代数系统x.ppt

,主标题,主文本标题,二级标题,三级标题,四级标题,五级标题,*,*,50,*,代数系统,06 三月 2026,代数系统的引入,人们研究和考察现实世界中的各种现象或过程往往要借助于所谓的数学模型。,例如,:,在微积分中,物体的速度可用导数、面积、体积可用定积分计算。,针对某个具体问题选用适宜的数学结构去进行较为确切的描述，这就是所谓数学模型。,代数系统的引入,数学结构在数学模型中占有极为重要的地位，,我们现在下面讨论的数学结构是,由集合上定义若干,运算而组成的系统,称为代数系统。,在计算机科学中，研究机器可计算性语言、算,法计算的复杂性、刻划抽象的数据结构等等，都需,要这现代代数系统知识。,代数系统,定义,对于集合,A,，一个从,A,n,到,B,的映射，称为集合,A,上的一个,n,元运算。如果,B A,，则称该,n,元运算是,封闭,的。,定义,2,一个非空集合,A,，连同若干个定义在该集合上的运算,f1,f2,fk,所组成的系统就称为一个,代数系统,，,记作,A,f1,f2,fk,。,注,：代数系统是由一个集合（此集合称为代数的载体）和定义在集合上的若干运算构成。,运算及其性质（,1,）,运算封闭性：若,a,，,bA,，,*,是集合,A,上的二元运算，有,a*,bA,，则称*在,A,上是封闭的。,例：,A=x,x=2,n,，,nN,，问,运算封闭否，,，,呢？,解：,2,r,，,2,s,A,，,2,r,x 2,s,=2,r+s,A,（）,运算封闭。,又：,2,，,4A,，,2+4A,，,运算不封闭,2,，,4A,，,2/4A,，,运算不封闭。,运算及其性质（,2,）,结合律：若,a,，,b,，,cA,，若有,a*(b*c)=(a*b)*c,则称*在集合,A,上是可结合的；或称*在,A,上满足结合律。,例：,，若,a,，,bA,，有,a*b=b,。,证明：*满足结合律,证：,a,，,b,，,cA,，,a*,（,b*c,）,=a*c=c,(a*b,）*,c=b*c=c,a*,（,b*c,）,=,（,a*b,）*,c,*满足结合律。,运算及其性质（,3,）,交换律：若,a,，,bA,，,*,是集合,A,上的二元运算，有,a*b=b*a,，则称*在,A,上是可交换的，或称*运算在,A,上满足交换律。,例：设,*,定义如下：,a*b=,a+b-ab,，问*满足交换律否？,证：,a,，,bA,，,a*b=,a+b-ab,=,b+a-ba,=b*a,*,满足交换律。,运算及其性质（,4,）,幂等律：若,aA,，,*,是集合,A,上的二元运算，有,a*a=a,，则称*在,A,上是幂等的，或称*运算在,A,上满足幂等律。,例,：已知集合,s,（,s,）,。,A,，,B,（,s,），,AA=A,AA=A,A,（,A B,）,=A,A,（,AB,）,=A,则和满足幂等律。,运算及其性质（,5,）,分配律：若任意,a,b,cA,，有,a(b,*c)=(,ab,)*(,ac,),(b*c)a=(,ba,)*(,ca,),成立，则称运算,对*是可分配的，或称运算,对*满足分配律。,运算及其性质（,6,）,吸收律：若,和*满足交换律而且有：,a(a,*b)=a,和,a*(,ab,)=a,则称,和*运算是可吸收的，或称,和*运算满足吸收律。,例,:N,为自然数集,x,yN,，,x*y=,maxx,，,y,xy,=,minx,，,y,试证：*和满足吸收律。,证明：,x,，,yN,，,x*,（,xy,）,=,maxx,，,minx,，,y=x,，,x,（,x*y,）,=,minx,，,maxx,，,y=x,，,*和满足吸收律。,2026/3/6 周五,幺元（单位元）,定义,设,是二元代数系统，,（,1,）若存在,eA,，对任意,aA,，都有,a,e=e,a=a,，,则称,e,是,A,中关于运算,“,”,的一个,幺元（单位元）,（,2,）若存在,e,l,A,，使得对任意,aA,，都有,e,l,a=a,，,则称,e,l,是,A,中关于运算,“,”,的一个,左幺元（左单位元）,（,3,）若存在,e,r,A,，使得对任意,aA,，都有,a,e,r,=a,，,称,e,r,是,A,中关于运算,“,”,的一个,右幺元（右单位元）,2026/3/6 周五,结论,（,1,）计算幺元可根据定义直接进行，即,首先,假设幺元存在，并根据定义计算，,然后,进行验证。