第三章矩阵的运算(10-11年).ppt

单击此处编辑母版标题样式,第三章 矩阵的运算,35,初等矩阵,31,矩阵的概念及运算,32,几种特殊的矩阵,34,分块矩阵,33,矩阵的逆,第三章 矩阵,36,矩阵的秩,一、矩阵的定义,由 个数,排成的 行 列的数表,称为 矩阵,.,简称 阵,.,记,作,A,、,B,、,C,等,矩阵,的定义,31,矩阵的概念及运算,例,1,(,运输问题,),某类物质有,m,个产地,n,个销地,调运方案如下,:,1,2,m,1 2,j,n,例,2,某航空公司在,A,B,C,D,四城,市之间开辟了若干 航线,如,图所示表示了四城市间的航班,图,如果从,A,到,B,有航班,则用带,箭头的线连接,A,与,B,.,四城市间的航班图情况常用表格来表示,:,其中 表示有航班,.,发站,到站,为了便于计算,把表中的 改成,1,空白地方填,上,0,就得到一个数表,:,这个数表反映了四城市间交通联接情况,.,例,3,（关联矩阵）,考虑图,G,其顶,点为,(1,2,3,4,5),边为,a,b,c,d,e,f,g,若第,j,条边与第,i,个,顶点关联,令,否则,、矩阵加法,二、矩阵的线性运算,设有两个 矩阵 那末矩阵,与 的和记作,，,规定为,31,矩阵的运算,注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才,能进行加法运算。,定义：,例如,31,矩阵的运算,设：，则,31,矩阵的运算,2,、矩阵加法的运算规律,(3),A+0=A,31,矩阵的运算,3,、定义,数与矩阵相乘,矩阵的这种运算称为,数乘运算,31,矩阵的运算,、数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的,线性运算,.,（设 为 矩阵，为数）,31,矩阵的运算,例,1,：,设,解,:,31,矩阵的运算,、定义,并把此乘积记作,三、矩阵的乘法,设 是一个 矩阵，是一个,矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积,是一个 矩阵 ，其中,31,矩阵的运算,注,:,(1),只要当第一个矩阵,A,的行数等于第二个矩阵,B,的列数相等时，,AB,才有意义；,(2),若,AB,=,C,，,矩阵,C,的行数恰好是第一个矩阵,A,的,行数，矩阵,C,的列数恰好是第二个矩阵,B,的列数；,(3),若,AB,=,C,，,位于,C,的第 行第 列交叉处的,元素 恰好等于第一个矩阵,A,的第 行的元,素与第二个矩阵,B,的第 列对应元素的乘积,之和；,(4),第 行元素,第,列,元,素,例,2,设,例,3,31,矩阵,的运算,故,解,31,矩阵,的运算,注意,只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵,的行数时，两个矩阵才能相乘,.,例如,不,存在,.,31,矩阵,的运算,注意,1,：,矩阵不满足交换律，即：,例,设,则,矩阵乘法的运算规律,注意,2,：,两个非零,矩阵的积可能是,零矩阵，即：,例,:,则,矩阵乘法,的运算规律,例如,注意,3,：,矩阵不满足消去律，即：,矩阵乘法的运算规律,AB=AC,但是,（,其中 为数）,;,矩阵乘法的运算规律,矩阵乘法的运算规律,例,2,计算下列乘积：,解,矩阵乘法,解,=,(,）,矩阵乘法,但也有例外，比如设,则有,矩阵不满足交换律,当 时，称矩阵,A,和,B,为可交换矩阵,矩阵乘法,例,3:,设,求所以与,A,可交换的矩阵,可交换矩阵一定为同阶的方阵,解：设,X,与,A,可交换,矩阵乘法,可交换矩阵,矩阵乘法,可以与自己相乘的矩阵一定是方阵,若,A,是,阶矩阵，则 为,A,的 次幂，即,并且,矩阵乘法,方阵的幂,但是一般,只有,A,与,B,可交换时成立,解,例,4,矩阵,乘法,用数学归纳法，设,则,为,m,次多项式，,A,为,n,阶方阵，则,仍为一个,n,阶方阵，,称 为,方阵,A,的多项式,.,设,其中,E,为,n,阶单位矩阵。,例,5,设,32,特殊矩阵,方阵乘积的行列式,一、特殊矩阵及性质,1,、单位矩阵,称为,单位矩阵,（或,单位阵,）,.,数量矩阵,如果,n,阶对角矩阵所有主对角线上的元素都相等，则称此矩阵为,n,阶,数量矩阵,。