本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.
5．B
【解析】
根据函数单调性逐项判断即可
【详解】
对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；
对B,因为y＝cx为增函数，且a＞b，所以ca＞cb，正确
对C,因为y＝xc为增函数,故 ，错误；
对D, 因为在为减函数，故 ，错误
故选B．
本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．
6．A
【解析】
设直线为，用表示出，，求出，令，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出的最小值．
【详解】
解：设直线为，则，，
而满足，
那么
设，则，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以
故选：．
本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．
7．A
【解析】
运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形，整理后与对比，从而可选出正确答案.
【详解】
解：

.
对于A：可得.
故选:A.
本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.
8．C
【解析】
化简复数为、的形式，可以确定对应的点位于的象限．
【详解】
解：复数
故复数对应的坐标为位于第三象限
故选：．
本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．
9．D
【解析】
因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
10．B
【解析】
因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知的值为2，选B.
【详解】
请在此输入详解！
11．B
【解析】
设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.
【详解】
设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，
由题意可知，直线与直线垂直，，，
因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.
12．D
【解析】
直接根据几何概型公式计算得到答案.
【详解】
根据几何概型：，故.
故选：.
本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
依题意得,再求点到平面的距离为点到直线的距离,用公式
所以即可得出答案.
【详解】
解: 正三棱柱的所有棱长均为2,
则,
点到平面的距离为点到直线的距离
所以,
所以.
故答案为:
本题考查椎体的体积公式,考查运算能力,是基础题.
14．11
【解析】
由等差数列的下标和性质可得，由即可求出公差，即可求解；
【详解】
解：设等差数列的公差为，
，

又因为，解得

故答案为：
本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础题.
15．100.
【解析】
分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数．
详解：由题意得，三等品的长度在区间，和内，
根据频率分布直方图可得三等品的频率为，
∴样本中三等品的件数为.
点睛：频率分布直方图的纵坐标为，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的高视为频率时常犯的错误．
16．
【解析】
根据题意，由双曲线的渐近线方程可得，即a＝2b，进而由双曲线的几何性质可得cb，由双曲线的离心率公式计算可得答案．
【详解】
根据题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
又由该双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，即yx，
则有，即a＝2b，
则cb，
则该双曲线的离心率e；
故答案为：．
本题考查双曲线的几何性质，关键是分析a、b之间的关系，属于基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）； （2），或，.
【解析】
（1）利用正弦定理，转化原式为，结合，可得，即得解；
（2）由余弦定理，结合题中数据，可得解
【详解】
（1）由及正弦定理得
．
因为，所以，代入上式并化简得
．
由于，所以．
又，故．
（2）因为，，，
由余弦定理得即,
所以．
而，
所以，为一元二次方程的两根．
所以，或，．
本题考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
18．（1）；（2）.
【解析】
（1）过作的垂线，垂足为，易得，进一步可得；
（2）利用导数求得最大值即可.
【详解】
（1）如图，过作的垂线，垂足为，在直角中，，
，所以，同理，
.

（2）设，
则，
令，则，即.
设，且，则
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增，
所以当时，取得极小值，
所以.
因为，所以，又，
所以，又，
所以，所以，
所以，
所以能通过此钢管的铁棒最大长度为.
本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
19．（1）；（2）.
【解析】
（1）先求出角，进而可得出，则①②中有且只有一个正确，③正确，然后分①③正确和②③正确两种情况讨论，结合三角形的面积公式和余弦定理可求得的值；
（2）计算出和，计算出，可得出，进而可求得的面积.
【详解】
（1）因为，所以，得，
，，
为钝角，与矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确.
显然，得.
当①③正确时，
由，得（无解）；
当②③正确时，由于，，得；
（2）如图，因为，，则，
则，.

本题考查解三角形综合应用，涉及三角形面积公式和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
20．（1）；（2）详见解析.
【解析】
（1）由短轴长可知，设，，由设而不求法作差即可求得，将相应值代入即求得，椭圆方程可求；
（2）考虑特殊位置，即直线与轴垂直时候，成立，当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到与的关系，将表示出来，结合基本不等式求最值，证明最后的结果
【详解】
解：（1）由已知，得
由，两式相减，得

根据已知条件有，
当时，
∴，即
∴椭圆的标准方程为
（2）当直线斜率不存在时，，不等式成立.
当直线斜率存在时，设
由得
∴，
∴
由
化简，得
∴

令，则

当且仅当时取等号
∴
∵
∴
当且仅当时取等号
综上，
本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题
21．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取中点，连接，根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；
（2）根据面面垂直的判定定理和性质定理，可以确定点到直线的距离即为点到平面的距离，结合垂线段的性质可以确定点到平面的距离最大，最大值为1.
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】
（1）证明：取中点，连接，
因为四边形为菱形且.
所以，
因为，所以，
又，
所以平面，因为平面，
所以.
同理可证，
因为，
所以平面.
（2）解：由（1）得平面，
所以平面平面，平面平面.
所以点到直线的距离即为点到平面的距离.
过作的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为，此时必过的中点，
因为为中点，所以此时，点到平面的距离最大，最大值为1.
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.
则
所以
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则即
取，则，
，
所以，
所以面与面所成二面角的正弦值为.
本题考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了二面角的向量求法，考查了推理论证能力和数学运算能力.
22．（1）0.0081（2）见解析，保留乙生产线较好．
【解析】
(1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出的观测值即可判断.
【详解】
（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：
．
设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件，事件发生的概率为，则由样本可估计．
那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件恰好发生2次，其概率为：．
（2）列联表：

甲生产线
乙生产线
合计
合格品
90
96
186
不合格品
10
4
14
合计
100
100
200
的观测值，
∵，，
∴有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．
由（1）知甲生产线的合格率为0.9，
乙生产线的合格率为，
∵，
∴保留乙生产线较好．
此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式即可，属于较易题目.