概率论与数理统计 第一章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,2005,Henan,Polytechnic University,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,随机试验、样本空间和随机事件,随机事件间的关系与运算,随机事件的概率及其性质,条件概率、全概公式与贝叶斯公式,随机事件、试验的独立性,第一章 随机事件及其概率,2,2005 Zhang,Yongjin,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,两 类 现 象,在一次试验中结果呈现出不确定,性，在大量重复试验中其结果又呈现出一定的规律,性的现象。,确定现象,在一定条件下必然发生的现象。,如：,在标准大气压下，水加热至,100,时沸腾；,上抛一物体必然下落；,同性电荷必然相斥；等等。,随机现象,如：抛一枚硬币可能出现正面，也可能出现反面；,电话交换台在,1,分钟内接到的呼叫次数；,测试在同一工艺下生产的灯泡的寿命；等等。,高等数学，线性代数等,概率论，数理统计等,3,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,E,1,：抛一枚硬币，观察正面,H,和反面,T,出现的情况；,E,2,：将一枚硬币连抛三次,观察正、反面出现的情况；,E,3,：将一枚硬币连抛三次,观察正面出现的次数；,E,4,：掷一枚骰子，观察出现的点数,;,随机试验举例,E,5,：电话交换台在,1,分钟内接到的呼叫次数；,E,6,：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命；,E,7,：记录某地一昼夜的最高温度与最低温度。,4,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义,2,随机试验,E,所有可能结果组成的集合称为,E,的,样,本空间,(S,),；样本空间的元素称为,样本点,(,e,),。,二、样本空间与随机事件,E,1,：抛一枚硬币，观察正面,H,和反面,T,出现的情况,S,1,=H,，,T,E,2,：一硬币连抛三次，观察正面、反面出现的情况,S,2,=HHH,，,HHT,，,HTH,，,THH,，,HTT,，,THT,，,TTH,，,TTT,例如,显然，样本点是由试验的目的所确定的。,5,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,E,3,：一枚硬币连抛三次，观察正面出现的次数,S,3,=0,，,1,，,2,，,3,E,4,：掷一枚骰子，观察出现的点数,S,4,=1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,E,5,：电话交换台在,1,分钟内接到的呼叫次数,S,5,=0,，,1,，,2,，,3,，,E,6,：在一批灯炮中任意抽取一只，测试它的寿命,S,6,=t|t0,E,7,：记录某地一昼夜的最高温度与最低温度,S,7,=(,x,y)|T,最低,xy,T,最高,6,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义,3,样本空间,S,的子集称为,随机事件,简称为,事件,。特别的，,S,称为,必然事件,；,称为,不可能事,件,；单个样本点组成的单点集,e,称为,基本事件,。,试验,E,：掷一枚骰子，观察出现的点数。,样本空间,S=1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,，,“,出现偶数点,”,的事件,A=2,，,4,，,6,；,例如,“,出现不小于,3,的点数,”,的事件,B=3,，,4,，,5,，,6,；,“,出现大于,6,点,”,的事件为不可能事件,；,“,出现点数不超过,6,”,的事件为必然事件,S,，等等,。,7,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,在一次试验中，事件,A,发生当且仅当,A,中的一,个样本点出现；,必然事件在每次试验中均发生；不可能事件,在每次试验中均不发生；,基本事件两两互斥，且在每次试验中有且有,一个发生。,说 明,8,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,集合间的关系与运算,意义：事件,A,发生必,导致,事件,B,发生。,2,、事件,AB,称为事件,A,与事件,B,的,和事件,。,意义：,“,和事件,AB,发生,”,“,事,件,A,与事件,B,至少,有一个发生,”,。,三、事件间的关系与运算,1,、若,A B,，则称事件,B,包含,事件,A,。,若,A B,且,B A,，则称事件,A,与事件,B,相等,，记为,A=B,。,9,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,3,、事件,AB,称为事件,A,与,事件,B,的,积事件,。