,（,2,）可以直接从运算表中分析出运算是否有左幺元或右幺元。具体方法是：,如果元素,x,所在的行上的元素与行表头完全相同,，则,x,是一个左幺元；,如果元素,x,所在的列上的元素与列表头完全相同,，则,x,是一个右幺元；,同时满足和。,2026/3/6 周五,零元,定义,设,是一个二元代数系统，,（,1,）若存在,A,，使得对任意,aA,，都有,a,=,a=,，,则称,是,A,中关于运算,“,”,的一个,零元,；,（,2,）若存在,l,A,，使得对任意,aA,，都有,l,a=,l,，,则称,l,是,A,中关于运算,“,”,的一个,左零元,；,（,3,）若存在,r,A,，使得对任意,aA,，都有,a,r,=,r,，,则称,r,是,A,中关于运算,“,”,的一个,右零元,。,2026/3/6 周五,逆元,定义,设,是二元代数系统，,e,是幺元，,aA,，若存在一个元素,bA,，,（,1,）使得：,a,b=b,a=e,，,则称,a,可逆，并称,b,是,a,的一个,逆元,，记为,a,1,；,（,2,）使得：,b,a,=e,，,则称,a,左可逆，并称,b,是,a,的一个,左逆元,，记为,a,l,1,；,（,3,）使得：,a,b=e,，,则称,a,右可逆，并称,b,是,a,的一个,右逆元,，记为,a,r,1,。,2026/3/6 周五,定理,设,是二元代数系统，,（,1,）如果,存在幺元，则幺元唯一；,（,2,）如果,存在幺元，则该幺元一定是左、右幺元；,（,3,）如果,存在左、右幺元，则该左、右幺元相等，且是幺元。,2026/3/6 周五,定理,设,是二元代数系统，,（,1,）如果,存在零元，则零元唯一；,（,2,）如果,存在零元，则该零元一定是左、右零元；,（,3,）如果,存在左、右零元，则该左、右零元相等，且是零元。,2026/3/6 周五,定理,设,是二元代数系统，,“,”,满足,结合律,且设,e,是幺元，则对任意的,aA,，,（,1,）如果,a,存在逆元，则逆元唯一；,（,2,）如果,a,存在逆元，则该逆元一定是左、右逆元；,（,3,）如果,a,存在左、右逆元，则该左、右逆元相等，且是逆元。,2026/3/6 周五,例,设,G=,f,a,b,(x,)=,ax+b,|a0,a,bR,，其中,R,是实数，,“,”,是,G,上关于函数的复合运算。,（,1,）验证,是代数系统；,（,2,）如有幺元计算之；,（,3,）如有零元计算之；,（,4,）说明,G,中的那些元有逆元，并计算这些元的逆元。,2026/3/6 周五,例（续）：封闭性,分析,（,1,）要说明,是代数系统，只需要说明,“,”,对,G,封闭，即说明对任意,f,a,b,，,f,c,d,G,，,f,a,b,f,c,d,G,，,又,(,f,a,b,f,c,d,)(x,)=,f,c,d,(,f,a,b,(x,),=,f,c,d,(ax+b,)=,c(ax+b)+d,=,cax+bc+d,=,f,ca,bc+d,(x,),，即,f,a,b,f,c,d,=,f,ca,bc+d,，,显然,ca 0,，故,f,ca,bc+d,G,，,所以,“,”,对,G,是封闭的，即,G,是代数系统,。,2026/3/6 周五,例（续）：幺元,（,2,）不妨假设幺元是,f,c,d,G,，则对,f,a,b,G,，有,f,a,b,f,c,d,=,f,a,b,，又,f,a,b,f,c,d,=,f,ca,bc+d,，则,f,a,b,=,f,ca,bc+d,，,因此，,xR,，有,f,a,b,(x)=,ax+b,=,f,ca,bc+d,(x)=,cax+bc+d,，,特别取,x=0,x=1,，可得,bc+d,=b,ca=a,。,由于,f,a,b,是,G,中的任意元，取,a=1,，,b=2,可得,c=1,d=0,。,2026/3/6 周五,例（续）：幺元,上面的分析说明，如果,有幺元，则此幺元必是,f,1,0,，所以需进一步验证,f,1,0,就是幺元。,即对任意的,f,a,b,G,，验证等式,f,a,b,f,1,0,=f,1,0,f,a,b,=,f,a,b,显然此等式成立，所以,f,1,0,是幺元。