函数导数及其应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.,了解构成函数的要素；了解映射的概念,.,2.,在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当,的方法,(,如图象法、列表法、解析法,),表示函数,.,3.,了解简单的分段函数，并能简单地应用,.,1.,函数与映射的概念,函数,映射,两集合,A,、,B,设,A,、,B,是两个非空,设,A,、,B,是两个非空,对应关系,f,：,AB,如果按照某种确定的对应关系,f,，使对于集合,A,中的,一个数,x,，在集合,B,中,的,数,f(x),和它对应,如果按某一个确定的对应关系,f,，使对于集合,A,中的,一个元素,x,，在集合,B,中都有,的元素,y,与之对应,数集,集,合,任意,任意,唯一确,定,都有唯一确定,函数,映射,名称,称,为从集合,A,到集合,B,的一个函数,称对应,为从集合,A,到集合,B,的一个映射,记法,y,f(x),，,x,A,对应,f,：,AB,是一个映射,f,：,AB,f,：,AB,思考探究,1,映射与函数有什么区别？,提示：,函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集,.,2.,函数的相关概念,(1),函数的三要素是,、,和,.,(2),相等函数,如果两个函数的,和,完全一致，则这两,个函数相等,.,定义域,值域,对应关系,定义域,对应关系,思考探究,2,如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相等函数？,提示：,不一定，如函数,f,(,x,),x,和函数,g,(,x,),x,的定义域和值域均为,R,，但两者显然不是同一函数,.,3.,函数的表示法,表示函数的常用方法有：,、,、,.,解析法,列表法,图象法,1.,若对应关系,f,：,A,B,是从集合,A,到集合,B,的一个映射，则下,面说法错误的是,(,),A.,A,中的每一个元素在集合,B,中都有对应元素,B.,A,中两个元素在,B,中的对应元素必定不同,C.,B,中两个元素若在,A,中有对应元素，则它们必定不同,D.,B,中的元素在,A,中可能没有对应元素,解析：,根据映射的概念可知，,A,中两个元素可以和,B,中的同一个元素对应，即允许多对一，不允许一对多,.,答案：,B,2.,如图所示，可表示函数,y,f,(,x,),的图象的只可能是,(,),解析：,A,、,B,、,C,选项中都有,“,一对二,”,情形，不符合函数定义中从集合,A,到集合,B,应为,“,一一对应,”,或,“,多对一对应,”,，只有,D,符合函数定义,.,故选,D.,答案：,D,3.,下列各组函数是同一函数的是,(,),A.,y,与,y,1,B.,y,与,y,C.,y,与,y,2,x,1,D.,y,与,y,x,解析：,y,排除,A,；,y,排除,B,；,y,排除,C.,答案：,D,4.,若,f(x),x,2,bx,c,，且,f(1),0,，,f(3),0,，则,f(,1),.,解析：,f(x),x,2,bx,c,，,f(1),0,，,f(3),0.,1,3,b,13,c.,即,b,4,，,c,3.,f(x),x,2,4x,3.,f(,1),1,4,3,8.,答案：,8,5.,设函数,f(x),，若,f(x),10,，则,x,.,解析：,当,x,0,时，,2x,0,，故不合题意；,当,x0,时，,x,2,1,10,，,x,3.,答案：,3,对于映射,f,：,AB,的理解要抓住以下三点：,1.,集合,A,、,B,及对应关系,f,是确定的，是一个整体，是一个,系统；,2.,对应关系,f,具有方向性，即强调从集合,A,到集合,B,的对应，,它与从,B,到,A,的对应关系是不同的；,3.,对于,A,中的任意元素,a,，在,B,中有唯一元素,b,与之相对应,.,其要点在,“,任意,”,、,“,唯一,”,两词上,.,已知映射,f,：,AB.,其中,A,B,R,，对应关系,f,：,x,y,x,2,2,x,，对于实数,k,B,，在集合,A,中不存在元素与之相对应，则,k,的取值范围是,(,),A.,k,1,B.,k,1,C.,k,1 D.,k,1,思路点拨,A,中不存在元素与,k,对应方程,x,2,2,x,k,无解，利用判别式可以求,k,的范围,.,课堂笔记,由题意，方程,x,2,2,x,k,无实数根，也就是,x,2,2,x,k,0,无实数根,.,(,2),2,4,k,4(1,k,),0,，,k,1.,当,k,1,时，集合,A,中不存在元素与实数,k,B,对应,.,答案,A,若,15,B,，则在集合,A,中与之对应的元素,x,为何值？