,意义：,“,积事件,AB,发生,”,=,“,事件,A,与事件,B,同时,发生,”,。,4,、事件,A-B,称为事件,A,与事,件,B,的,差事件,。,意义：,“,差事件,A-B,发生,”,“,事件,A,发生，事件,B,不发生,”,。,10,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,5,、若,AB=,，则称事件,A,与事件,B,是,互不相容,的，或,互,斥,。,意义：,“,事件,A,与事件,B,互斥,”,=,“,事件,A,与事件,B,不能同时,发生,”,6,、若,A,B=,，,且,A,B=S,，,则称事件,A,与事件,B,互为,对立事件,或,互逆,。,意义：在每次试验中，事件,A,与事件 有且仅有一个发生。,互逆一定互斥,互斥不一定互逆,.,11,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,1,】,用事件,A,，,B,，,C,的运算关系表示下列复合事件,:,解,1,、,A,发生，,B,与,C,均不发生,;,特别注意：,12,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,2,、,A,，,B,，,C,至少有一个发生；,“,A,，,B,，,C,不会同时不发生”,解,对应于不同的等价说法有多种表示形式：,“,A,，,B,，,C,至少有一个发生”,互斥分解,也有各种表示形式，如：,13,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,3,、,A,，,B,，,C,都不发生；,4,、,A,，,B,，,C,不多于两个发生。,“,A,，,B,，,C,至少有一个不发生”,“,A,，,B,，,C,不会同时发生”,解,“,A,，,B,，,C,都不发生,”,“,A,，,B,，,C,至少有一个发生的事件,不发生,”,解,14,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,2,】,射击,3,次，事件 表示第 次命中目标 ，,则事件,“,至少命中一次,”,为：,解,由事件运算律知：,而 仅表示,“,恰有一次击中目,标,”,，故应选,A,B,C,。,15,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,它表示,“,甲滞销,”,与,“,乙畅销,”,至少有一个发生，故应,选,(D).,【,例,3,】,事件,A,表示,“,甲产品畅销，乙产品滞销,”,，则其对立,事件表示（）。,（,A),“,乙畅销,”,；,(B),“,甲乙均畅销,”,；,(C),“,甲滞销,”,；,(D),“,甲滞销或乙畅销,”,。,解,设事件,B,：,“,甲畅销,”,，,C,：,“,乙畅销,”,，则,从而,16,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,设好事件，并用简单事件的运算关系来表达复,杂事件在解概率题中是基本而重要的。特别，要弄,清,“,恰有,”,、,“,至少,”,、,“,至多,”,、,“,都发生,”,、,“,都不发生,”,、不都发生,”,等词语的含义。,有些文字表达的事件可通过设事件为字母，再,利用事件的关系与运算来表达。,此外，要注意同一,个事件的不同表达形式，注意语言表述的准确性。,注,意,利用文图易知：差事件可化为积事件,和事件可互斥分解为,显然，这种互斥分解不一定唯一。,17,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,本节要点提示,四个概念,:,随机现象,随机试验,样本空间,随机事件,;,四个关系,:,包含,相等,互斥,互逆,;,三个运算,:,和,积,差。,事件运算律。,18,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,2,、概率及其性质,研究随机事件时，不仅希望了解哪些随机事件可能出现，而且希望知道事件出现的可能性的大小。,我们用,0,，,1,中的一个数来表示随机事件,A,发生的可,能性大小，并称之为该事件的概率，记为,P(A),。,一、古典概型,定义,1,具有下列特点的随机试验称为,古典概型,(,等可能概型,):,(,),、试验的样本点只有有限个,;,(,),、试验中每个基本事件发生的可能性相同,.,下面沿概率论的发展轨迹介绍概率概念的形成。,19,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,设古典概型的样本空间,含有,n,个样本点，事,件包含,k,个样本点，则事件的古典概率为,有利场合数,基本事件总数,在古典概率计算中，注意掌握一些如,“,摸球问题,”,“,分房问题,”,，,“,随机取数问题,”,等典型模型中概率的计,算。,20,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,1,】,袋中有,5,只红球和,6,只黑球，现从中任意取出,2,只球，试求下列事件的概率：,（,1,）取出的,2,只全为红球；,（,2,）取出的,2,只球中一只为红球一只为黑球；,（,3,）取出的,2,只球中至少有一只黑球。