微积分下第一分册8.7二重积分新.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,第一节、二重积分的概念与性质,（一）、问题的提出,回想：定积分中会求平行截面面积为已知的立体,体积，旋转体体积。,一般立体的体积如何求,？,曲顶柱体的体积,设有一立体，它的底是,平面上的有界闭区域,它的侧面是以,的边界曲线为准线而母线平行于,的,一、二重积分的概念与性质,8.7,二重积分,195,页,柱面，,此立体称为,曲顶柱体,。,这里,且在,上连续。,它的顶是曲面,柱体体积,=,特点,：,平顶,.,曲顶柱体体积,=,曲顶柱体特点,：,曲顶,.,分析：,底面积,高,？,回忆：,曲边梯形面积如何求？,思想是,以直代曲、以不变代变,。,如何创造条件使平与曲这对矛盾转化？,求曲顶柱体的体积采用“,分割、近似求和、取极限,”的方法。,步骤如下：,2),用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,1),先分割曲顶柱体的底，,3),曲顶柱体的体积,并用 表示第,i,个小区域的面积,用 表示第,i,个小区域的直径,即此小区域内任意两点间距离的最大值。且记,(,二,),、二重积分的概念,1,、二重积分定义,定义,设,是有界闭区域,上的有界函,数，,将闭区域,任意分成,个小闭区域,其中,表示第,个小闭区域，,也表示它的面积，,2),作乘积,3),求和,上任取一点,在每个,1),表示其直径，,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,零时，,这和式的极限存在；,即,如果当各小闭区域的直径中的最大值,趋近于,记为,4),二重积分，,在闭,区域,上的,则称此极限为函数,对二重积分定义的说明：,(1),在二重积分的定义中，对闭区域的划分是,任意,的；,在小区域,内的点,的取法是,任意,的。,(2),二重积分,中面积元素,象征着,积分和中的,因此,在直角坐标系下用平行于,D,则面积元素为,(3),坐标轴的直线网来划分区域,故在直角坐标系下二重积分可写为,中,是,(),(A),最大小区间长,(B),小区域最大面积,(C),小区域直径,(D),最大小区域直径,D,选择题,3,、二重积分的几何意义,若,在有界闭区域,上连续，,则,上的二重积分,在,D,上的二重积分,存在。,1),当,时，二重积分,表示以,为底的曲顶柱体体积。,为顶，以,此时，二重积分表示曲顶柱体体积的负值。,2),当被积函数,时，柱体在,面下方，,2,、二重积分的存在定理,性质,1,（二重积分与定积分有类似的性质）,设,为常数，则,(,三,),、二重积分的性质,性质,2,对区域具有可加性,除分界线外无其它公共点,性质,3,性质,4,则有,若 为,的面积，则,若在,上，,性质,5,性质,6,（,二重积分估值不等式）,最大值和最小值，,为,D,的面积，,设,分别是,在闭区域,D,上的,则,设函数,),(,y,x,f,在闭区域,上连续，,（,二重积分中值定理）,性质,7,的面积，,为,上至少存在一点,使得,则在,为负,例,1,的值（）。,(A),为正,(B),为负,(C),等于,0,(D),不能确定,B,其中,则,(),。,(A),(B),(C),(D),无法比较,比较,与,的大小，,比较,例,2,(A),(B),(C),(D),无法比较,C,解,例,3,的大小,与,比较积分,其中,是三角形闭区域，,三顶点各为,在,D,内有,如果积分区域为：,其中函数 、在区间 上连续,.,二、二重积分的计算,型区域,1,、直角坐标系下计算二重积分,应用计算“,平行截面面积为已知的立体求体积,”的方法,.,得,等于以,D,为底，以,曲面,z,=,f,(,x,y,),为曲顶的曲顶柱体的体积。,的值,195,页,于是,上式右端的积分称为,先对,后对,的 累次积分。,先把,看作常数，,对,计算从,到,的定积分；,的结果再对,计算在区间,上的定积分。,记为,即,然后把计算,只看作,的函数，,把,并,上式对于在区域,D,上的一般可积函数,f,(,x,y,),仍成立。,若,则,如果积分区域为：,型区域,则,若,既是,型区域，,表示为,又是,型区域，,表示为,将二重积分化为累次积分注意：,1,、,先根据题意，画出积分区域,D,的简图；,判断,D,是否是标准的,x,型,区域或,y,型,区域,;,2,、,若是直接根据公式确定积分限，将其化为累次积分，,若不是，先将,D,分成若干个无公共内点的标准小区域,再分别将它们化为累次积分。,3,、,若,D,既是,x,型区域又是,y,型区域，要根据积分函数,特点和计算繁简度来选择积分次序，必要时可交换积分次序。,4,、,若,D,为矩形区域，即,则,解,积分区域如图,例,1,改变积分,的次序,.,原式,解,积分区域如图,例,2,改变积分,的次序,.,原式,解,原式,例,3,改变积分,的次序,.,解,例,4,求,，其中,是由抛物线,和,所围平面闭区域,.,解,例,5,求,，其中,是以,为顶点的三角形,.,无法求出其积分值，,1,1,解,例,6,计算积分,二重积分在直角坐标下的计算公式,（,在积分中要正确选择,积分次序,）,二、小结,型,型,练 习 题,一、,填空题,:,1,、,=,+,+,D,d,y,y,x,x,s,),3,(,3,2,3,_.,其中,.,1,0,1,0,:,y,x,D,2,、,=,+,D,d,y,x,x,s,),cos,(,_.,其中,D,是顶,点分别为,),0,0,(,，,),0,(,p,，,),(,p,p,的三角形闭区域,.,3,、将二重积分,D,d,y,x,f,s,),(,其中,D,是由,x,轴及半圆周,),0,(,2,2,2,=,+,y,r,y,x,所围成的闭区域,化为先对,y,后对,x,的累次积分,应为,_.,二、画出积分区域,并计算下列累重积分,:,1,、,+,D,y,x,d,e,s,其中,D,是由,1,+,y,x,所确定的闭区域,.,2,、,-,+,D,d,x,y,x,s,),(,2,2,其中,D,是由直线,x,y,x,y,y,2,2,=,=,=,及,所围成的闭区域,.,3,、,。,2,-,D,dxdy,x,y,其中,D,:,2,0,1,1,-,y,x,.,练习题答案,二、,1,、,1,-,-,e,e,；,2,、,6,13,；,3,、,2,3,5,p,+,.,