,解：,15,B,，,x,2,2x,15.,即,x,2,2x,15,0,解之得,x,3,或,x,5.,求函数解析式的常用方法,1.,配凑法：对,f(g(x),的解析式进行配凑变形，使它能用,g(x),表示出来，再用,x,代替两边的所有,“,g(x)”,即可；,2.,换元法：设,t,g(x),，解出,x,，代入,f(g(x),，得,f(t),的解析式,即可；,3.,待定系数法：若已知,f(x),的解析式的类型，设出它的一般,形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；,4.,赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式,.,5.,解方程组法：利用已给定的关系式，构造出一个新的关,系式，通过解关于,f(x),的方程组求,f(x).,特别警示,函数的解析式是函数表示法的一种,.,求函数的解析式一定要说明函数的定义域,.,(1),已知,f(x),是一次函数，且满足,3f(x,1),2f(x,1),2x,17,，求,f(x),的解析式；,(2),已知 ，求,f(x),的解析式,.,思路点拨,课堂笔记,(1),设,f(x),ax,b(a0),，,则,3f(x,1),2f(x,1),3ax,3a,3b,2ax,2a,2b,ax,5a,b,，,即,ax,5a,b,2x,17,，不论,x,为何值都成立,.,解得,f(x),2x,7.,(2),法一：,设,t,1,，则,x,(t,1),2,(t1).,代入原式有,f(t),(t,1),2,2(t,1),t,2,2t,1,2t,2,t,2,1.,f(x),x,2,1(x1).,法二：,x,2,(),2,2,1,1,(,1),2,1,，,f(,1),(,1),2,1(,11),，,即,f(x),x,2,1(x1).,解：,f(x),2f(),3x,，,以 代,x,，则,f(),2f(x),3 .,由联立消去,f(),得,f(x),x(x0).,故,f(x),x(x0).,若将,(2),中的条件改变,“,f(x),2f(),3x”,，如何求解？,分段函数是指自变量,x,在不同取值范围内对应关系不同的函数，解决与分段函数有关的问题，最重要的就是逻辑划分思想，即将问题分段解决，还要熟练掌握研究分段函数性质,(,奇偶性、单调性,),的一般方法,.,特别警示,分段函数的解析式虽然由几部分构成，但它,表示的是一个函数,.,设函数,f(x),若,f(,4),f(0),，,f(,2),2,，则关于,x,的方程,f(x),x,的解的个数为,(,),A.1 B.2,C.3 D.4,思路点拨,求,b,，,c,求,f(x),的解析式,解方程,f(x),x,课堂笔记,法一：,若,x0,，,f(x),x,2,bx,c.,f(,4),f(0),，,f(,2),2,，,解得,f(x),当,x0,时，由,f(x),x,，得,x,2,4x,2,x,，,解得,x,2,，或,x,1,；,当,x,0,时，由,f(x),x,，得,x,2.,方程,f(x),x,有,3,个解,.,法二：,由,f(,4),f(0),且,f(,2),2,，可得,f(x),x,2,bx,c,的对称轴是,x,2,，且顶点为,(,2,，,2),，于,是可得到,f(x),的简图,(,如图所示,).,方程,f(x),x,的解的个数就是函数图象,y,f(x),与,y,x,的图象的交点的个数，,所以有,3,个解,.,答案,C,分段函数是高考的热点内容，以考查求分段函数的,函数值为主，属容易题，但,09,年山东高考将函数的周期性应用到求分段函数函数值的过程中，使试题难度,陡然增加，这也代表了一种新的考查方向,.,考题印证,(2009,山东高考,),定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足,f,(,x,),则,f,(2 009),的值为,(,),A.,1 B.0,C.1 D.2,【,解析,】,x,0,时，,f,(,x,),f,(,x,1),f,(,x,2),，,又,f,(,x,1),f,(,x,),f,(,x,1),，,两式相加得,f,(,x,1),f,(,x,2),，即,f,(,x,3),f,(,x,),，,故,f,(,x,6),f,(,x,3),f,(,x,),，故函数周期为,6.,f,(2 