,球是可辨的,如编号,1-5,为,红球，,6-11,为黑球,，以保,证等可能性；,分析,理解题意,：,不放回抽样,；,摸球模型,21,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,“,任意取出,2,只,”,：如认为是,“,依次,”,取出，则样本,点是有序结果，计数时采用排列；如认为是,“,一,次,”,同时取出,2,只，则样本点是无序结果，计数时,采用组合。,样本空间和样本点,:,采用不同方法时,样本空间和,样本点有所不同,.,但计算必须在相同样本空间中进,行,.,设好事件,：,A=“,取出的,2,只全为红球,”,；,B=“,取,出的,2,只中红球、黑球各一,”,；,C=“,取出的,2,只中至少有,一只黑球,”,。,解,22,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,此时,样本空间是所有的两个不同球的排列，相当于,两不同号码的有序数对。,注意：同色（,1,，,2,）和（,2,，,1,）是不同的样本点。,正确计数,：,方法,1,依次有序取,2,只,样本点总数,基本事件总数,相当于,“,从编号分别为,1-,11,的,11,张卡片中任意取,2,张的,”,不同排列种数，即,样本点示例,（,1,）,A,所含的样本点数相当于,“,从编号分别为,1-5,的,5,张卡片中任意取,2,张的,”,不同排列种数，即,23,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,（,2,）,B,所含的样本点分两类：,先红后黑,相当于,“,从编号,1-5,中取,1,个，再从编号,6-11,中取,1,个,”,，由乘法原理知：共有,5,6,个不同样本点；,先黑后红,相当于,“,从编号中,6-11,取,1,个，再从编号,1-5,中取,1,个,”,，由乘法原理知：共有,6,5,个不同样本点；因此由加法原理知：,B,所含样本点总数为,先红后黑,样本点,故由古典概率计算公式得：,先黑后红,样本点,24,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,故由古典概率计算公式得：,（,3,）,C,所含的样本点分两类：,一红一黑,先红后黑，,先黑后红,，有,60,个；,两黑,“,从编号,6-11,中取,2,个,”,的排,列数,有,6,5=30,个。因此，由加法原理知：,C,所含样本,点总数为,故由古典概率计算公式得：,25,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,此时,样本空间是所有的两个不同球的组合，相当于,一次取两不同号码的不同组合。,注意：同色（,1,，,2,）和（,2,，,1,）是同一个样本点。,方法,2,一次无序取,2,只,样本点示例,样本点总数相当于,“,从编号分别为,1-11,的,11,张卡片中,任意取,2,张的,”,不同组合种数，即,（,1,）,A,所含的样本点数相当于,“,从编号分别为,1-5,的,5,张卡片中任意取,2,张的,”,不同排列种数，即,26,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,故由古典概率计算公式得：,（,2,）,B,所含的样本点数相当于,“,从编号,1-5,中取,1,个，再从编号,6-11,中取,1,个,”,的不同组合数，因此，由乘法原理知：,B,所含样本点总数为,故由古典概率计算公式得：,27,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,故由古典概率计算公式得：,（,3,）,C,所含的样本点分两类：,一红一黑,，,两黑,“,从编号,6-11,中取,2,个,”,组合数,。因此，由加法原理,知：,C,所含样本点总数为,28,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,从,N,件产品中任取,n,件,每种不同取法就是一个样本,点，样本点总数,基本事件总数,相当于是,“,从,N,个相异元,素中取,n,个元素,”,的组合数，即为,【,例,2,】,设有,N,件产品,其中,D,件为次品,.,现从中作不放,回抽样任取,n,件,求其中恰有,k(kD,),件次品的概率,.,解,N,件产品是可辨的。,“,不放回任取,n,件,”,相当于,“,一次同时取,n,件,”,，因而，试验结果是无序的。,设事件,A=“,任取,n,件中恰有,k,件次品,”,，则其所含样本,点总数相当于,“,从,D,件次品中取,k,件,再从,N-D,件正品中取,29,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,故由古典概率公式得：,许多问题,如正品次品,男生女生等,与本例属于相同,的数学模型。这种类型概率称为,超几何分布,。