第三讲 个体的风险态度及其度量.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,金融经济学之三,个体的风险态度及其度量,山东科技大学经济与管理学院 张建刚,本讲教学目的和要求,1.,了解和掌握如何界定不确定条件下不同经济行为主体风险态度的类型；,2.,掌握三种不同风险态度的经济行为主体效用函数的性质；,3.,掌握,确定性等价,和,风险溢价,的含义及其计算方法；,4.,从定义和性质等各方面区分,绝对风险厌恶度量,和,相对风险厌恶度量,；,5.,掌握具有,线性风险容忍系数,的几个效用函数的形式及其性质；,6.,了解不同,随机占优,的假设及其充分必要条件。,2,一、风险态度,1.,问题的提出,现实观察：,经济行为主体对待风险的态度是,存在差异的。热衷冒险的人会在等待不确定性结,果中获得刺激而兴奋不已；大多数的行为主体则,认为风险是一种折磨，尽可能地回避风险；而另,一些人对风险可能采取一种无所谓的态度。,如何通过效用函数描述不同经济主体对待风险,的态度？,3,通常可以从两个方面来刻画：,（,1,）观察经济行为主体面对公平博彩时的行为,选择，即是愿意确定性地接受一个公平博彩的期,望价值还是宁愿接受这个博彩本身及其不确定性,的结果。,（,2,）经济行为主体愿意付出多少价值来避免蕴,含在这个博彩中的风险。或者说，让经济行为主,体参与这个博彩行为需要多少风险溢价补偿。,4,基本假设,在讨论风险态度之前，我们先要将一个基本的假设：,在不确定性经济中，投资者都尽可能最大化自己的期望效用。,5,投掷硬币的游戏,如果一个简单的投掷硬币的赌局，硬币的正反面不是完全对称的，投掷结果正面朝上的概率为,p,，反面朝上的概率就是,1-p,。如果正面朝上有正的收益 ，反面朝上有负的收益 。,而如果有 ，也就是说，预期收益（平均收益）为,0,，则这个赌局称为公平博彩。,6,2.,公平博彩（,Fair Game,）,公平博彩是指不改变个体当前期望收益的赌,局，如一个博彩的随机收益为,，其期望收益,为 ，我们就称其为公平博彩。,当然，既然是博彩，通常隐含地假设其收益,的方差大于零，即其收益不会是确定值零。,或者公平博彩是指一个博彩结果的预期收益,只应当和入局费相等的博彩。,7,我们将满足下式的博彩 ，称为一个,公平博彩：,8,3.,风险态度的描述,公平博彩不改变个体原来的期望收益，但它,提供了个体增加或减少原来收入的机会。,风险厌恶者：如果经济主体拒绝接受公平博,彩，这说明该个体在确定性收益和博彩之间更偏,好确定性收益，我们称该主体为风险厌恶者。,风险偏好者：如果一个经济主体在任何时候都,愿意接受公平博彩，则称该主体为风险偏好者。,9,定义：,u,是经济主体的,VNM,效用函数，,W,为个体的初始禀赋，如果对于任何,的随机变量 ，有,10,则称个体是（严格）,风险厌恶,（,risk,aversion,）；如果上述不等号方向相反，则称个,体是,风险偏好,（,risk loving,）；如果两边相等，,则称个体是,风险中性,（,neutral,）。,11,对于一个具有效用函数为,U,和初始禀赋为,W,的经济主体，如果他不参加博彩，则其效用为,U,（,W,）。如果他愿意参加博彩，则他有,p,的概率,消费 ，,1-p,的概率获得 ，因此，他的期望效用为,根据我们对风险厌恶者的定义，对于一个风,险厌恶的经济主体而言，我们有：,12,由于,所以，上述不等式可改写为：,即：,13,这表明，风险厌恶的经济主体偏好未来收益,分布的期望值，而不是未来收益分布本身。即对,于风险厌恶的经济主体而言，,确定性收益（数学,期望值）的效用大于效用的期望值,。,基于这一性质，我们认为，,风险厌恶者的效用,函数为凹函数,。,14,U(x,),x,A,B,C,风险厌恶者的效用函数,15,同样地，我们可以得到风险偏好者和风险中性,者的效用函数的特征。,对于风险偏好者而言，我们有：,且其效用函数为凸函数。,16,x,风险偏好者的效用函数,B,A,C,U(x,),17,对于风险中性者而言，我们有,其效用函数为线性效用函数。,x,U(x,),18,4.,效用函数的凸凹性的局部性质,经济行为主体效用函数的凸凹性实际上是一种局部性质。