线性代数7-4.ppt

7.4 随机变量的数字特征,7.4.1,离散型随机变量的数学期望和方差,7.4.,2,连续,型随机变量的数学期望和方差,7.4.3,常见随机变量的数学期望和方差,7.4.4,随机变量函数的数学期望和方差,7.4.1 数学期望和方差的概念,一、案例,二、概念和公式的引出,三、进一步的练习,四、,案例,五、,概念和公式的引出,六、进一步的练习,一、案例,轮胎质量,为了比较两家工厂生产的轮胎质量，某汽车运输公司做了这样的试验，让14辆车况相同的汽车分别装上这两家工厂生产的牌号为,A,，,B,的轮胎，并且统计了每辆车在轮胎损坏前所行驶的公里数，见下表,A,牌轮胎,B,牌轮胎,公里数,11000,12000,14000,8000,10000,14000,40000,车辆数,1,2,4,3,2,1,1,频率,从每组轮胎所行驶的平均公里数来看：,（,km）,B,牌轮胎的平均公里数为,（,km）,所以汽车运输公司认为,B,牌轮胎质量较好,A,牌轮胎的平均公里数为,二、概念和公式的引出,离散型随机变量的数学期望,设离散型随机变量,的分布列为,若级数,绝对收敛，则称级数,为随机变量,的,数学期望,或,均值,，记作,或,即,如果上式中的级数不绝对收敛，,这时称,的数学期望不存在,一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品五种，相应的概率分别为0.7，0.1，0.1，0.06及0.04，若其产值（单位：元）分别为6，5.4，5，4，0，求产品的平均产值,三、进一步练习,练习,1,产品的平均产值,解,产品产值,是一个随机变量，其分布列为,6,5.4,5,4,0,0.7,0.1,0.1,0.06,0.04,所以,练习2,产品质量,一段时间的考察，,的分布列分别是,0,1,2,3,0.7,0.1,0.1,0.1,问哪一台机床加工的产品质量好些？,0,1,2,3,0.5,0.3,0.2,0,设,A,、,B,两台自动机床，生产同一种标准件生产,表示，经过,1000只产品所出的次品数分别用,解,随机变量,的数学期望分别为,因为,，所以自动机床,A,在1000只产品中,所出的平均次品数较少因此，我们认为,A,机床加工,的产品质量较高,四、案例,误差评价,线切割机床在切割某一批圆柱形钢件时，已知切割后的平均长度为30,cm，,要判断该机床的切割水平如果切割后的钢件大部分都在30,cm,左右，则符合精度要求，我们认为切割水平较好；如果切割后的钢件离30,cm,差异较大，虽然同样满足切割的平均长度为30,cm，,但我们认为切割水平有问题,那么，究竟用什么办法来对机床切割水平进行评价呢？,五、概念和公式的引出,离散型随机变量的方差,设,是一随机变量，如果,存在，则称,为,的,方差,，记作,，并称,，即,为,的,均方差,或,标准差,设甲、乙两工厂生产同一种设备，其使用寿命（单位：小时）的分布列见下表，试比较两厂生产的产品质量,六、进一步练习,练习,质量评价,800,900,1000,1100,1200,0.1,0.2,0.4,0.2,0.1,800,900,1000,1100,1200,0.2,0.2,0.2,0.2,0.2,解,两厂生产的设备使用寿命的均值相等，但从分布列可以看出，甲厂生产的产品使用寿命比较集中在1000小时左右，说明甲厂产品质量的稳定性较好，而乙厂生产的产品使用寿命却比较分散，说明乙厂产品质量的稳定性比较差,下面用方差来进行描述,因为,，所以甲厂产品寿命的分散程度比较小，,产品质量比较稳定，比乙厂的产品质量好,7.4.,2,连续型随机变量的数学期望和方差,一、概念和公式的引出,二、进一步的练习,一、概念和公式的引出,连续型随机变量的数学期望,设连续型随机变量,具有密度函数,f,(,x,),，,如果广义积分,（或,均值,），记作,即,否则，称,的数学期望不存在,绝对收敛，则称该积分为随机变量,的,数学期望,连续型随机变量的方差,设连续型随机变量,具有密度函数,f,(,x,),，,如果广义积分,存在，则称该积分为随机变量,的,方差,，记作,否则，称,的数学期望不存在,，,即,数学期望有以下性质：,（1）,E,(,c,)=,c,，,其中,c,为常数；,（2）,，,其中,c,为常数；,（3）,（4）,如果,相互独立，则,方差有以下性质：,（1）,（2）,，,其中,c,为常数；,（3）,，,其中,c,为常数；,（4）,如果,相互独立，则,二、进一步练习,练习1,已知,在,a,b,上服从均匀分布，即,，,解,求,.,因为,，即,的密度函数为,所以,7.4.,3,常见随机变量的数学期望和方差,一、概念和公式的引出,0-1分布,设,服从0-1分布，则,二项分布,设,，则,泊松分布,设,，则,均匀分布,设,，则,正态分布,设,，则,特别地，当,时，,一、概念和公式的引出,7.4.,4,随机变量函数的数学期望和方差,一、概念和公式的引出,二、进一步的练习,一、概念和公式的引出,和方差可按下列公式计算,如果,是离散型随机变量，且分布列为,设,是,的函数，随机变量,的数学期望,，则,如果,是连续型随机变量，且密度函数为,，则,二、进一步练习,练习,1,设,的分布列为,2,1,0,1,1/4,1/8,1/2,1/8,的数学期望,求,解,由离散型随机变量函数的数学期望的公式，有,练习,2,飞机受力,设风速,v,在（,0,，,a,）,上服从均匀分布，即密度函数为,又设飞机机翼所受的正压力,W,是,v,的函数，,W,=,kv,2,(,k,0),求,W,的数,学期望。,解,由连续型随机变量函数的数学期望，有,练习,3,解,设随机变量,相互独立，且,求,，,已知,于是,