第五章一节基本概念.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 二次型,本章主要内容,一、基本概念,二、二次型的标准形和规范形,三、二次型和对称矩阵的有定性,第一节 基本概念,一,、,二次型及其矩阵,定义,5.1,含有,n,个变量 的二次齐次多项式,称为一个,n,元二次型,，简称,二次型,。,利用求和符号，,n,元二次型可记为,(5.1),其中,当 为实数时，称 为,实二次型,；,当 为复数时，称 为,复二次型,；,如果记,其中 则二次型,(5.1),可写成,(5.2),这里,A,称为,二次型,的矩阵,，矩阵,A,的秩,(,A,),称为该,二次型的秩,。,由此可知，二次型矩阵,A,是,n,阶实对称矩阵。反之，对任意,一个实对称矩阵,A,，可由 唯一确定一个,n,元二次型。,即,n,元二次型与,n,阶实对称矩阵之间具有一一对应关系。,例,1,设二次型,求二次型的矩阵,A,和二次型的秩。,解,二次型的矩阵,A,是一个对称矩阵，其对角线上元素,应是二次型中完全平方项 的系数；,非主对角线元素 恰为二次型中,系数的一半。,因此，二次型的矩阵为,二次型的秩就是其矩阵,A,的秩，对,A,施以初等行变化，有,故,r,(,A,)=3.,二次型 的秩等于,3.,例,2,求二次型,的矩阵,A,和二次型的秩，其中 不全为零。,解法,1,二次型,所以二次型的矩阵,矩阵,A,的各行对应元素成比例，可知,r,(,A,)=1,，故二次型的秩是,1,。,解法,2,所以二次型,f,的矩阵,利用,3.4,中的例,12,，有,由于 可知,记矩阵 则,所以 即二次型的秩等于,1,。,例,3,设对称矩阵,求,A,所对应的二次型,解,设 则,二、线性变换,定义,5.2,设两组变量 和 间具有下述关系：,则,(5.3),称为由 到 的一个,线性变换,。,记,则,(5.3),所表示的线性变换可以写成矩阵形式：,矩阵,C,称为,线性变换,(5.3),的矩阵,。,如果线性变换,(5.3),的矩阵,C,为正交矩阵，则此变换称为,正交变换,。,如果线性变换,(5.3),的矩阵,C,可逆，则,(5.3),称为,可逆线性,变换,，而 称为,(5.3),的,逆变换,；,例,4,平面解析几何中的坐标旋转变换,是一个线性变换，其矩阵形式为,此线性变换的矩阵,又 可知,C,是正交矩阵，,所以坐标旋转变换是一个正交变换。,因为,所以这是一个可逆线性变换。,三、矩阵合同,如果对二次型,(,其中,),进行可逆,线性变换 ，则,其中,定理,5.1,二次型,(,其中,),经过可逆线,性变换 ，就得到以,B,为矩阵的,n,元二次型 ，并且,两个二次型的秩相等。,例,5,设二次二元型,二次型,f,的矩阵,作可逆线性变换 其中,则,记矩阵 则,二次型,和 的矩阵,A,和,B,满足 ，,这种关系称两个矩阵合同。,定义,5.3,设,A,，,B,为两个,n,阶矩阵，如果存在可逆矩阵,C,，使得,则称,A,和,B,合同,，或,A,合同于,B,，记为,定理,5.1,二次型,(,其中,),经过可逆线,性变换 ，就得到以,B,为矩阵的,n,元二次型 ，其中,，且,矩阵的合同关系具有下述关系：,性质,1,(,反身性,),对任意,n,阶矩阵,A,，有,性质,2,(,对称性,),如果 ，则,性质,3,(,传递性,),如果 则,