导数的应用-函数极值与最值.ppt

理学院,函数的极值及其求法,最大值最小值问题,第五节 函数的,极值,与,最大值最小值,定义,极大值,(,或极小值,),函数的极大值与极小值统称为,极值,.,极值点,.,一、函数的极值及其求法,1.,函数极值的定义,使函数取得极值的点,x,0,称为,函数的极大值、极小值,是,局部性,的,.,在一个区间内,函数可能存在许多个极值,最大值与最小值,有的极小值可能大,于某个极大值,.,只是,一点附近,的,观察,极值点的切线有什么特征？,平行于,x,轴,切线平行于,x,轴是否必为极值点？,定理,1,(,必要条件,),注,如,(1),可导函数,的极值点,驻点却不一定是极值点,.,但函数的,2.,极值的必要条件,必是,驻点,极值,极值点也可能是导数不存在的点,.,如,但,怎样从,驻点,中,与,导数不存在,的点判断一点,(2),不可导,.,是极小值点,.,是不是极值点,即：极值点可能在两类点中取到：,一阶导数零点；一阶导数不存在的点,.,拐点可能在两类点中取到：,二阶导数零点；,二阶导数不存在的点,.,定理,2(,第一充分条件,),则,为,极大值,则,不是极值,.,(,极小值,),;,3.,极值的充分条件,.,),(,0,o,0,内可导,的某去心邻域,d,x,U,x,一般求极值的步骤,求导数,;,求驻点与不可导点,;,求相应点两侧的导数符号,判别增减性,;,求极值,.,(,1),(,2),(,3),(,4),不是极值点,例,解,(,1),(,2),驻点,:,导数不存在的点,:,(,3),列表,.,求相应区间的导数符号,判别增减性,确定极值点和极值,.,非极值,极小值,不存在,极大值,驻点,:,导数不存在的点,:,单调增加区间,:,单调减少区间,:,定理,3(,第二充分条件,),证,极大值,(,极小值,).,极值的二阶充分条件,因此,当,充分小时,由极限的保号性,可见,与,异号,.,所以,第一充分条件,对于,驻点,有时还可以利用函数在该点处的,二阶导数,的正负号来判断极值点,.,注,(1),定理,3(,第二充分条件,),不能应用,.,事实上,可能有极大值,也可能有极小值,也可能没有极值,.,如,分别属于上述三种情况,.,(2),已经知道,驻点未必是极值点,，第二充分条件实际上指出了，,二阶导不为零的驻点一定是极值点,.,例,解,因为,例,解,所以,第一充分条件,课间小结,极值判别法的两个充分条件,第一充分条件,对函数在点处是否可导没有要求，只要求在点的邻域内可导,.,第二充分条件,则要求在该点处二阶可导,.,二、最大值最小值问题,1.,最值的求法,已经知道，,a,b,上的连续函数必定存在最值,.,最值可能在以下点处取到：,驻点,端点,不可导点,(1),其中最大,(,小,),者,求连续函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上的最大,(,小,),值的方法,:,将闭区间,a,b,内所有驻点和导数不存在的,区间端点,的,就是,f,(,x,),点,(,即为,极值嫌疑点,),处的函数值和,函数值,f,(,a,),f,(,b,),比较,在闭区间,a,b,上的最大,(,小,),值,.,解,驻点,:,最大值与最小值,.,例,在分段点,x,=1,，,x,=2,是否可导？,在,x,=1,处,所以,x,=1,是不可导点,.,x,=2,是否可导？,同理，,x,=2,也是不可导点,驻点,:,最大值,最小值,不可导点：,(2),对实际问题常常可事先断定最大,(,小,),值必在,区间,内部取得,如果连续函数在区间内又仅有,一个极值嫌疑点,那末这点处的函数值就是最,大,(,小,),值,.,例,解,目标函数,得,2.,应用举例,(1),(2),求,最大值,点,半径为,R.,求内接于球的,圆柱体的最大体积,设球的,设圆柱体的高为,2,h,底半径为,r,体积为,V,圆柱体的最大体积一定存在,故,唯一驻点,就是最大值点,最大体积为,令,得,(,舍,去,负值,),唯一驻点,(1),从实际问题中抽象出数学模型，写出其目标函数，从而转化为数学问题,.,具有实际问题背景的最值问题一般思路：,注,(2),从数学的角度分析最值可能的点，并结合实际背景，判断是否是最值点,.,例,某房地产公司有,50,套公寓要出租,当租金定为每月,720,元时,公寓会全部租出去,.,当租金每月增加,40,元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费,80,元的整修维护费,.,试问房租定为多少可获得最大收入,?,解,设房租为每月,x,元，,租出去的房子有,每月总收入为,套,明显，,x,应该大于,720.,（唯一驻点）,故每月每套租金为,1400,元时收入最高,.,最大收入为,课下阅读材料：教材例,4-,例,7.,是非题,极值点是不是驻点？满足什么条件的极值点是驻点？,驻点是不是极值点？满足什么条件的驻点是极值点？,最值点是不是极值点？满足什么条件的最值点是极值点？,极值点是不是最值点？满足什么条件的极值点是最值点？,分清四类点：驻点,极值点,拐点,最值点,.,作业,作业册 本节 全部,课下练习,教材 本节,1-9,