,n-k,件,”,的不同组合数，由乘法原理知为,30,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,3,】,将,n,只球随机地放入,N,个盒子中去,(,Nn,),试求,“,每个盒子至多有一球,”,的概率,(,设盒子容量不限,).,解,由于盒子容量不限,所以,n,只球放入,N,个盒子的每种,放法就是一个样本点,.,样本点总数为,(,从,N,个盒子中可重复地取,n,个的排列数,每个球有,N,种,放法，一共有,n,只球，由乘法原理知有,N,n,种,),而,“,每个盒子至多有一只球,”,的有利场合数知为,分房问题,31,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,（从,N,个盒子中选,n,个,出来，再放入,n,只球,n!,由乘法原理）,故所求概率为,许多问题,生日问题、住房问题、乘客下车问题等,与本例属于相同的数学模型。,因此，,“,n,人中至少有两人生日相同,”,的概率为：,例如，生日问题：,n,（,365,）个人生日各不相同,的概率为,32,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,n,50,64,100,p,0.970,0.977,0.9999997,n,20,30,40,p,0.411,0.706,0.891,n,人中至少有两人生日相同的概率,33,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,4,】,从,0,，,1,，,2,，,，,9,共十个数中随机取,4,个，求下列事件的概率：,（,1,）,A,1,：,4,个数中不含,1,和,8,；,（,2,）,A,2,：,4,个数中既含,1,也含,8,；,（,3,）,A,3,：,4,个数中不含,1,或,8,。,解,显然，基本事件总数,十取四的组合,：,三事件的有利场合数分别为：,除,1,8,外的八取四的组合,随机取数问题,34,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,1,8,必取，再在除,1,8,外的八取二的组合，乘法原理,不含,“,1,或,8”,分为互斥的三类：含,1,不含,8,，含,8,不含,1,，既,不含,1,也不含,8,，加法原理,故所求概率分别为：,35,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,小概率事件在一次具体试验中几乎是不会,发生的,.,统计推断原理,小概率事件在大量重复试验中几乎是必然,发生的,.,关于小概率事件的重要结论,下面的例题是利用统计推断原理对某种假设作,出判断（接受或拒绝），这在数理统计的,假设检验,中是非常有用的。,36,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,4,】,某接待站在某一周内接待了,12,次来访者,已知,所有这些来访都是在星期二与星期四进行的,问能否由此,推断该接待站的接待时间是有规定的,?,解,若接待时间没有规定,且来,访者可在一周内任何一天到接待站,则,“,12,次来访都在星期二与星期四,”,的概率为,(,千万分之三,):,人,=,“,球,”,星期几,=,“,盒,”,抽象,:,模型化,37,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,理解题意,：分析随机试验的基本事件，构造尽可能,简单的等可能的样本空间，特别是不同方法求解时，,必须在同一样本空间中进行计算；,设好事件,:,一般在理解题意前提下，设出一些简单,事件，使其它复杂事件能利用简单事件的关系与运,算表达出来；,正确计数,：计算样本点总数,基本事件总数,和事件,所含样本点总数,有利场合数,，避免计数的重复或,遗漏。常用到排列、组合、乘法原理和加法原理等,知识。,计算古典概率的基本思路,38,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,利用公式,:,常用古典概率计算公式、对立事件概率,公式、加法公式、全概公式、贝叶斯公式、乘法,公式等。,注意模型,：,解题时注意模型化，抓住问题本质。,39,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,二、几何概率,定义,2,设试验,E,的样本空间,为一几何区域，其,测度,长度、面积或体积等,m(,),为有限值,若任意事,件,A,发生的概率与,A,的测度,m(A,),成正比,则称该试验为,几,何概型,.,设,E,为几何概型,A,为事件,则,A,发生的概率为,:,40,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,以,x,，,y,分别表示两人到达的时刻，则能会面,的充要条件为,【,例,5,】,两同学相约,7,点到,8,点在南大门会面，先到者,等候另一人,20,分钟，过时离去，求两人能会面的概率。