第五章大数定律及中心极限定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 大数定理及中心极限定理,1,切比雪夫不等式,2,大数定律,3 中心极限定理,1,切比雪夫不等式,一个随机变量离差平方的数学期望就是它的方差,而方差又是用来描述随机变量取值的分散程度的,.,下面我们研究随机变量的离差与方差之间的关系式,.,定理,1,(Chebyshev),不等式 设随机变量,X,的期望,E,(,X,),及方差,D,(,X,),存在,则对任意小正数,0,有,:,或：,【,例,5-1,】,设,X,是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定,=2,2.5,，实际计算,P|X-E,(,X,),|,并验证切比雪夫不等式成立,.,解,X,的分布律为,所以,当,=2,时，,当,=2.5,时，,可见，切比雪夫不等式成立,【,例,5-2,】,在供暖的季节,住房的平均温度为,20,度,标准差为,2,度,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于,4,度的概率的下界,.,解,2大数定律,在第一章中曾经提到过，事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数增多，事件发生的频率将逐渐稳定于一个确定的常数值附近,.,另外，人们在实践中还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，即平均结果的稳定性,.,大数定律以严格的数学形式表示证明了在一定的条件下，大量重复出现的随机现象呈现的统计规律性，即频率的稳定性与平均结果的稳定性,.,定理,1,设,m,是,n,次独立重复试验中事件,A,发生的次数,p,是事件,A,的概率,则对任意正数,有,2,.1,贝努利大数定律,（不证）,贝努利大数定律说明,在大量试验同一事件,A,时,事件,A,的概率是,A,的频率的稳定值,.,2.2,独立同分布随机变量序列的,切比雪夫大数定律,称随机变量序列,X,1,X,2,X,n,是相互独立的,若对任意的,n1,X,1,X,2,X,n,是相互独立的,.,此时,若所有的,X,i,又具有相同的分布,则称,X,1,X,2,X,n,是独立同分布随机变量序列,.,先介绍独立同分布随机变量序列的概念,.,这一定理说明：经过算术平均后得到的随机变量在统计上,具有一种稳定性，它的取值将比较紧密聚集在它的期望附近。这正是大数定律的含义。在概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述；同时，也是数理统计的重要理论基础。,定理,2,设,X,1,X,2,X,n,是独立同分布随机变量序列,E,（,X,i,）,=,D,（,X,i,）,=,2,（,i=1,2,）均存在,则对于任意,0,有,（不证）,3,中心极限定理,3.1独立同分布序列的中心极限定理,定理,1,设,X,1,X,2,X,n,是,独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和,方差,E(Xi)=,D(Xi)=,2,(i=1,2,).,记随机变量,的分布函数为,F,n,（,x,），则对于任意实数,x,，有,其中,（,x,）为标准正态分布函数,.,的分布近似于正态分布,N,（,n,n,2,）,.,我们知道,n,个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布,.,中心极限定理进一步告诉我们,.,由这一定理知道下列结论：,（,1,）当,n,充分大时,独立同分布的随机变量之和,不论,X,1,X,2,X,n,独立同服从什么分布，当,n,充分大时，其和,Z,n,近似服从正态分布,.,（,2,）考虑,X,1,X,2,X,n,的平均值,有,由此可见，,当,n,充分大时，独立同分布随机变量的平均值,的分布近似于正态分布,因此 的分布函数即是上述的,F,n,(,x,),因而有,它的标准化随机变量为,即为上述,Y,n,.,【,例,5-3,】,对敌人的防御地段进行,100,次射击,每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量,其数学期望为,2,均方差为,1.5,求在,100,次射击中有,180,颗到,220,颗炮弹命中目标的概率,.,解,设,X,i,为第,i,次射击时命中目标的炮弹数,(,i=1,2,100,),则 为,100,次射击中命中目标的炮弹总数,而且,X,1,X,2,X,100,同分布且相互独立,.,由定理,1,可知,随机变量 近似服从标准正态分布,故有,例,5-4,某种电器元件的寿命服从均值为,100,（单位：小时）的指数分布,.,现随机抽出,16,只，设它们的寿命是相互独立的，求这,16,只元件的寿命的总和大于,1 