第5章 插值与逼近.ppt

,第五章插值与逼近,引言：,我们可用插值或逼近的方法解决这类问题。,而不便于计算,希望用一个简单的函数来描述它。,y,1,y,n,；,或者,f,(,x,),的函数表达式是已知的,但却很复杂,其在,a b,区间上有限个离散点,x,0,x,1,x,n,处的函数值,y,0,a b,上是存在的。但是只能通过观察、测量或试验得到,在实际问题中常遇到这样的函数,f,(,x,)=,y,它在某个区间,插值与逼近都是指用某个简单的函数在满足一定条件下在某个范围内近似代替另一个较复杂的函数或解析表达式未能给出的函数，以便于简化对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。,5.1,代数插值,5.1.1,一元函数插值,一、基本概念,代数插值问题：,在,次数不超过,n,的多项式集合,这类问题称为一元函数的代数插值问题。称为插值结点，,f,(,x,),称为被插函数，称为,插值基函数。,插值多项式的存在唯一性,二、,Lagrange,插值方法,三、插值余项与截断误差估计,说明：,例,5.1,四、,Newton,插值方法,(5.1.7),差商,Newton,插值公式,将,以上结果代入,(5.1.7),得到,Newton,插值公式,说明,差商的性质,差商表,例,5.2,解：,先造差商表,一阶均差,二阶均差,三阶均差,四阶均差,五阶均差,0.40,0.41075,0.55,0.57815,0.65,0.69675,0.80,0.88811,0.90,1.02652,1.05,1.25386,由,Newton,公式得四次插值多项式为：,定理,5.2,证明,5.2,Hermite,插值,前面所讨论的代数插值问题只要求插值多项式,p,n,(,x,),满足插值条件：,如果,在插值条件中,再增加,对结点处导数的限制，,则构造,的多项式函数能在光滑性上,于结点处与原函数保持一致,从而使构造出的函数,能更好地逼近原来的函数,引言,Hermite,插值问题,在,次数不超过,n+m+,1,的多项式集合,的,Hermite,插值多项式,存在性定理,误差估计,(5.2.3),例,5.2.1,例,5.2.1,给定函数值表如下,:,带重结点的差商表,5.6.1,最佳平方逼近的概念与解法,5.6,函数的最佳平方逼近,权函数,一、基本概念,内积,函数组的生成子空间,最佳平方逼近多项式,(5.6.1),最佳平方逼近的条件,(5.6.2),二、最佳平方逼近元素的求法,(5.6.3),非奇异的，即法方程组存在唯一解。,均方误差,例,1,定义内积,正交多项式组,(5.6.4),(5.6.5),Legendre,多项式,Chebshev,多项式,Laguerre,多项式,Hermite,多项式,三角函数系,例,1(,续,),应用,Legendre,多项式求解例,1,曲线拟合问题,已知一组（二维）数据，即平面上,n,个点,（,x,i,y,i,),i,=1,n,寻求一个函数（曲线）,y,=,f,(,x,),使,f,(,x,),在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。,+,+,+,+,+,+,+,+,+,x,y,y,=,f,(,x,),(,x,i,y,i,),i,i,为点,（,x,i,y,i,),与,曲线,y,=,f,(,x,),的,距离,(,纵轴方向,),5.6.5,曲线拟合与曲面拟合,拟合与插值的关系,函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。,问题相同：,给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线。,解决方案不同：,若不要求曲线通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是,数据拟合,，又称曲线拟合或曲面拟合。,若要求所求曲线通过所给所有数据点，就是,插值问题,；,最小二乘法,(5.6.7),(5.6.8),求最小二乘法解的方法,类似于定理,1,和定理,2,的证明，我们可以证明以下结论。,(5.6.11),例,2,给定数表,x,-0.75,-0.5,-0.25,0,0.25,0.5,0.75,y,0.33,0.88,1.44,2.00,2.56,3.13,3.71,试分别用一次、二次、三次多项式根据最小二乘,原则拟合这些数据，并比较优劣。,x,y,解,(1),法方程,的解为,所求一次多项式为,误差平方和,(2),法方程,的解为,所求二次多项式为,误差平方和,法方程,的解为,所求三次多项式为,误差平方和,(3),例,3,已知一组实验数据,x,2,3,4,7,8,10,11,14,16,18,19,y,106.42,108.20,109.50,110.00,109.93,110.49,110.59,110.60,110.76,111.00,111.20,试以最小二乘原则求一个函数拟合这组数据。,x,y,(1),双曲线模型,这时，,法方程,的解为,所求双曲线函数为,误差平方和,(2),指数曲线模型,两边取对数,其中,由此原,数据表可换成,数据表,法方程,的解为,由此得,误差平方和,所求指数函数为,定理,1,证明,