第一节解线形方程组的消元法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 线性方程组,本章主要内容,一、解线形方程组的消元法,二、向量及其线性计算,三、向量间的线性关系,四、向量组的秩和矩阵的秩,五、线性方程组解的结构,第一节 解线形方程组的消元法,含有,m,个方程、,n,个未知量的线性方程组的一般形式为,(3.1),记,方程组,(3.1),可以写成矩阵形式,其中,A,称为方程组,(3.1),的,系数矩阵,，,b,称为方程组,(,3.1,),的,常数项矩阵,，,X,称为,n,元,未知量矩阵,。,记,称为方程组,(3.1),的,增广矩阵,。,如果 可以使,(3.1),中的,m,个等式,都成立，则称有序数组 为方程组,(3.1),的一个,解,。,方程组,(3.1),的解的全体称为方程组的,解集合,。如果两个方程,组的解集合相等，则称这两个方程组,同解,。,一、用消元法解线性方程组的例,例,1,解线性方程组,解,方程组中的方程,分别乘以,(-2),，,(-1),加到方程,和,上，,消去,x,1,，得,(3.2),将,式两边除以,(-2),，并于,式交换位置，得,再将,式的,5,倍加到,式上，得,方程组,(3.3),与线性方程组,(3.2),同解，这一过程称为,消元过程,。,方程组,(3.3),中自上而下的各方程所含未知量个,数依次减少，这种形式的方程称为,阶梯形方程组,。,(3.3),在,(3.3),中，由,式可得 将 带入,得,将 代入,可得,所以原方程组的解为,由阶梯形方程组逐次求得各未知量的过程，称为,回代过程,。,线性方程组的这种解法称为,消元法,。,求解过程中，运用了三种,初等变换,：,(1),交换两方程的位置；,(2),某个方程的两边同乘以一个非零的数；,(3),把一个方程的若干倍加到另一个方程上。,在求解的过程中，阶梯形方程组,(3.3),所对应的矩阵,(3.4),称为,阶梯形矩阵,。,其特点是：,(1),自上而下的各行中，第一个非零元素左边零的个数随,行数增加而增加。,(2),元素全部为零的行,(,如果有的话,),位于矩阵的最下面。,一般，若一个阶梯形矩阵满足下列条件：,(1),各非零行的第一个非零元素都是,1,；,(2),各非零行的第一个非零元素所在列的其他元素都是零，,则此阶梯形矩阵称为,简化的,或,规范的阶梯形矩阵,。,例,2,解线性方程组,解,对方程组的增广矩阵施以初等行变换，化为阶梯形矩阵：,由最后的阶梯形矩阵，可得对应的阶梯形方程组,这是一个矛盾方程组，无解，所以原方程组也无解。,例,3,解线性方程组,解,对方程组的增广矩阵施以初等行变换，化为阶梯形矩阵：,所对应的阶梯形方程组为,其中最后一个方程组已化为,“,0=0”,，说明该方程是多余方,程，上述方程组可改写为,二、高斯消元法,设 的第一列中 ，把 的第一列的 倍加到它,的第,i,行上去，可以把 转化为,对此矩阵重复上述变换,(,必要时，可以重新排列未知量的顺序,),，,将 转化为阶梯形矩阵：,由后面的,m,-1,行，右边的,n,列可以组成一个 矩阵，,(3.6),其中 它对应的阶梯形方程组为,(3.7),有以下结论：,1.,，于是,(3.7),中的第,r,+1,方程 是一个矛盾,方程。因此方程组,(3.7),无解，原方程组,(3.1),也无解。,2.,于是方程组,(3.7),有解，其中后,m-r,各等式“,0=0”,表明,原方程组,(3.1),中相应的方程是多余方程。这时可能出现两种情形：,(1),如果,r=n,，则方程组,(3.7),相当于,自上而下依次求出 的值，则方程组,(3.7),有唯一解，,因而原方程组,(3.1),也有唯一解。,这一回代过程可以由相应的阶梯形矩阵自上而下逐次施以初等,行变换，化为,从而直接得到原方程组的解,(2),如果,rn,，则方程组,(3.7),化为,其中 称为,自由未知量,，任意区定自由未知量的值，,就可以唯一确定 的值，因此方程组,(3.7),有无穷多组解。,实际计算时，可以对阶梯形矩阵,(3.6),自上而下逐次施以,初等行变换，把它转化为,如果 由上面的矩阵直接可得原方程组的解。,(,为任意常数,),这样的解称为方程组,(3.1),的,一般解,。,定理,3.1,线性方程组,(3.1),的增广矩阵 通过初等行变换可以,化为阶梯形矩阵，对应的阶梯形方程组,(3.7),与原方程组,(3.1),同解，并且,1.,当 时，原方程组,(3.1),无解；,2.,当 时，原方程组,(3.1),有唯一解；,3.,当 时，原方程组,(3.1),有无穷多组解。,在线性方程组,(3.1),中，如果常数项全为零，即,则称此方程组为,齐次线性方程组,；,否则，称,(3.1),为,非齐次线性方程组,。,定理,3.2,齐次线性方程组,(3.8),的增广矩阵 通过初等行变换,可以变化为阶梯形矩阵,(3.9),，并且,1.,当,r=n,时，齐次线性方程组,(3.8),仅有零解；,2.,当,rn,时，齐次线性方程组,(3.8),除零解外，还有非零,解；实际上，它有无穷多解。,推论,1,在齐次线性方程组,(3.8),中，若方程地个数小于未知量,地个数，即,mn,时，方程组,(3.8),必有非零解。,推论,2,当,m=n,时，齐次线性方程组,(3.8),有非零解的充分必要,条件是其系数行列式等于零。,这是一个齐次线性方程组，且方程个数小于未知量个数，,故此方程组必有非零解。,例,4,解线性方程组,解,对方程组的增广矩阵施以初等行变换,由此可得,今自由未知量 得原方程组的一般解为,例,5,讨论,a,b,为何值时，线性方程组,有唯一解？无解？有无穷多解？当有无穷多解时，求出,它的一般解。,解,对方程组的增广矩阵施以初等行变换，化为阶梯形矩阵：,由最后一个矩阵可得,(1),当 时，方程组有唯一解。,(2),当 时，方程组无解。,(3),当 时，方程组有无穷多解。,将最后的阶梯形矩阵继续施以初等行变换，化为简化的阶,梯形矩阵,对应的方程组,与原方程组同解。,令自由未知量 则原方程组地一般解为,(,为任意常数,),