,几种特殊的,矩阵,数量矩阵的性质,:,同理有,结论：,n,阶数量矩阵左（右）乘任何矩阵就等,于常数,a,乘该矩阵。,？,数量矩阵与任一同阶方阵均为可交换的,形,如 的,方,阵,称为,对角矩阵,(,或,对角阵,）,.,2,、对角矩阵,记作,几种特殊的,矩阵,对角形矩阵的性质,:,设,A,B,均为同阶的对角形矩阵,(1),A,+,B,也是同阶的对角形矩阵,(2),kA,也是同阶的对角形矩阵,(3),AB,也是同阶的对角形矩阵,(4),也是同阶的对角形矩阵,几种特殊的矩阵,几种特殊的,矩阵,3,、三角形矩阵,1.,概念,形如,的矩阵称为,上三,角形矩阵,；,称,为,下三角形矩阵,。,三角形矩阵的性质,:,设,A,B,均为同阶的上三角,(,或均为同阶的下三角,),(1),A,+,B,也是同阶的上三角,(,下三角,),(2),kA,也是同阶的上三角,(,下三角,),(3),AB,也是同阶的上三角,(,下三角,),转置矩阵的运算性质,转置矩阵,4.,转置矩阵,例,1,已知,解法,1,转置,矩阵,解法,2,转置,矩阵,5,、对称阵与反对称阵,定义,设 为 阶方阵，如果满足 ，即,那末 称为,对称阵,.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等,.,说明,对角形矩阵是,对称阵？,.,几种特殊的,矩阵,对称矩阵的性质,:,设,A,B,均为同阶的对称矩阵,(1),A,+,B,也是同阶对称矩阵,(2),kA,也是同阶的对称矩阵,几种特殊的,矩阵,例,2,：设,A,B,均为,n,阶的对称矩阵,证明：,AB,为对称矩阵的充分必要条件是,AB=BA,证明,：,定义,反对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相反,主对角线上的元素全为,零,几种特殊的,矩阵,反对称矩阵的性质,:,设,A,B,均为同阶的反对称矩阵,(1),A,+,B,也是同阶反对称矩阵,(2),kA,也是同阶的对称矩阵,例,3,设列矩阵 满足,证明,几种特殊的,矩阵,例,4,证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵,与反对称阵之和,.,证明,所以,C,为对称矩阵,.,所以,B,为反对称矩阵,.,命题得证,.,几种特殊的,矩阵,二、方阵乘积的行列式,定义,由 阶方阵 的元素所构成的行列式，,叫做方阵 的行列式，记作 或,2,、运算性质,1,、方阵的行列式,例,5,:,设,计算,:,解,:,方阵,的行列式,称为矩阵 的,伴随矩阵,。,试证,例,6,阶方阵 的各个元素的代数,余子式 所构成的如下的矩阵,故,同理可得,矩阵,的逆,则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵,.,一、概念的引入,在数的运算中，,当数 时，,有,其中 为 的倒数，,（或称 的逆）；,在矩阵的运算中，,单位阵 相当于数的乘法运算中,的,1,，,那么，对于矩阵 ，,是否存在一个矩阵,使得,33,逆,矩阵,二、逆矩阵的概念和性质,定义,1,对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵,则说矩阵 是,可逆,的，并把矩阵 称为 的,逆矩阵,.,使得,例,设,矩阵,的逆,说明,若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是,唯一,的,.,若设 和 是 的可逆矩阵，,则有,可得,所以 的逆矩阵是唯一的,即,矩阵,的逆,例,设,解：,设 是,的逆矩阵,则,利用待定系数法,矩阵,的逆,（分析：对角阵与对角阵相乘还是对角阵）,定理,矩阵 可逆的充要条件是,且,矩阵,的逆,利用,待定系数法,求一个矩阵是否可逆很不方便。什么样的矩阵存在逆矩阵？怎样求逆矩阵？