,2026/3/6 周五,例（续）：零元,（,3,）按同样的思路，不妨假设零元是,f,c,d,G,，由零元的定义，,f,a,b,G,，有,f,a,b,f,c,d,=,f,c,d,，,f,a,b,f,c,d,(x)=,cax+bc+d,=,f,c,d,(x)=,cx+d,，,取,x=0,，有,bc,=0,又,f,a,b,是任意的，取,b=1,，可得,c=0,，,又,f,c,d,G,，则,c 0,矛盾，故,f,c,d,是零元不成立，故代数系统,没有零元,。,2026/3/6 周五,例（续）：逆元,（,5,）对,f,a,b,G,，不妨假设它的逆元为,f,c,d,，当然,f,c,d,G,，有,f,a,b,f,c,d,=f,1,0,，,f,a,b,f,c,d,(x)=,cax+bc+d,=f,1,0,(x)=x,，,特别取,x=0,x=1,，可得,bc+d,=0,ca=1,，,因为,a0,，显然,c=1/a,d=,b/a,，故,f,c,d,=f,1/a,b/a,，,2026/3/6 周五,例（续）：逆元,同理，上面分析说明，如果,f,a,b,有逆元，则此逆元是,f,1/a,b/a,因此还需验证,f,1/a,b/a,是,f,a,b,逆元，即验证等式,f,a,b,f,1/a,b/a,=f,1/a,b/a,f,a,b,=f,1,0,，,显然此等式成立，所以,f,1/a,b/a,是,f,a,b,的逆元。,由,f,a,b,的任意性，可得,G,中的任何一个元都有逆元。,2026/3/6 周五,结论,（,1,）,是代数系统；,（,2,）幺元是,f,1,0,；,（,3,）,中没有零元；,（,4,）,中任意元,f,a,b,的逆元是,f,1/a,b/a,。,计算幺元、零元、逆元等特殊元时，,首先,可以假设这些元存在，,然后,根据定义直接得到方程，解这个方程就可以计算出这些元，如果方程无解，则特殊元不存在，如果方程存在解，则根据特殊元的定义还需要,进一步,验证所求解是否是对应的特殊元。,2026/3/6 周五,同类型代数系统,定义,如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数也相同，且代数常熟的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称他们是,同类型的代数系统,。,如,：代数系统,Z,，,+,Z,，,R,，,+,p,（,S,），,p,（,S,），,都是同类型的代数系统。,代数系统,I,，,+,，,、,R,，,+,，,、,p,（,S,），,都是同类型的代数系统。,注：同类型的代数系统仅仅是构成成分相同，不一定具有相同运算性质。,2026/3/6 周五,子代数,定义,设,V=,是代数系统，如果：,（,1,）,B,S,且,f,1,f,2,f,k,都是,B,上的封闭运算。,（,2,）,B,和,S,含有相同的代数常数,则,也是一个代数系统，称之为,V,的,子代数系统,，简称,子代数,。又若,B,S,，则称,是,V,的,真子代数,。,2026/3/6 周五,子代数,子代数是抽象代数学中一个非常重要的概念，通过研究子代数的结构和性质，可以得到原代数系统的某些重要性质。,比如在群论中，通过研究子群可得群的某些性质。,半群与独异点,半群是一种代数系统，它在形式语言与自动机等领域，具有广泛的应用。,定义,设*是集合,S,上的二元运算，若运算*是封闭的，并且*是可结合的，则称代数系统,为,半群,。这个定义包括两点，即对任意,a,b,cS,(1)a*,bS,(2)a*(b*c)=(a*b)*,cS,。,2026/3/6 周五,子半群与含幺半群,子半群,定义,若半群,中存在一个幺元,e,，则称此半群为,独异点（或含幺半群）,。,2026/3/6 周五,群与子群,定义,设,是一个代数系统，其中,G,是非空集合，*是,G,上一个二元运算，,（,1,）如果,“,”,是封闭的；,（,2,）运算*是可结合的；,(,a,b,),c=a,(,b,c,),（,3,）存在幺元,e,，即,eG,，使得,aG,，,e,a,=,a,e,=a,；,（,4,）,G,中每个元素,x,都有逆元,x,1,，即,xG,，都,x,1,G,，,x,x,1,=x,1,x=e,。