,解,这是,几何概率,问题：可能结果的点,(,x,y,),构成边长,60,的正方形；能会面的点,(,x,y,),构成会面区域，故所求概率为,41,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,6,】,从区间（,0,，,1,）中随机地取两个数，求下列事 件的概率：,（,1,）两数之和小于,1.2;,（,2,）两数之和小于,1,，且两数之积大于,0.09.,解,设所取两数分别为,x,，,y,，样本点（,x,，,y,）为正,方形区域,S=0,，,1,；,0,，,1,，即样本空间为该正方形,S,。,故由几何概率计算公式得：,（,1,）事件,A,=,“,两数之和小于,1.2”,对应的平面区域为,：,42,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,故由几何概率计算公式得：,（,2,）事件,B,=,“,两数之和小于,1,，积大于,0.09”,对应的平,面区域为,：,注意,:,利用定积分计算平面区域面积,.,43,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,将几何概型的结果转化为某个可度量是几何区域,S,直线、平面或空间等,中随机点来确定，找出事件,A,发生相应的区域,S,A,；,计算样本空间,S,和随机事件,S,A,的几何测度,长度、面,积、体积等,；,利用几何概率公式计算,A,的概率。,计算几何概率的基本思路,44,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义,3,设在相同条件下进行的,n,次试验中事件,A,发生,n,A,(,频数,),次，称比值,（,1,）,；,（,2,）,（,3,）若 是,两两互斥事件组,，则,为事件,A,在,n,次试验中发生的,频率,。,1,、频率,频率具有下列,性质,：,三、统计概率,45,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,序号,n=5,n=50,n=500,n,H,f,n,(H,),n,H,f,n,(H,),n,H,f,n,(H,),1,2,0.4,22,0.44,251,0.502,2,3,0.6,25,0.50,249,0.498,3,1,0.2,21,0.42,256,0.512,4,5,1.0,25,0.50,253,0.506,5,1,0.2,24,0.48,251,0.502,6,2,0.4,21,0.42,246,0.492,7,4,0.8,18,0.36,244,0.488,8,2,0.4,24,0.48,258,0.516,9,3,0.6,27,0.54,262,0.524,10,3,0.6,31,0.62,247,0.494,表,1,：抛一枚硬币观察正面,H,出现的频率,46,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,表,2,：,438023,个字符中,英文字母频率,字母,频率,字母,频率,字母,频率,e,0.1268,l,0.0394,p,0.0186,t,0.0978,d,0.0389,b,0.0156,a,0.0788,u,0.0280,v,0.0102,o,0.0776,c,0.0268,k,0.0060,i,0.0707,f,0.0256,x,0.0016,n,0.0706,m,0.0244,j,0.0010,s,0.0634,w,0.0214,q,0.0009,r,0.0594,y,0.0202,z,0.0006,h,0.0573,g,0.0187,Dewey.G:Relative,Frequency of English Spellings,1970.,练习：利用,word,统计功能确定一篇文章中单词的频率。,47,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,由上述可知，频率具有下列,特点,：,随机波动性,对相同或不同的试验次数，同一事件的频数不一定相同，从而所得的频率也不一定相同，因而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小；,在第五章将证明贝努里大数定理,:,从理论上保证了利用频率稳定值 量度事件 发生的,可能性大小,(,概率,),的可行性,.,频率稳定性,随着试验次数的无限增大，事件的频率逐渐稳定于某个常数，因而可用该常数来度量事件发生的可能性的大小。,48,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,2,、统计概率,事件,A,发生的频率的稳定值,p,称为,A,的统计概率，即,当试验次数,n,相当大时，可以用频率作为概率的近,似值：,事件频率的稳定性通常也称作相应事件发生的,统,计规律性,.,49,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,至此，我们根据不同背景给出了三种概率定义，即,古典概率、几何概率和统计概率，不难看出，它们均具,有下面三条性质：,、非负性,、规范性,、可列可加性 设 