傅里叶级数习题课.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,习题课,级数的收敛、求和与展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数和傅式级数,展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,求和,展开,(,在收敛域内进行,),基本问题,：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开,.,为傅立叶级数,.,为傅氏系数,),时,时为数项级数,;,时为幂级数,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数项级数,幂级数,幂级数和付式级数,一、数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz,判别法:,若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,若,收敛,称,绝对收敛,若,发散,称,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,若级数,均收敛,且,证明级数,收敛,.,证,:,则由,题设,收敛,收敛,收敛,练习题,:,P322 1;2;3;4;5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示,:,P323,题,2,.,判别下列级数的敛散性,:,提示,:,(1),据比较判别法,原级数发散,.,因调和级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用比值判别法,可知原级数发散,.,用比值法,可判断级数,因,n,充分大时,原级数发散,.,用比值判别法可知,:,时收敛,;,时,与,p,级数比较可知,时收敛,;,时发散,.,再由比较法可知原级数收敛,.,时发散,.,发散,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P323,题,3.,设正项级数,和,也收敛,.,提示,:,因,存在,N,0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确,.,都收敛,证明级数,当,n N,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P323,题,4.,设级数,收敛,且,是否也收敛？说明理由,.,但对任意项级数却不一定收敛,.,问级数,提示,:,对,正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛,收敛,级数,发散,.,例如,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P323,题,5.,讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性,:,提示,:,(1),P,1,时,绝对收敛,;,0,p,1,时,条件收敛,;,p,0,时,发散,.,(2),因各项取绝对值后所得强级数,原级数绝对收敛,.,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因,单调递减,且,但,所以原级数仅,条件收敛,.,由,Leibniz,判别法知级数,收敛,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因,所以原级数绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数,:,先求收敛半径,R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性,.,P323,题,7,.,求下列级数的敛散域,:,练习,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛,.,故收敛域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,因,故收敛域为,级数收敛,;,一般项,不趋于,0,级数发散,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,解:,分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数=,其收敛半径,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,难,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数,求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,求幂级数,法1,易求出级数的收敛域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法,2,先求出收敛区间,则,设和,函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,:,解,:,(1),显然,x,=0,时上式也正确,故和函数为,而在,x,0,P323,题,8,.,求下列幂级数的和函数：,级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,x,=0,时,和为 0;,根据和函数的连续性,有,x,=,1,时,级数也收敛.,即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,:,解,:,原式,=,的和,.,P323,题,9(2),.,求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、函数的幂级数和付式级数展开法,直接展开法,间接展开法,练习:,1.,将函数,展开成,x,的幂级数.,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.函数的幂级数展开法,2.,设,将,f,(,x,),展开成,x,的幂级数,的和.,(01考研),解:,于是,并求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,函数的付式级数展开法,系数公式及计算技巧,;,收敛定理,;,延拓方法,练习,:,上的表达式为,将其展为傅氏级数,.,P323,题,11,.,设,f,(,x,),是周期为,2,的函数,它在,解答提示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,如何利用本题结果求级数,根据付式级数收敛定理,当,x,=0,时,有,提示:,