,概括：群是满足,封闭性、结合律、有幺元，每个元有逆元,的二元,代数系统,为群,2026/3/6 周五,几个特殊的群,在群,中，,（,1,）若运算,“,”,满足交换律，即,a,bG,，都有,a,b,=,b,a,，,则称,为,可换群,或,阿贝尔,(Abel),群,；,（,2,）集合,G,的基数称为群,G,的阶,(Order),，记为,|G|,。若群,的阶有限，则称之为,有限群,，否则称为,无限群,。,元素的阶,定义,设,是群，若,aG,，使得,a,k,=e,成立的最小正整数,k,称为,a,的阶，记作,|a|,。,循环群,定义,设,为群，若存在一个元素,aG,，使得对任意,xG,，都有,x=a,n,，其中,nZ,+,，,则称,为循环群，并称,a,为该循环群的一个生成元。,在循环群,中，,G,的阶为有限时，称为有限循环群，否则称为无限循环群。,如何计算生成元呢？,首先假设生成元存在，然后根据定义得到方程，通过解这个方程来计算生成元。,注：循环群的生成元可以不唯一。,2026/3/6 周五,子群,定义,设,是群，如果,（,1,）,S,是,G,的非空子集；,（,2,）,S,在运算,“,”,下也是群，即,是群。,则称,是,的,子群,。,对任意的群,和,是群,G,的子群。由于任何群,都有这两个子群，故称之为,平凡子群,，将,的非平凡子群称为,真子群,。,子群判别定理,定理,设,是群，,H,是,G,的非空子集，则,HG,，,iff,(1),a,bH,有,a*,bH,;,(2),aH,有,a,-1,H;,定理,设,是群，,H,是,G,的非空子集，则,H,是,G,的子群，,iff,a,bH,有,a*b,-1,H,。,定理,设,是群，,H,是,G,的有穷非空子集，则,H,是,G,的子群，,iff,a,bH,有,a*,bH,。,2026/3/6 周五,子群判别方法总结,根据子群的定义，要证明以下,5,点：,、,S,非空子集；,、运算对,S,的封闭性；,、运算在,S,上结合律成立；,、,S,上存在幺元；,、,S,中的每个元都存在逆元。,判别定理将,5,点减少为,3,点：,、,S,非空子集；,、运算对,S,的封闭性；,、,S,中的每个元的逆元都在,S,中。,4.4,环与域,定义 若,具有如下性质,:,1),是阿贝尔群,2),是半群,3),运算,*,对运算,可分配,即,a,b,c,R,a,*,(b c)=a,*,b a,*,c,(b,c),*,a=b,*,a c,*,a,称,是一个环。,环的性质,定理,设,是一个环，则对,a,b,c,A,有,a=a,=,;,a(-b)=(-a)b=-(a b),(-a)(-b)=,ab,a,(b-c,)=,a,b-a,c,(,b-c)a,=b,a-c,a,其中，,加法幺元，,-a,是,a,的加法逆元，,a+(-b),记为,a-b,。注意上面的各式中，不能只理解是实数上的加法与乘法。,域,定义,设,是一个环，且,|R|2,，,（,1,）,R,有幺元；,（,2,）每个非零元有逆元；,则称这个环为除环。,如果一个除环是可交换的，称之为域。,当,为域时，,及,是阿贝尔群，其中,R,*,=R-0,。,同态与同构,定义 设,和,是两个代数系统，,和,*,分别是,A,和,B,上的二元运算，设,f,是从,A,到,B,的一个映射，使得对任意的,a1,a2A,，有,f(a1a2)=f(a1)*f(a2),则称,f,为由,到,的一个,同态,映射，记作,AB,。,定义 设,f,为由,到,的一个同态，如果,f,是从,A,到,B,的一个满射，则称,f,为满同态；如果,f,是从,A,到,B,的一个入射，则,f,称为单一同态；如果,f,是从,A,到,B,的一个,双射,，则,f,称为,同构,映射，记作,AB,。,连续映射,我们说映射,f,在某个点,c,处事连续的当以下的两个条件满足：,1)f(c),必须是可定义的（即,c,必须在,f,的定义域中,),；,2),如果,c,是定义域中的一个聚点，则,x,接近,c,时,f(x,),的极限存在且等于,f(c,),。,我们称映射处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。,同胚映射,定义：如果,f,为一一映射，且,f,和,f,-1,都为连续映射，则称,f,为同胚（拓扑）映射。