3-PPT.1.1空间向量及其加减运算课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2011-12-6,*,1,第三章空间向量与立体几何,3.1,空间向量及其运算,第1课时,空间向量及其加减运,算,复习回顾：平面向量,1.,定义：,既有大小又有方向的量。,几何表示法,:,用有向线段表示,字母表示法：,用小写字母表示，或者用表示向量的,有向线段的起点和终点字母表示。,相等向量：长度相等且方向相同的向量,A,B,C,D,已知,F,1,=2000N,F,2,=2000N,F,1,F,2,F,3,F,3,=2000N,这三个力两两之间的夹角都为,60,0,它们的合力的大小为多少,N?,这需要进一步来认识空间中的向量,平面中存在向量,空间中是否也有向量,?,4,向量加法的平行四边形法则,a,b,向量加法的三角形法则,b,a,向量减法的三角形法则,a,b,a,b,a,b,a,b,2,、空间向量的加法和减法运算法则,回顾：平面向量的加、减法运算法则：,5,5,思考,1,：在平面中，一个向量经过平移后和原向量相等，在,空间向量中呢？,思考,2,：空间任意两个向量都可以平移成过空间任意一点的,两个向量吗？,a,O,b,a,b,结论：,空间任意两个向量的运算都,可转化为共面向量的运算,.,思考,3,：空间两个向量的加减运算能否转化为平面内两个向,量的运算？,空间向量的加减运算和平面有什么联系？,6,空间向量的加减运算,平行四边形法则,三角形法则,7,7,推广,:,（,1,）首尾相接的若干向量之和，等于由起始,向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即,（,2,）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图,形，则这些向量的和为零向量，即,A,1,A,n,A,2,A,1,A,n,A,2,8,8,3,、空间向量的加法运算律,回顾：平面向量的加法运算律,加法交换律：,加法结合律：,空间向量中还成立吗？,思考：空间任意两个向量可都转化为共面向量，那么空间任意三个向量也都能转化为共面向量吗？,9,9,3,、空间向量的加法运算律,加法交换律：,空间向量中显然成立,加法结合律：,a,b,c,a,b,+,a,b,+,c,+,(,),a,b,c,b,c,+,a,b,+,c,+,(,),10,11,解：,A,B,C,D,A,B,C,D,例题,13,A,B,C,D,A,B,C,D,变式,2,：已知平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,，,求满足下列各式的,x,的值。,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,变式,2,：已知平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,，,求满足下列各式的,x,的值。,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,3.1.2,空间向量的数乘运算,17,以上运算称为空间向量的数乘运算,.,一、,空间向量的数乘运算定义：,（,4,）空间共线向量定理：,对空间任意两个向量,有且只有一个实数 ，,使,思考：这个定理有什么作用？,1,、判定两个向量是否共线,2,、判定三点是否共线,3.1.3,空间向量的数量积,20,已知两个非零向量,a,与,b,，它们的夹角为,，我们把数量,|a|b|cos,叫做,a,与,b,的数量积（或内积），记作,a,b,.,ab=|a|b|cos,规定,:,零向量与任一向量的数量积为,0,。,回顾：平面向量数量积定义：,类似地，空间向量是否也有相应的数量积运算呢？,1.,两个空间向量的夹角的定义,:,A,B,2.,两个空间向量的数量积定义,注,:,两个向量的数量积是数量，而不是向量,.,规定,:,零向量与任意向量的数量积等于零,.,3.,两个空间向量数量积的性质,注：,性质 是证明两向量垂直的依据；,性质,实现了向量与向量模之间的转换；,例,2.,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）,25,例,2.,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）,26,3.1.4,空间向量的正交 分解及其坐标表示,都叫做基向量,叫做空间的一个基底,x,y,z,k,i,j,Q,P,O,如果,i,j,k,是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量,p,，存在一个有序实数组使得,p=,x,i+,y,j+,z,k.,我们称,x,i,y,j,z,k,为向量,p,在,i,j,k,上的分向量。,单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为,1,，则这个基底叫做单位正交基底,常用 表示,正交基底：空间的一个基底的三个基向量互相垂直。,二、空间直角坐标系,二、空间直角坐标系,在空间选定一点,O,和一个单位正交基底,以点,O,为原点，分别 以 的正方向建立三条数轴：,x,轴、,y,轴、,z,轴,这样就建立了一个空间直角坐标系,Oxyz.,三、空间向量的正交分解及其坐标表示,x,y,z,O,i,j,k,P,记作,=(,x,y,z,),由空间向量基本定理，对于空间任一向量 存在唯一的有序实数组,(,x,y,z,),使,P,P,1,已知,a,，,b,，,c,是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是,(,),A.2,a,，,a,b,，,a,2,b,B,2,b,，,b,a,，,b,2,a,C.,a,2,b,，,b,c,D,c,，,a,c,，,a,c,C,D,B,C,B,A,D,A,E,F,x,y,z,练习,2,B,A,N,C,O,M,Q,P,例,2,、如图，,M,，,N,分别是四面体,OABC,的边,OA,，,BC,的中点，,P,，,Q,是,MN,的三等分点。用向量,表示 和 。,3.1.5,空间向量运算的坐标表示,一、向量的直角坐标运算,1.,距离公式,（,1,）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,二、距离与夹角,2.,两个向量夹角公式,注意：,（,1,）当 时，同向；,（,2,）当 时，反向；,（,3,）当 时，。,思考：当 及,时，夹角在什么范围内？,在空间直角坐标系中，已知、,，则,（,3,）空间两点间的距离公式,4.,设,则 ,，,AB,的中点,M,的坐标为,例,1.,设 ,(1,5,，,1),，,(,2,3,5),(1),若,(,)(,3 ),，求 ；,(2),若,(,)(,3 ),，求,.,练习,1:,已知 垂直于正方形 所在的平面,分别是 的中点,并且,求证,:,证明,:,分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 则,解：设正方体的棱长为,1,，如图建,立空间直角坐标系，则,例,2,如图,在正方体中，,，求与所成的角的余弦值,.,