,可逆矩阵就是非奇异矩阵同时，定理也提供了一种求逆矩阵的方法,伴随矩阵法,定理,矩阵 可逆的充要条件是,且,证明,若 可逆，,矩阵,的逆,必要性,充分性,.,按逆矩阵的定义得,矩阵,的逆,推论,证明,逆矩阵的运算性质,矩阵,的逆,证明,矩阵,的逆,证明,矩阵,的逆,矩阵,的逆,例,1,求方阵 的逆矩阵,.,解,三、逆矩阵的求法,矩阵,的逆,同理可得,故,矩阵,的逆,例,2,设 为,3,阶方阵,，,求 的值,.,例,3,设,解,矩阵,的逆,于是,矩阵,的逆,矩阵,的逆,例,4,矩阵,的逆,解,给,方程两端左乘矩阵,矩阵,的逆,给,方程两端右乘矩阵,得,矩阵,的逆,给方程两端左乘矩阵,矩阵,的逆,得,给方程两端右乘矩阵,矩阵,的逆,例,5,矩阵,的逆,矩阵,的逆,解,例,6,矩阵,的逆,矩阵,的逆,解,例,7,矩阵,的逆,矩阵,的逆,小结,逆矩阵的概念及运算性质,.,逆矩阵的计算方法,逆矩阵 存在,矩阵,的逆,一、矩阵的分块,对于行数和列数较高的矩阵,，,为了,简化运算，经常采用,分块法,，使大矩阵的,运算化成小矩阵的运算,.,具体做法是,：将,矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小,矩阵，每一个小矩阵称为 的,子块,，以子,块为元素的形式上的矩阵称为,分块矩阵,.,34,分块,矩阵,例,即,分块,矩阵,即,分块,矩阵,分块,矩阵,分成子块的分法很多,上面只举出了四种分块形式,二、分块矩阵的运算规则,分块,矩阵,与,也是,同型阵,加法,分块,矩阵,数乘,例,分块,矩阵,分块,矩阵,（,3,）分块矩阵的乘法,分块,矩阵,（,4,）分块矩阵的转置,分块,矩阵,（,5,）分块对角矩阵,或称为准对角形,分块,矩阵,分块,对角矩阵的行列式具有下述性质,:,（,1,）,（,2,）,（,3,）,分块,矩阵,(4),(5),与,也是,同型阵,（,6,）：分块上三角、分块下三角,方阵经,分块后如下,：,分块,矩阵,例,1,设,解,分块,矩阵,则,分块,矩阵,又,于是,分块,矩阵,例,2,设矩阵,求 及,解,令,则,所以,其中,矩阵按行分块和按列分块,三、小结,在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法,.,(1),加法,(2),数乘,(3),乘法,分块矩阵之间的运算,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似,分块,矩阵,(4),转置,(5),分块对角阵,分块,矩阵,由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵,.,三种初等变换对应着三种初等方阵,.,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛,.,一、初等矩阵,35,初等矩阵,定义,1,、初等矩阵的概念,初等矩阵,初等矩阵,初等矩阵,初等矩阵,初等矩阵,初等矩阵,初等矩阵,初等矩阵,定理,设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵,.,2,、初等矩阵的应用,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,初等矩阵,初等矩阵,定理,2,：对任一矩阵,A,，一定存在若干初等矩阵，使得：,定理,3,：,初等矩阵,定理,4,设,A,为可逆方阵，则存在有限个初等方阵,证,即,初等矩阵,二、利用初等变换求逆阵：,逆矩阵,解,例,初等变换法求逆阵,逆矩阵,逆矩阵,即,初等行变换,逆矩阵,例,解,逆矩阵,逆矩阵,逆矩阵,三、小结,1.,单位矩阵 初等矩阵,.,一次初等变换,2.,利用初等变换求逆阵的步骤是,:,一、矩阵的秩,36,矩阵的秩,矩阵的秩,36,矩阵的秩,矩阵的秩,二、利用初等变换求矩阵的秩,定理 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,例1,解,三、矩阵秩的求法,例2,解,计算,A,的,3,阶子式，,另解,显然，非零行的行数为,2,，,此,方法简单！,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩,.,满秩阵,结论,：,求秩方法,（,1,）由秩的有关定理进行考察；,（,2,）将,A,化为行阶梯形矩阵，非零的行数即为,r.,