,流形,流形（,Manifold,），是局部具有,欧氏空间,性质的空间。而实际上欧氏空间就是流形最简单的实例。像地球表面这样的,球面,是一个稍为复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。,流形可以视为近看起来象欧氏空间或其他相对简单的空间的物体。例如：人们曾经以为地球是平坦的，因为我们相对于地球很小，这是一个可以理解的假象。所以，一个理想的数学上的球在足够小的区域也象一个平面，这使它成为一个流形。但是球和平面有很不相同的整体结构,:,如果你在球面上沿一个固定方向走，你最终回到起点，而在一个平面上，你可以一直走下去。,流形（续）,一个,曲面,是二维的。但是，流形可以有任意维度。例如说，一根线的圈,(,一维的,),以及三维空间中的所有旋转,(,三维的,),。旋转所组成的空间的例子表明流形可以是一个抽象空间。流形的技术使得我们能够独立的考虑这些对象，从某种意义上来讲，我们可以有一个不依赖于任何其他空间的球。,流形在某一点的维度就是该点映射到的欧氏空间图的维度。连通流形中的所有点有相同的维度。,从拓扑学的角度说，流形就是一个非常优良的拓扑空间：符合,Hausdorff,分离公理（任何不同的两点都可以通过不相交的邻域分离），符合第二可数公理（具有可数的拓扑基），并且更重要的是，局部同胚于,Rn,。因此，一个正则,(Regular),流形基本就具有了各种最良好的拓扑特性。而局部同胚于,Rn,，代表了它至少在局部上可以继承,Rn,的各种结构，比如线性运算和内积，从而建立分析体系。事实上，拓扑流形继承这些结构后形成的体系，正是现代流形理论研究的重点。继承了分析体系的流形，就形成了微分流形,(Differential manifold),，这是现代微分几何的核心。而微分流形各点上的切空间,(Tangent Space),，则获得了线性运算的体系。而进一步继承了局部内积结构的流形，则形成黎曼流形,(Riemann manifold),，而流形的全局度量体系,测地距离,(geodesics),正是通过对局部度量的延伸来获得。进一步的，当流行本身的拓扑结构和切空间上的线性结构发生关系,也就获得一簇拓扑关联的线性空间,向量丛,(Vector bundle),。,拓扑流形,最容易定义的流形是拓扑流形，它局部看起来象一些“普通”的欧氏空间,R,n,。形式化的讲，一个拓扑流形是一个局部同胚于一个欧氏空间的拓扑空间。这表示每个点有一个领域，它有一个同胚,(,连续双射其逆也连续,),将它映射到,R,n,。,微分流形,很容易定义拓扑流形，但是很难在它们上面工作。对于多数应用，拓扑流形的一种，微分流形比较好用。如果流形上的局部坐标图以某种形式相容，就可以在该流形上讨论方向，切空间，和可微函数。特别是，可以在微分流形上应用“微积分”。,流形在实际应用中起重要作用的还有两个方面：一个是研究几何形体的性质，还有就是它和代数结构的结合形成的李群,(Lie group),和李代数,(Lie algebra),。当我们研究的对象是变换本身的时候，它们构成的空间是有其特殊性的，比如所有子空间投影形成了,Grassmann,流形，所有的可逆线性算子，或者仿射算子，也形成各自的流形。对他们的最重要操作是变换的结合，而不是加法数乘，因此，它们上面定义的更合适的代数结构应该是群和不是线性空间。而群和微分流形的结合体,李群则成为它们最合适的描述体系,而其切空间则构成了一种加强的线性空间：李代数，用于描述其局部变化特性。,李代数和李群的关系是非常漂亮的。它把变换的微变化转换成了线性空间的代数运算，使得移植传统的基于线性空间的模型和算法到李空间变得可能。而且李代数中的矩阵比起变换本身的矩阵甚至更能反映变换的特性。几何变换的李代数矩阵的谱结构就能非常方便地用于分析变换的几何特性。,李群,设,G,是一个非空集合，满足：,1,）,G,是一个群；,2,）,G,也是一个微分流形；,3,）群的运算是可微的，即：由,GG,到,G,的映射也是可微的映射。,则称,G,是一个李群（,Lie group,）。,例如：实数域、复数域上的一般线性群,GL(n,，,R),GL(n,C,),都是李群。