即一个经济主体可以在某些情况下是风险厌恶者，在另一种情况下是风险偏好者。,弗里德曼,-,萨维奇（,1948,）解释了这种现象。他们认为，效用函数是几个不同的部分组成。在人们财富较少时，部分投资者是风险,厌恶的；随着财富的增加，投资者对风险有些漠不关心；而在较高财富水平阶段，投资者则显示出风险偏好。,19,K,L,N,V(c),c,V,0,复合型的风险偏好,20,二、风险厌恶的度量,1.,确定性等价与风险溢价,确定性等价（,certainty equivalence,）,是指经济行为主体对于某一博彩行为的支付意,愿。即与某一博彩行为的期望效用所对应的数学,期望值（财富价值）。,风险溢价（,risk premium,）是指风险厌恶者,为避免承担风险而愿意放弃的投资收益。或让一,个风险厌恶的投资者参与一项博彩所必需获得的,风险补偿。,21,即如果个体为回避一项公平博彩而愿意放弃,的收益为,，则我们有：,这里，为公平博彩的随机收益（即报酬的微,小增量），,W,为初始禀赋，,被称之为马科维茨,风险溢价。其值越大表明经济主体风险厌恶的程,度越高。而,W-,为确定性等价收益。,22,泰勒级数,泰勒定理,若,函数,f,(,x,),及其,导数,f,f,f,(,n,),在,c,d,区间均为连续函数,，,a,c,d,，且,对,所有,t,(,c,d,),导数,f,(,n,+1),(,t,),存在，,对,任意,x,c,d,23,2.,风险厌恶系数,对于风险很小的公平博彩行为，也即预期收益为,0,且,预期收益的方差很小的博彩行为，如果效用函数是二次连,续可微的，我们可对上述等式的两边在,W,做泰勒级数展,开。,这里，,Re,为高阶余项，由于是风险很小的公平博彩，,所以，,Re,可省略。由此，我们可以得到,24,由风险溢价的定义可得：,上式的右边由两个部分构成：是体现个,体偏好的因素，而,Var(,),则是公平博彩随机收益的方,差，体现不确定性风险。将随具体博彩的,因素除去，留,25,下仅反映个体主观因素的部分，我们可以得到一个比风险,溢价更为一般的风险厌恶测度指标：,经济学家普拉特（,Pratt,1964,）和阿罗（,Arrow,1970,）分别证明了在一定的假设条件下，,反映经济主体的效用函数特征的 可以用来度量经济,主体的风险厌恶程度。,26,因此，我们将 称为经济主体的阿罗,-,普拉特,绝对风险厌恶系数,（,Arrow-Pratt absolute risk aversion,）,对于小的风险来说，绝对风险厌恶是投资者风险厌恶倾向的一种度量。投资者的绝对风险厌恶系数越大，所要求的风险补偿也就越大；反之亦然。,绝对风险厌恶系数不仅依赖于效用函数，它也依赖于财富水平,W,。,27,在金融理论中，我们时常需要相对测度量，如证券投资,者关心的一般不是以多大的概率获得多少绝对收益，而是,以多大概率获得百分之几的收益。相应地，我们可以推导,出个体的相对风险测度。事实上，要得到相对意义上的风,险溢价，只需要将绝对风险厌恶系数的两边除以个体的初,始禀赋即可：,28,Var,（,/W,）是公平博彩相对收益的方差，另,一部分,称为个体的阿罗,-,普拉特,相对风险厌恶系数,（,Arrow-,pratt,relative aversion,）。,29,同样地，我们定义阿罗,-,普拉特绝对风险厌恶系,数的倒数为个体的,风险容忍系数,（,risk tolerance,），,即,T,（,W,）越大表示个体能够容忍的风险越大，反之则,反。,30,三、风险厌恶度量的性质,绝对风险厌恶系数主要考察在初始财富相同的条件,下，具有不同风险厌恶程度的经济主体的风险行为特点。,而相对风险厌恶系数，则主要考察经济行为主体随个人财,富或消费收益的变化，对风险资产投资行为的变化。,31,1.,相同财富水平下的经济主体风险厌恶的度量,对于具有相同财富水平的经济主体，我们可以用三种,不同的方法来比较两者之间的风险厌恶程度：,（,1,）绝对风险厌恶度量,对于任意给定的初始财富水平,W,，如果下式成立，则,表明经济主体,i,比经济主体,j,更加厌恶风险：,32,（,2,）风险溢价度量,对于任意给定的初始财富水平,W,，为避免相同的风险，,如果经济主体,i,比经济主体,j,需要更多的风险溢价补偿，则,经济主体,i,比经济主体,j,更厌恶风险：,（,3,）效用函数的曲率,从几何上看，绝对风险厌恶系数代表了效用函数的曲率,（弯曲程度），如果经济主体,i,较经济主体更加厌恶风险，,33,则表明，经济主体,i,有比经济行为主体,j,更加凹的效用函数。