为两两互斥事件组,则有,前苏联数学家科尔莫戈罗夫在,1933,年将上述三条性,质演绎为三条公理，由此可得度量事件发生可能性大小,的,概率的公理化定义,.,50,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义,4,设,S,为随机试验,E,的样本空间，对,E,的每个事,件,A,，称满足下列公理的实数,(,集合函数,)P(A),为事件,A,的,概率,:,四、概率公理化定义,、非负性,、规范性,、可列可加性 设 为两两互斥事件组,则有,51,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,五、概率的性质,由概率的公理化定义可得概率的性质,:,性质,1,P()=0.,证,在可列可加性中取所有的,A,K,=,得,:,再由非负性得,:,性质,2,设 为两两互斥事件组,则有,有限可加性,证,在可列可加性中取,A,K,=,(k,=n+1,n+2,),再利用性质,1,即得,.,52,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,证,将事件,B,分解为互斥事件的和事件得：,性质,3,若,则,由有限可加性得,:,即得,:,由非负性得,:,减法公式有条件,53,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,性质,4,对任意事件,A,总有,证,由于,所以由减法公式得：,再由概率的非负性、规范性知：,即得：,注意：减法公式是需要,“,包含,”,条件的,54,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,证,因为,即,注意,：公式 在计算概率时是非常,有用的,.,当直接计算某事件概率比较困难时,可以转,而计算其对立事件的概率，进而利用上述公式所需,的概率,.,性质,5,所以由有限可加性及规范性得,:,55,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,证,将,AB,互斥分解得,:,又,故由有限可加性与减法公式得,:,加法公式,性质,6,注意,：虽然,AB=(A-B)B,但,P(A-B),不能用减,法公式,而,A-B=A-AB,且,P(A-AB),可用减法公式,!,56,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,加法公式可推广至有限个事件的和事件,.,例如，三个事件的加法公式,:,n,个事件的加法公式请看教材,掌握其规律,.,在应用文图的直观性时，可以把事件,A,的概率,视为该平面集合,A,的面积，注意,P(S)=1,。利用此观,点容易理解和记忆一些概率公式（例如，减法公式，,加法公式，乘法公式等）。,57,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,7,】,设,A,B,两事件,且,P(A)=0.6,P(B)=0.7.,问,1,、在什么条件下,P(AB),取得最大值,并求最大值,?,2,、在什么条件下,P(AB),取得最小值,并求最小值,?,解,由概率的加法公式得,:,由,0P(A)1,59,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,2,】,设,A,B,C,为三事件,且,P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=0.125.,求,A,B,C,至少有一个发生的,概率,.,解,由于,故利用概率非负性与减法,公式得,:,即,由三事件的加法公式得,“,A,B,C,至少有一个发生,”,的概率为,:,注意：选择 有助于解题,但若从,无法确定,的值,.,60,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,3,、条件概率,一、条件概率的概念与计算,解,易知：,【,引例,】,将一枚硬币连抛两次,观察正反面出现的情,况。设事件,A:,“,至少有一次正面,”,，事件,B,：,“,两次同面,”,，,求,“,在事件,A,发生的条件下事件,B,发生,”,的概率,P(B|A),。,在,“,至少有一次正面,”,发生的条件下计算,B,发生的概率时，,可取,A,为样本空间（缩减样本空间），此时，,B,只含一个,样本点,HH,，故,61,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,此外,在样本空间,S,中易计算得,:P(A)=3/4,P(AB)=,1/4,且有,显然，,P(B|A)P(B)=1/2,。,定义,1,设,A,B,为两个事件,且,P(A)0,称,为,“,在事件,A,发生的条件下事件,B,发生,”,的,条件概率,。,由此，一般可定义条件概率。,62,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,不难看出，计算条件概率,P(B|A),有两种方法：,在原样本空间,S,中分别求出,P(A),P(AB),再,按定义公式计算；,在缩减样本空间,A,中按一般概率,P(B),计算。