,李代数,一个,n,维实矢量空间如果满足：,分配律：,a1x1+a2x2,y=a1x1,y+a2x2,y,反交换律：,x,y,=-,y,x,Jacobi,恒等式：,x,y,z+y,z,x+z,x,y,=0,的乘法运算，则称它是一个,n,维李代数。,例如三维欧氏空间关于矢量的叉乘成为一个三维李代数。,Learning,的主要工作分成两个大的范畴,建立一种表达形式，让它处于,Rn,空间里面。,获得了有限维向量表达后，建立各种代数算法或者统计模型进行分析和处理。,learning,方法,1.,直接基于原始数据建立表达。我们关心的最终目标是一个个现实世界中的对象：一幅图片，一段语音，一篇文章，一条交易记录，等等。这些东西大部分本身没有附着一个数值向量的。为了构造一个向量表达，我们可以把传感器中记录的数值，或者别的什么方式收集的数值数据按照一定的顺序罗列出来，就形成一个向量了。如果有,n,个数字，就认为它们在,Rn,里面。,在大部分情况下，根据数据产生的物理原理，这些向量的值域并不能充满整个空间。比如图像的像素值一般是正值，而且在一个有界闭集之中。这带来的问题是，对它们进行线性运算很可能得到的结果会溢出正常的范围,在大部分,paper,中，可能只是采用某些,heuristics,的手段进行简单处理。,2.,量化,(quantization),。这是在处理连续信号时被广泛采用的方式。比如一个空间信号（,Vision,中的,image,）或者时间信号，它们的,domain,中的值是不可数无限大的,(,uncountably,infinite),，不要说表示为有限维向量，即使表达为无限序列也是不可能的。在这种情况下，一般在有限域内，按照一定顺序每隔一定距离取一个点来代表其周围的点，从而形成有限维的表达。这就是信号在时域或空域的量化。,这样做不可避免要丢失信息。但是，由于小邻域内信号的高度相关，信息丢失的程度往往并不显著。而且，从理论上说，这相当于在频域中的低通过率。对于有限能量的连续信号，不可能在无限高的频域中依然保持足够的强度，只要采样密度足够，丢失的东西可以任意的少。,除了表示信号，对于几何形体的表达也经常使用量化，比如表示,curve,和,surface,。,3.,需要一个拓扑结构用以描述空间上的点是如何联系在一起。直接建立拓扑结构在数学上往往非常困难，也未必实用。因此，绝大部分工作采取的方式是首先建立度量结构。一个度量空间，其度量会自然地诱导出一个拓扑结构,不过，很多情况下我们似乎会无视它的存在。,最简单的情况，就是使用原始向量表达的欧氏距离,(Euclidean distance),作为,metric,。不过，由于原始表达数值的不同特性，这种方式效果一般不是特别好，未必能有效表达实际对象的相似性（或者不相似性）。因此，很多工作会有再此基础上进行度量的二次建立。方式是多种多样的，一种是寻求一个映射，把原空间的元素变换到一个新的空间，在那里欧氏距离变得更加合适。这个映射发挥的作用包括对信息进行筛选，整合，对某些部分进行加强或者抑制。这就是大部分关于,feature selection,，,feature extraction,，或者,subspace learning,的文章所要做的。另外一种方式，就是直接调节距离的计算方式（有些文章称之为,metric learning,）。,这两种方式未必是不同的。如果映射是单射，那么它相当于在原空间建立了一个不同的度量。反过来，通过改变距离计算方式建立的度量在特定的条件下对应于某种映射。,4.,建立代数运算。,一种方法是直接建立。就是给这些东西定义自己的加法和数乘。一个新的代数结构一旦建立起来，其它的数学结构，包括拓扑，度量，分析，以及内积结构也随之能被自然地诱导出来，我们也就具有了对这个对象空间进行各种数学运算和操作的基础。,另外一种方式就是嵌入,(embedding),到某个向量空间，从而继承其运算结构为我所用。当然这种嵌入也不是乱来，它需要保持原来这些对象的某种关系。最常见的就是保距嵌入,(isometric embedding),，我们首先建立度量结构（绕过向量表达，直接对两个对象的距离通过某种方法进行计算），然后把这个空间嵌入到目标空间，通常是有限维向量空间，要求保持度量不变。,相关链接,You!,