920,小时的概率,.,解,设第,i,只电器元件的寿命为,X,i,=,(,i=1,2,16,),E,(,X,i,),=100,D,(,X,i,),=100,2,=10000,则 是这,16,只元件的寿命的总和,.,E(Y)=10016=1 600,D(Y)=160 000,，,则所求概率为：,3.2 棣莫弗,(,De Moivre,),-拉普拉斯,(,Laplace,),中心极限定理,下面介绍另一个中心极限定理，它是定理,1,的特殊情况,定理,2,（棣莫弗拉普拉斯中心极限定理）设随机变量,Z,n,是,n,次独立重复试验中事件,A,发生的次数,p,是事件,A,发生的概率,则对于任意实数,x,其中,q=1-p,（,x,）为标准正态分布函数,.,由棣莫弗,-,拉普拉斯中心极限定理得到下列结论：,（,1,）在贝努利试验中,若事件,A,发生的概率为,p,.,又设,Z,n,为,n,次独立重复试验中事件,A,发生的频数,则当,n,充分大时,Z,n,近似服从正态分布,N,（,np,npq,）,.,（,2,）在贝努利试验中,若事件中,A,发生的概率为,p,为,n,次独立重复试验中事件,A,发生的频率，则当,n,充分大时,近似服从正态分布,解法,1,设,X,为,10000,个新生儿中男孩个数,则,X,服从,B(n,p,),，其中,n=10000,，,p=0.515,由德莫弗,-,拉普拉斯中心极限定理，所求概率为,设,X,为,10000,个新生儿中男孩个数,则女孩不少于男孩的概率为,解法,2,【,例,5-6,】,设某单位内部有,1000,台电话分机，每台分机有,5%,的时间使用外线通话，假定各个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以,95%,以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用？,解：把观察每一台分机是否使用外线作为一次试,验，则各次试验相互独立，设,X,为,1000,台分,机中同时使用外线的分机数，则,X,B,（,1000,，,0.05,），,np,=10000.05=50,根据题意，设,N,为满足条件的最小正整数,由于,（,-7.255,）,0,，故有,查标准正态分布表得,（,1.65,）,=0.9505,，故有,由此,N61.37,即该单位总机至少需要,62,条外线,才能以,95%,以上的概率保证每台分机在使用外线时不被占用,.,【,例,5-7,】,一加法器同时收到,20,个噪声电压,V,k,(k,=1,2,20),它们相互独立且都在区间,0,10,上服从均匀分布,噪声电压总和,V=V,1,+V,2,+V,20,求,PV105,的近似值,.,解,:,易知,E(V,k,)=5,D(V,k,)=100/12,由独立同分布的中心极限定理知,近似服从标准正态分布,N(0,1),于是,【,例,5-8】,在一家保险公司里有,10000,个人参加寿命保险，每人每年付,12,元保险费。在一年内一个人死亡的概率为,0.6%,，死亡时其家属可向保险公司领得,1000,元，问：,(1),保险公司亏本的概率有多大？,(2),其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于,60000,元，赔偿金至多可设为多少？,解,设,X,表示一年内死亡的人数，则,XB(n,p),其中,n=10000,，,p=0.6%,，,设,Y,表示保险公司一年的利润，,Y=10000,12-1000X,于是,由中心极限定理,(1)PY0=P10000,12-1000X,60000=P,10000,12-a,X,60000,=PX,60000/a,0.9;,（,2,）,设赔偿金为,a,元，则令,由中心极限定理,上式等价于,小结本章考核要求,（一）知道切比雪夫不等式,或,并且会用切比雪夫不等式估计事件,|X-EX|,或,|X-EX|,的概率,.,（二）知道贝努利大数定律,其中,n,是试验次数,m,是,A,发生次数,p,是,A,的概率,它说明试验次数很多时,频率近似于概率,.,（三）知道切比雪夫不等式大数定律,它说明在大量试验中,随机变量,取值稳定在期望附近,.,（四）知道独立同分布中心极限定理,记,Y,n,F,n,（,x,），则有,它说明当,n,很大时,独立同分布的随机变量之和,近似服从正态,N,（,n,n,2,）所以，无论,n,个独立同分布的,X,1,X,2,X,n,服从何种分布，,n,很大时，,X,1,+X,2,+X,n,却近似正态,N,（,n,n,2,）,.,若,（五）知道棣莫弗,拉普拉斯中心极限定理,若,Z,n,表示,n,次独立重复事件发生次数，即,Z,n,B,（,n,p,）,则有,即,Z,n,近似正态,N,（,np,np,（,1-p,）,2,）,.,并会用中心极限定理计算简单应用问题,