自控原理(08J-18).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.6,奈奎斯特稳定判据及其应用,频域中的稳定性判据,5.6-1,Nyquist,稳定判据的基本原理,5.6,2,映射定理,1,映射定理：,设,C,s,为,S,平面上不经过,F(s),的任何零点、极点的封闭曲线，,C,s,中包含了,F(s),的,P,个极点和,Z,个零点，则当动点,s,顺时针在,C,s,上围绕一周时,映射到,F(s),平面上的闭曲线,C,F,将,逆时针,环绕坐标原点,N,次。,并且满足,:,N=P-Z,映射定理给出了映射曲线,C,F,逆时针环绕原点的圈数,N,与原平面封闭曲线,C,s,内包含的开环极点数目,P,、闭环极点数目,Z,之间的约束关系。,2,5.6,3,映射定理在闭环系统稳定性分析中的应用,Nyquist,稳定判据,为了用映射定理作稳,定性分析,首先在,S,平面上,构造特殊的封闭曲线,Nyquist,路径,。,注意：,解析性要求；,Nyquist,路径覆盖整个右半,S,平面；,Nyquist,路径包含,F(s,),的,P,个极点、,Z,个零点。,Nyquist,路径,一、,Nyquist,路径及其映射,3,映射关系：,(1),S,平面,虚轴,：,s=,j,，在,F,平面上的映射曲线是：,F,(j,)=1+,G,(j,),H,(j,)(,：,-,+),（,这是,F,平面的,封闭,曲线,）,(2)S,平面半径为的右半圆：,映射到,F,平面上为,:,F()=1+G()H(),1,这是,F,平面上的一个定点（,1,j0,）,这说明,s,平面上半径为的右半圆，它对映射曲线是否,包围原点无影响。,F,平面,映射曲线,1,G,(j,),H,(j,),是封闭曲线,，,它环绕原点情 况（转向和圈数）服从映射定理。,4,进一步考虑，由于：,F(j,),1,G(j,)H(j,),于是：,F,平面、,GH,平面是平移关系,F(j,),包围坐标原点就等价于,G(j,)H(j,),包围（,1,，,j,0,）；,可以在,GH,平面检查被分析系统的开环,频率特性,G(j,),H(j,),（即,Nyquist,曲线）,是否包围（,1,，,j0,）来判断系统闭环右极,点个数，满足映射定理：,N=P-Z.,(-1,j0),0,0,GH,F,1,5,二、,Nyquist,稳定判据,当系统的开环传递函数,G(s)H(s),在,S,平面的虚轴上无奇点（极点或零点）时，奈氏稳定判据可表示为：,当,在,-,+,变化时，,G(j)H(j,),平面上,Nyquist,曲线逆时针环绕,(-1,j0),点的圈数为,N,，,并且满足：,N=P-Z,Nyquist,稳定判据,给出了,GH,平面,Nyquist,曲线逆时针环绕,(-1,j0),点的圈数,N,与,S,面开环右极点数目,P,、闭环右极点数目,Z,之间的约束关系。,注意：,P,是系统开环右极点个数，,P0,；,Z,是系统闭环右极点个数，,Z0,；,N0,表示逆时针环绕，,N0,表示顺时针环绕。,6,稳定判据分析：,对于,开环稳定,系统（,P,0,），,其闭环稳定的充分必要条件是,GH,平面的,奈氏曲线,不包围,(-1,j0),点。,即：,N,0,（,P,0,，,Z,0,）,对于,开环不稳定,系统（有,P,个右极点，,P0,）,其闭环稳定的充分必要条件是,:,GH,平面的,奈氏曲线,逆时针包围,(-1,j0),点,P,圈。,即：,N,P,Z=P (Z=0),如果,奈氏曲线,顺时针包围,(-1,j0),点，,闭环稳定性如何？,7,用,Nyquist,稳定判据分析闭环稳定性的一般步骤,检验稳定判据,I,的条件是否成立,检验映射的解析性：,开环传递函数,G(s)H(s,),在,S,平面的虚轴上无极点和零点。,2.,确定开环传递函数,G(s)H(s),的右极点数：,P,？,3.,画,Nyquist,曲线,G(j)H(j,),（,从,0,+,-0,）,确定其逆时针包围（,1,j0,）,的圈数：,N,？,4.,确定闭环右极点数：,Z=P-N,（即,N=P-Z,）,8,例1,已知系统的开环传递函数：,试用奈氏稳定判据分析系统稳定性。,开环频率特性：,画,从,-,+,时系统的奈氏曲线,分析开环稳定性：,开环右极点数,P,0,画奈氏曲线：,0,型、,n-m,=2,解析性：,G(s)H(s,),在,S,平面虚轴上无极点。,解：,9,例,1,奈氏曲线,由图看出，奈氏曲线不包围 点（即：,N=0,），,据：,Z=P,N=0 (,闭环右极点数为,0,),结论：该系统闭环是稳定的。而且不论,K,值取多大，闭环系统,总是稳定的。,10,例,1,根轨迹图,上述结论可从此系统的根轨图得到证明。无论,K,为何值，根轨迹都在,S,平面左半部，系统闭环总是稳定的。,11,例,2,已知单位反馈系统的开环传递函数：,试用,Nyquist,稳定判据，确定系统稳定的临界,K,值。,系统频率特性为：,起点：,0,终点：,（,3,）画,Nyquist,曲线,G(j)H(j,),（,2,）开环传递函数,G(s)H(s,),有,1,个右极点，,P,1,（,1,）,G(s)H(s,),在,S,平面虚轴上无极点。