无穷级数的定义,性质和及敛散性判别.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十一章 无穷级数,从,18,世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用,本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数,幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：,级数的收敛性判定问题，,把已知函数表示成级数问题，,级数求和问题。,重点,级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛域，函数的幂级数展开式，函数的,Fourier,展开式；,难点,常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法和间接法，,Fourier,展开，级数求和；,基本要求,掌握级数敛散性概念和性质,掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法,掌握交错级数的,Leibniz,审敛法,掌握绝对收敛和条件收敛概念,掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛区间，会求简单的幂级数的和函数,熟记五个基本初等函数的,Taylor,级数展开式及其收敛半径,掌握,Fourier,级数概念，会熟练地求出各种形式的,Fourier,系数,掌握奇、偶函数的,Fourier,级数的特点及如何将函数展开成正弦级数或余弦级数,一、问题的提出,1.,计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,二、级数的概念,1.,级数的定义,:,一般项,(,常数项,),无穷级数,级数的部分和,部分和数列,2.,级数的收敛与发散,:,余项,无穷级数收敛性举例：,Koch,雪花,.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对,称的产生边长为原边长的,1/3,的小正三角形如此,类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到,了面积有限而周长无限的图形,“Koch,雪花”,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,第 次分叉：,周长为,面积为,于是有,雪花的面积存在极限（收敛）,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,解,收敛,发散,发散,发散,综上,解,三、基本性质,结论,:,级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变,.,结论,:,收敛级数可以逐项相加与逐项相减,.,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性,.,证明,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,.,收敛,发散,事实上，对级数,任意加括号,若记,则,加括号后级数成为,记,的,部分和为,的,部分和记为,则,由,数列和子数列的关系知,存在，,必定存在,存在,未必存在,四、收敛的必要条件,级数收敛的必要条件,:,证明,注意,1.,如果级数的一般项不趋于零,则级数发散,;,发散,2.,必要条件不充分,.,讨论,2,项,2,项,4,项,8,项,项,由性质,4,推论,调和级数发散,.,由定积分的几何意义,这块面积显然大于定积分,以,1,为底的的矩形面积,把每一项看成是以,为高,就是图中,n,个矩形的面积之和,即,故调和级数发散,调和级数的部分和,五、小结,常数项级数的基本概念,基本审敛法,思考题,思考题解答,能,由柯西审敛原理即知,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,1,2,3,4,5,练习题,练习题答案,