更确切地讲，经济行为主体,i,的效用函数,是经济行为主体,j,的效用函数 的一个凹变换，即存在,一个递增的、严格凹的函数,G(),，使得,对于任意的,W,都成立。,34,（,4,）普拉特定理,假设 是两个二次可微、严格单调递增的效,用函数，则以下三种表述是等价的：,（,1,）对所有的,W,，有 ；,（,2,）存在一个严格单调递增和严格凹的二阶可微函数,G(),，使得,；,（,3,）,任何公平博彩,对经济主体,i,的风险溢价较经济主体,j,的风险溢价高，即,35,2.,风险厌恶与财富水平,在经济主体的财富水平发生变化时，仅仅区别投资者的,风险态度是不够的，还需要考察经济行为主体随个人初始,财富水平的变化而对风险资产投资数量的变化。即考察投,资者是将风险资产看成是正常品还是劣等品。,36,（,1,）定义,如果经济主体的绝对风险厌恶系数 是严格递减的函,数，即 ，则这类经济行为主体是,递减,绝,对风险厌恶的；类似地，如果 ，则称,这类经济主体为,递增,绝对风险厌恶的。如果,则称这类经济行为主体是,常数,绝对风险厌恶的。,37,（,2,）阿罗,-,普拉特定理,对于递减绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的,增加，其对风险资产的投资逐渐增加，即他视风险资产为,正常品；对于递增绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财,富的增加，他对风险资产的投资减少，即他视风险资产为,劣等品；对于常数绝对风险厌恶的经济行为主体，他对风,险资产的需求与其初始财富的变化无关。,38,（,3,）相对风险厌恶的性质定理,对于,递增相对风险厌恶者,，风险资产需求的财富弹性小于,1,（即随财富的增加，投资于风险资产相对于财富的比例下降），对于,不变相对风险厌恶者,，风险资产需求的弹性等于,1,，对于,递减相对风险厌恶者,，风险资产需求的财富弹性大于,1,（即随财富的增加，投资于风险资产相对于财富的比例上升）。,财富弹性,：随着财富的增加，投资于风险资产的比例相对于财富的增加而减少（不变，增加）。,39,究竟现实中的投资者属于哪种风险厌恶类型？,普遍接受的看法是，大多数人具有递减绝对风险厌恶系数和不变相对厌恶系数，这反映了大多数投资者的投资行为。,但也有人认为具有递减绝对风险厌恶系数，递减相对风险厌恶系数也许更能反映大多数人投资者的行为,.,40,四、几种常用的效用函数,下面讨论一些金融学中经常用到的效用函数。需要说明的是，在实际中每个人的效用函数肯定不会采取如此标准的数学形式，但它们在理论上很有用，尤其是可以用来刻画上述风险厌恶的性质。,风险中性情况,负指数效用函数,二次效用函数,幂效用函数,对数效用函数,双曲线风险厌恶模型,41,4.1,风险中性（,risk neutral,）情况,显然有,风险中性的参与者对风险采取完全无所谓的态度，或者说风险中性的风险容忍是无穷的。,42,4.2,负指数效用函数,此时，有,很明显，负指数效用函数具有常数绝对风险厌恶（,constant absolute risk aversion,），有时也记做,CARA,效用函数，它的相对风险厌恶随着财富的增加而增加。,43,4.3,二次效用函数,此时，有,具有二次效用函数的人来说，风险对于他（她）来说好比是劣质商品，随着自己财富的增加，对风险的厌恶会变大。,44,注意：,拥有这种效用函数的个体在投资风险资产时只考虑资,产的期望收益和方差，依此为基础资本资产定价模型得到,了风险资产定价的线性表达式。,但二次函数作为效用函数存在局限性：超过一定的财富,水平后，个体收入的边际效用为负值。,对前述式中的二次函数中的财富,W,求导：,因此，只有,W,在,0,，,1/a,时，个体的边际效用才会,大于零。,45,4.4,幂效用函数,此时，有,相对风险厌恶是常数，所以这种效用函数被称为常数相对风险厌恶（,constant relative risk aversion,CRRA,）。