,63,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,解,方法,1,在原样本空间,S,中计算,【,例,1,】,一盒子装有,5,只产品，其中,3,只一等品，,2,只二,等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。,设事件,A,为,“,第一次取到一等品,”,，事件,B,为,“,第二次取到一,等品,”,，求条件概率,P(B|A),。,因为,“,不放回依次取两只,”,有序，排列,的每种不同,结果就是一个样本点,所以样本点总数为,A,所含样本点均为,“,第一次取一等品的两产品,”,，故其,所含样本点总数,有利场合数,为,64,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,而,AB,的样本点均为,“,两次均取一等品,”,，故其所含样本点总数,有利场合数,为,由,古典概率公式,得,:,从而,由,条件概率公式,得,:,方法,2,在缩减样本空间,A,中计算,65,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,“,第一次取一等品的两只,”,均为,A,所含样本点,共有,其中两只均为一等品的为,AB,所含样本点,共有 故由,古典概率公式,得,:,S,AB,A,66,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,1,、,条件概率也是概率,。,因而也满足概率的三条公,理及其各个性质。,对立事件概率公式,:,等等,此处不一一列举,.,二、条件概率的性质,例如，,加法公式,:,此外,概率,P(A),就是条件概率,P(A|S),即,P(A)=P(A|S),。,67,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,注意：当,P(A)0,时,乘法公式与条件概率定义式是等价的,;,当,P(A)0,P(B)0,时,有,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B);,乘法公式可以推广到多事件情形,.,例如,三事件的,乘法公式为,P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)P(AB)0,。,由条件概率定义即可得,:,乘法公式,设,A,B,为两个事件,且,P(A)0,则,2,、乘法公式,68,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,乘法公式的几何解释,：若将事件,A,的概率看作,“,A,在,S,中所占的面积比,”,几何概率,，则显然成立：,其中 表示,A,的面积,.,应用乘法公式求多事件积事件概率的两种情形,:,、,积事件是其中各事件相继影响而形成,;,、,积事件中各事件或都发生、或都不发生、或其,中部分发生部分不发生，但事先并不知确已发生与否。,69,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,2,】,据以往资料表明,某一,3,口之家患某种传染病,的概率有以下规律,:P,孩子得病,=0.6,P,母亲得病,|,孩子,得病,=0.5,P,父亲得病,|,母亲及孩子得病,=0.4.,求,“,母亲,及孩子得病但父亲未得病,”,的概率。,解,设,A,B,C,分别表示孩子、母亲、父亲得病的事,件。由题意知,:,现求,由,乘法公式,得,:,70,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,注意,由于本例中 都是地位平,等的随机事件,没有一个事先知道确已发生,所以所求,概率是,积事件概率,而不是,条件概率,71,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,2,】,设某透镜第一次落下打破的概率为,1/2,若第,一次未打破,第二次落下打破的概率为,7/10,若前两次均,未打破,第三次落下打破的概率为,9/10,试求该透镜落下,三次而未打破的概率,.,解,设事件,A,i,=“,透镜第,i,次落下打破,”,(i=1,2,3),B=“,透镜落下三次而未打破,”,。,因为,，且前次事件对后次事,件有影响，故由乘法公式得：,方法,1,由已知条件知：,72,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,于是，,方法,2,因为事件,“,透镜三次落下打破,”,为,且,两两互斥,故由可加性得,:,73,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,其中,由乘法公式得：,故得：,再由对立事件概率公式得：,74,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定义,2,设,S,为随机试验,E,的样本空间,B,1,B,2,，,B,n,为,E,的满足下列条件的事件组：,则称,B,1,B,2,B,n,为样本空间,S,的一个,完备事件组,划分,.,3,、全概率公式与贝叶斯公式,（,i,）,B,i,B,j,=,(i,j,I,j,=1,2,n);,(ii),例如，在掷一枚骰子观察出现的点数试验中，,B,1,=1,，,2,，,3,，,B,2,=4,，,5,，,B,3,=6,就是样本空间,S,的一个完备事件组。