,解：,12,交点：,K,13,开环频率特性,Nyquist,图,例,3,已知单位反馈系统，开环极点均在,s,平面的左半平面，开环频率特性,Nyquist,图如图所示，试判断闭环系统的稳定性。,解,此系统开环稳定，即,P=,0,，,从图中看到,由,-+,变化时，,G,(j,),H,(j,),曲线不包围,(-1,，,j,0),点，即,N=,0,，,Z=P-N=,0,，,所以，闭环系统是稳定的。,14,练习题,:,已知单位负反馈系统的开环,Nyquist,图,试分析闭环稳定性,.,15,三、,特殊情况下的,Nyquist,稳定判据,G(s)H(s,),在,j,轴上有极点,(,或零点,),当系统开环传递函数,G(s)H(j,s,),在,s,平面的虚轴上有极点（或,零点）时，前面定义的,Nyquist,路径上有奇点，映射定理出现问,题。此时需要对,S,平面的,Nyquist,路径加以改变,使其从极小半圆,上绕过虚轴上的极点,以证,Nyquist,路径上没有奇点，使映射定,理以及,Nyquist,稳定判据成立。,16,处理方法说明,17,新问题：作特殊处理之后，映射关系及映射曲线如何确定？,（一）,“,1,”,型系统映射关系及稳定性判断,设,:,系统开环传递函数为,G(s)H(s)=,试分析映射关系、画映射曲线、判断系统闭环稳定性。,1.,开环特性,系统在,S,平面原点处有单极点,(,含一个积分环节,),且,P=0,2.,映射关系,将,S,平面原点处的单极点挖去,用半径足够小,(,为,),的半圆所取代,重新构成无限大半圆的封闭曲线,C,S,Nyquist,轨迹。,18,对封闭曲线,C,s,分三部分分别讨论映射关系：,19,S GH,A:G(j0-)H(j0-)=j,B:G(0)H(0)=,C:,G(j0+)H(j0+)=-j,A:,s,A,=j,=j0,-,B:,s,B,=,C:,s,C,=j,=j0,+,结论,:,小半圆,(A,B,C),映射到,GH,平面为,:,无限大半圆,(,顺时针沿：,A,B,C,),(1),小半圆部分映射关系,:,20,(2),无限大半圆部分映射关系,:,S GH,D:G(j )H(j )=0,E:G(0)H(0)=0,F:,G(-j )H(-j )=0,D:,s,D,=j,E:,s,E,=,F:,s,F,=-j,结论,:S,平面无限大半圆映射为,GH,平面的原点,21,(3)j,轴段的映射,它是系统的开环频率特性,G(j,),H(j,),画,Niquist,图：,22,23,结论：,S,平面挖去原点处奇点的,Nyquist,轨迹的映射关系分三部分：,虚轴映射为,GH,平面的频率特性,G(,j,)H(,j,),Nyquist,曲线；,2.S,平面无限小半园映射为,GH,平面的无限大半园；,（注意起点、方向、保角关系）,3.S,平面无限大半园映射为,GH,平面的原点。,映射曲线是否包围,(-1,j0),点,只取决于,j,轴段的映射结果（即系统的开环频率特性,G(j,),H(j,),Niquist,图）,24,要求,:,用奈氏稳定判据分析系统闭环稳定性,.,解,:,此系统为,1,型系统,在原点处有,1,个开环极点,无右极,点,P=0.,起点：,终点：,画,Nyquist,图,:,25,用,MATLAB,作图,num=0 0 10;,den=2 1 0;,nyquist(num,den,),axis(-30 2-500 500),title(Nyquist,Plot of,G(s,)=10/s(2s+1),26,稳定性判断,由图看出,:,不论,K,大小,频率特性曲线都不会包围,(-1,j0),点,则,:N=0,，,P,0,Z=P,N=0,结论：系统闭环是稳定的,.,27,（,二）,“,2,”,型系统映射关系及稳定性分析,设,:,系统开环传递函数为,用奈氏稳定判据判断系统稳定性,.,解,:(1),系统为,”,2”,型,P=0.,(2),映射关系分析、画,GH,平面映射曲线,-,Nyquist,图。,28,（,a,）,小半圆曲线段,小半圆上的动点满足方程：,GH,平面映射关系为：,结论,:,小半圆映射到,GH,平面为无限大圆。,映射曲线：,29,（,b,）,S,平面无限大半圆的映射,结论：,S,平面无限大半圆映射为,GH,平面的座标原点。,（,c,）,S,平面,j,轴段的映射,30,31,（,3,）,稳定性判断,不论,K,和,T,值大小，,Nyquist,曲线始终包围（,-1,j0,）,点，,由于：,N,2,，,Z=P,N=0,（,2,）,2,系统有两个闭环极点在右半,S,平面，闭环不稳定。,推论：当,S,平面,Nyquist,轨迹的虚轴上有,F(s),的奇点时，从应用的角度看，前面所述的,Nyquist,稳定判据仍然成立。,32,练习题 已知反馈系统开环传递函数,:,试用奈氏稳定判据判确定使系统闭环稳定的,K,值。,33,解,:(1),系统属“”型系统,开环右极点数：,P=0,由图看出，,N,0,或,2,；取决于曲线在负实轴的交点位置。,若：,N=0,闭曲线不包围,(-1,j0),点,Z=P,N=0,系统闭环稳定。,若：,N=,2,闭曲线顺时针包围,(-1,j0),点,2,圈,Z=P,N=2,系统有两个闭环右极点，不稳定。,(2),画,Nyquist,图，确定,N,？,34,求,Nyquist,图与负实轴的交点：,使系统闭环稳定的,K,值范围为,:,35,36,