,46,4.5,对数效用函数,此时，有,相对风险厌恶也是常数，也属于常数相对风险厌恶类（,constant relative risk aversion,CRRA,）。,47,4.6,双曲线绝对风险厌恶（,HARA,）,此时，有,当参数取各种特定数值时，,HARA,刻画的风险厌恶情况就变成了以上,5,个特例。,48,风险中性的情况：取,二次效用函数情况：取 即可，此时,负指数效用函数情况,:,令,幂效用函数的情况：取,对数效用函数情况：取,49,五、随机占优,1.,问题的提出,设 为我们考虑的消费计划集合，消费计划,是一个随机变量。同样地，我们可以设,J,是我们考,虑的证券市场上的风险证券的集合，证券,jJ,有一,个随机未来收益。,在人们所拥有的信息只是知道经济行为主体非,饱和或风险厌恶的情况下，人们在什么样的条件,下可以确定地认为，某一经济行为主体偏好某一,50,消费计划而放弃另一种消费计划，或者偏好某一,风险证券而放弃另一风险证券？,随机占优（,stochastic dominance,）可,以用于比较消费计划集合中或者证券市场上风险,证券集合中任意两个元素的风险程度。但是，这,个概念并不同于我们比较任何两种消费计划或任,何两个风险证券本身，因为它在消费计划集合或,风险证券集合中并没有定义一个完全的顺序关系。,51,2.,一阶随机占优（,A first degree stochastic dominates,）,假设存在这样的一群经济行为主体，他们对于,财富或消费的效用函数是连续的增函数，如果所,有这些行为主体对于风险资产,A,和,B,的选择都是选,择,A,而放弃,B,或者觉得,A,与,B,无差异，那么，我们,可以认为，风险资产,A,一阶随机占优于风险资产,B.,我们用 来表示,A,一阶随机占优于,B,。,52,即对于任何给定的收益率水平，风险资产,A,的收益率大于这个给定水平的概率至少要同风,险资产,B,的收益率超过同样水平的概率一样,大。这样，任何非饱和的经济行为主体将会选,择,A,而非,B,。,假定风险资产,A,和,B,的未来收益率落在区间,0,，,1,中。令 分别代表风险资产,A,和风,险资产,B,的收益率的累积分布函数。如果,53,54,成立，则风险资产,A,一阶随机占优风险资产,B,。,即对于任意一个给定的收益率,x,，风险资产,A,的收,益率小于等于,x,的概率比风险资产,B,的概率小。或,者说，风险资产,A,的收益率大于,x,的概率比风险资,产,B,的收益率大于,x,的概率大。,设,u(),为任意的一个连续的递增效用函数，同时,不失一般性，假设经济主体有一个单位的初始财,富。如果经济主体在风险证券,A,和,B,上投资，,55,则上述不等式意味着：,成立。,56,一阶随机占优的另一个特点是，如果风险资产,A,在未来收益率的分布上等于风险资产,B,的未来收,益分布加上一个正值的随机变量,，那么，所有,具有增效用函数的经济主体将会选择,A,而放弃,B,，,因为，对于所有增函数的,u(),存在着,57,即：如果 ，那么，就存在一个正的随机变量,使得：,成立。其中 表示等式左边在分布上等于右边。,也即，等式左边的随机变量与等式右边定义的随机,变量取相同值的概率是相同的。,58,所以，一阶随机占优反映的是两个风险资产收,益率，特别是期望收益的占优。其收益率分布满,足的条件为下列叙述是等价的：,59,3.,二阶随机占优（,A second degree stochastic dominates,）,对于风险厌恶的经济行为主体，如果他对风,险资产,A,和风险资产,B,的选择是选择,A,而放弃,B,或,者觉得,A,和,B,无差异，那么，我们就认为，资产,A,二阶随机占优于证券,B,。我们用 表示。其充,分必要条件是,60,61,条件三意味着，风险资产,B,的未来收益在分布上等,于风险资产,A,的未来收益加上一个随机干扰项。,上述分析表明，二阶随机占优是相对于两个期,望收益率相等的风险资产的风险比较。,62,4.,二阶单调随机占优,如果所有非饱和的风险厌恶经济主体都选择,风险证券,A,而放弃风险证券,B,，则我们称风险证券,A,二阶单调随机占优风险证券,B,，我们用,表示。,其充分必要条件为：,63,