009),f,(6334,5),f,(5),f,(,1),log,2,2,1.,【,答案,】,C,自主体验,已知符号函数,sgn,x,则不等式,(,x,1)sgn,x,2,的,解集为,.,解析：,当,x,0,时，,sgn,x,1.,由,(,x,1)sgn,x,2,得,x,1.,当,x,0,时，,sgn,x,0.,不等式,(,x,1)sgn,x,2,解集为,.,当,x,0,时，,sgn,1,，,由不等式,(,x,1)sgn,x,2,得,x,3.,综上可知不等式,(,x,1)sgn,x,2,的解集为,x,|,x,3,或,x,1.,答案：,x,|,x,3,或,x,1,1.,已知,f,：,x,sin,x,是集合,A,(,A,0,2,),到集合,B,0,，,的一个映射，则集合,A,中的元素个数最多有,(,),A.4,个,B.5,个,C.6,个,D.7,个,解析：,A,0,2,，由,sin,x,0,得,x,0,，,，,2,；由,sin,x,，得,x,，,A,中最多有,5,个元素,.,答案：,B,2.(2010,枣庄模拟,),已知函数,f,(,x,),，那么,f,f,(),的值为,(,),A.9 B.,C.,9 D.,解析：,由于,f,f,(),f,(log,2,),f,(,2),3,2,.,答案：,B,3.,若,f,(,x,),对任意实数,x,恒有,2,f,(,x,),f,(,x,),3,x,1,，则,f,(,x,),(,),A.,x,1 B.,x,1,C.2,x,1 D.3,x,3,解析：,2,f,(,x,),f,(,x,),3,x,1,，,用,x,代,x,得，,2,f,(,x,),f,(,x,),3,x,1,，,2,得，,3,f,(,x,),3,x,3,，,f,(,x,),x,1.,答案：,B,解析：,f,(,x,),x,2,2,x,a,，,f,(,bx,),b,2,x,2,2,bx,a,9,x,2,6,x,2.,则,a,2,，,b,3.,f,(,x,),x,2,2,x,2,，,则,f,(,ax,b,),f,(2,x,3),(2,x,3),2,2(2,x,3),2,4,x,2,8,x,5.,4.,已知函数,f,(,x,),x,2,2,x,a,，,f,(,bx,),9,x,2,6,x,2,，其中,x,R,，,a,，,b,为常数，则,f,(,ax,b,),.,答案：,4,x,2,8,x,5,5.,已知函数,f,(,x,),满足,f,(,ab,),f,(,a,),f,(,b,),且,f,(2),p,，,f,(3),q,，,则,f,(36),.,解析：,f,(36),f,(6),f,(6),2,f,(23),2,f,(2),f,(3),2(,p,q,).,答案：,2(,p,q,),6.,已知定义域为,R,的函数,f,(,x,),满足,f,(,f,(,x,),x,2,x,),f,(,x,),x,2,x,.,(1),若,f,(2),3,，求,f,(1),；又若,f,(0),a,，求,f,(,a,),；,(2),设有且仅有一个实数,x,0,，使得,f,(,x,0,),x,0,，求函数,f,(,x,),的,解析式,.,解：,(1),因为对任意,x,R,有,f,(,f,(,x,),x,2,x,),f,(,x,),x,2,x,，,所以,f,(,f,(2),2,2,2),f,(2),2,2,2,，,又,f,(2),3,，从而,f,(1),1.,又,f,(0),a,，则,f,(,a,0,2,0),a,0,2,0,，,即,f,(,a,),a,.,(2),因为对任意,x,R,，有,f,(,f,(,x,),x,2,x,),f,(,x,),x,2,x,，,又有且仅有一个实数,x,0,，使得,f,(,x,0,),x,0,，,故对任意,x,R,，有,f(x),x,2,x,x,0,.,在上式中令,x,x,0,，有,f(x,0,),x,0,x,0,.,又因为,f(x,0,),x,0,，所以,x,0,0,，,故,x,0,0,或,x,0,1.,若,x,0,0,，则,f(x),x,2,x,，但方程,x,2,x,x,有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故,x,0,0.,若,x,0,1,，则有,f(x),x,2,x,1,，,易验证该函数满足题设条件,.,综上，函数,f(x),的解析式为,f(x),x,2,x,1.,