,75,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,定理,1,设,S,为试验,E,的样本空间,B,1,B,2,B,n,为,S,的,一个完备事件组，且,P(B,i,)0(i=1,2,n),则对任意事,件,A,有,全概率公式,：,【,证,】,因为,A,可互斥分解为,所以由,有限可加性,与,乘法公式,得：,76,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,证,】,由条件概率、乘法公式与全概率公式得,定理,2,设,S,为试验,E,的样本空间,B,1,B,2,B,n,为,S,的,一个完备事件组,A,为,E,的事件,且,P(B,i,)0(i=1,2,n),P(A)0,则,有,贝叶斯公式,：,77,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,在应用全概率公式与贝叶斯公式时，有两个问题需,要弄清楚：,当事件的发生与相继两个试验有关时，从,第一试验,入手,寻找完备事件组；,当事件的发生是由诸多,两两互斥的原因,而引起的，,可以这些,“,原因,”,为完备事件组。,2,、如何区分是用全概率公式还是用贝叶斯公式,1,、如何确定完备事件组,一般，可从下列两个方面来寻找完备事件组：,“,由因求果,”,用全概率公式,“,执果求因,”,用贝叶斯公式,.,78,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,3,】,设工厂,A,和工厂,B,的产品次品率分别为,1%,和,2%,现从,A,与,B,的产品分别占,60%,和,40%,的一批产品中随机抽取,一件,发现是次品,则该次品属,A,厂生产的概率是多少,?,解,由于产生次品的,“,原因,”,是,“,A,厂生产,”,和,“,B,厂,生产,”,因此,完备事件组可设为,:,事件,A,为,“,随机抽取一件为次品,”,.,由,全概率公式,得,:,79,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,由,贝叶斯公式,得,:,80,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【,例,4,】,设在,12,只乒乓球中有,9,只新球和,3,只旧球,第一次,比赛取出,3,只,用后放回去,;,第二次比赛又取出,3,只,求第二,次取到的,3,只球中有,2,只为新球的概率,.,【,解,】,这里有两个相继,“,试验,”,:,“,第一次取出,3,只,”,和,“,第二次取出,3,只,”,.,因此,可根据,“,第一次试验,”,的各种情,形确定完备事件组,.,第一次取出,3,只球有,4,种情况,:,没有新球、有一只新,球、有两只新球和全是新球，分别用事件表示为：,设,A,为事件：,“,第二次取出,2,新,1,旧,”,，则由,古典概率,计,算公式,超几何分布,得：,81,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,注意,：第二次取球时,12,只球的新旧组成是随第一,次取出的,3,球组成的变化而变化,易得,:,从,9,新,3,旧中取,3,旧,从,9,新,3,旧中取,1,新,2,旧,从,9,新,3,旧中取,2,新,1,旧,从,9,新,3,旧中取,3,新,82,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,从,9,新,3,旧中取,2,新,1,旧,从,8,新,4,旧中取,2,新,1,旧,从,7,新,5,旧中取,2,新,1,旧,从,6,新,6,旧中取,2,新,1,旧,由,全概率公式,得,:,83,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,由,全概率公式,得,:,84,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,4,、独立性,一、事件的独立性,定义,1,设,A,B,为两个事件,如果,则称,A,B,为,相互独立,的事件,.,定理,设,A,B,为两个事件,且,P(A)0,则,A,B,相互独立,由条件概率可得,85,2005,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,即,相互独立,.,解,因为,A,B,相互独立,所以,从而,【,例,1,】,设事件,A,B,相互独立,证明事件 也相互独立,.,可以证明,:,在,中,只要有一组,独立,则其余各组均独立,.,86,2005 He,Xianzhi,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,独立性的概念可以推广到多事件,.,定义,2,设,A,B,C,为三个事件,如果,则称,A,B,C,为,相互独立,的