八年级数学因式分解.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,因式分解,教学目标：,1.,掌握提取公因式法，公式法等因式分解的方法，能把简单多项式分解因式。,2.,提高分解因式的基本技能。,3.,培养思维有序，分析问题，解决问题的良好思维品质。,教学重难点：,1.,理解分解因式的意义。,2.,掌握分解因式的步骤。,3.,灵活运用分解因式的方法,一。下列哪些式子的变形是分解因式？,1.y,2,-1=(y+1)(y-1),2.2(a+b)=2a+2b,3.4x,2,-y,2,=(2x+y)(2x-y),4.x,2,-y,2,-1=(x+y)(x-y)-1,5.x,2,-4xy+4y,2,=(x-2y),2,因式分解的定义：,把一个多项式化成几个整式的,积,的形式叫做多项式的因式分解。,你学过分解因式的哪些方法呢？,a.,提公因式法,（将多项式各项系数的,最大公约数,，相同因式的,最低次幂提出,）,b.,运用公式法：,平方差公式：,a,2,-b,2,=(,a+b)(a-b,),完全平方公式：,a,2,+2ab+b,2,=(a+b),2,a,2,-2ab+b,2,=(a-b),2,典例剖析,一,.,将下列多项式分解因式。,1.7x,2,-63,解,:,原式,=7(x,2,-9),提公因式,=7(x+3)(x-3)2.,平方差公式法,2.a,4,-8a,2,+16,解,:,原式,=,（,a,2,-4),2,完全平方公式法,=,(a+2),2,(a-2),2,2.,平方差公式法,1.2.,题完成了第一步已经将多项式分解成几个整式积的形式，为什么还要进行第,2,步呢？分解因式的基本步骤到底是怎样？（分组讨论）,因式分解的步骤：,首先考虑是否有公因式提（,提取公因式法,），然后考虑用,公式法,，两种方法反复试，结果必是连乘式。,注意：,由,1.2,例题可知：分解因式一定要分解到不能再分为止，而且相同因式要写成幂的形式，如：（,a-,b)(a-b,),要写成（,a-b),2,1,，下列多项式中哪项能用提公因式法分解因式（,）,A.2x-y B.x,2,+2x C.x,2,+2y D.x,2,+xy+2y,B,现场练兵,一,.,将下列各式分解因式。,1.a,2,-9,解,:,原式,=,（,a+3)(a-3),2.2y,2,-4y+2,解,:,原式,=2(y,2,-2y+1),=2(y-1),2,3.a,2,-ab+ac,解,:,原式,=,a(a-b+c,),4.a,3,+2a,2,+a,解,:,原式,=a(a,2,+2a+1),=a(a+1),2,二,.,分解因式与代数求值。,1.,已知,a+b,=7,ab=6,求,a,2,b+ab,2,的值,解,a,2,b+ab,2,=,ab(a+b,),分解因式,=67=42,代入已知代数式的值求值,中考名题欣赏,（,我最棒！）,1,、（,2008,年，陕西,）：,分解因式,X,2,-4,2,、（,2007,年，南京,）：,分解因式,3X,2,-3,3,、（,2008,年，青海,）：,分解因式,x,2,y+4xy+4y,3(x+1)(x-1),(x+2)(x-2),Y(X+2),2,开放题,4,、（,2008,年，恩施,）：,请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式。,X,2,-4xy+4y,2,x,2,-4y,2,x-2y,挑战自我 我能行！,请同学们谈谈这节课你有什么收获？学习分解因式这节内容你还有哪些困惑？,小结：,1.,熟悉因式分解的两种基本方法，熟练掌握公式法的两个公式。,2.,掌握分解因式的基本步骤，先考虑是否有公因式提，再考虑是否可以用公式法，两种方法反复试，最后必是几个整式连乘。,3.,特别注意，分解因式要分解到不能分为止。,新人教版数学八年级上学期多媒体课件,15.5.2.1,：利用平方差分解因式,问题,:,什么叫多项式的因式分解,?,判断下列变形过程，哪个是因式分解？,(1)(x-2)(x-2)=x,2,-4,(2)x,2,-4+3x=(x+2)(x-2)+3x,(3)7m-7n-7=7(m-n-1),(4)4x,2,-=(2x+)(2x-),9y,2,1,3y,1,1,3y,问题：,你学了什么方法进行分解因式？,提公因式法,把下列各式因式分解：,(1)ax-ay,(2)9a,2,-6ab+3a,(3)3a(a+b)-5(a+b),(4)ax,2,-a,3,(5)2xy,2,-50 x,=a(x y),=3a(a-2b+1),=(a+b)(3a-5),=a(x,2,-a,2,),=2x(y,2,-25),=,a(x+a)(x,-a),=2x(y+5)(y-5),平方差公式：,(,a+b)(a-b,)=a,-b,a,-b,=(,a+b)(a-b,),整式乘法,因式分解,两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积,明察秋毫,下列多项式能否用平方差公式来分解因式？,(1)x,2,+y,2,(2)x,2,-y,2,(3)-x,2,+y,2,(4)-x,2,-y,2,(2)(3),能，,(1)(4),不能,(1)1-25b,2,=1,2,-(5b),2,=(1+5b)(1-5b),(2)x,2,y,2,-z,2,=(xy),2,-z,2,=(,xy+z)(xy-z,),(4)-9+16a,2,=16a,2,-9,=(4a),2,-3,2,=(4a+3)(4a-3),融会贯通,因式分解：,、,a,4,+16,2,、,4(a+2),2,-9(a-1),2,3,、,(x+y+z),2,-(x-y-z),2,4,、,(a-b),n+2,-(a-,b),n,把下列各式分解因式,x,2,y,2,1,m,2,a,2,b,2,x,2,y,2,9,16x,2,x,2,9y,2,4x,2,9y,2,0.09a,2,4b,2,0.36x,2,y,2,x,4,y,2,x,2,y,2,z,2,(12)x,2,(x,y),2,(13)9(x,y),2,y,2,(14)(x,2y),2,(2x,y),2,(15)16(a,b),2,9(a,b),2,(16)(a,2,b,2,),2,a,2,b,2,显显身手,综合运用,3,、设,n,为整数，用因式分解说明,(2n+1),2,-25,能被,4,整除。,4,、若,a,、,b,、,c,是三角形的三边长且满足,(a+b),2,-(a-c),2,=0,，则此三角形是（）,A,、等腰三角形,B,、等边三角形,C,、直角三角形,D,、不能确定,1,、运用简便方法计算：,1,、,2003,2,9,2,、（,1-,）（,1-,）（,1-,）,（,1-,）（,1-,）,1,2,2,1,3,2,1,4,2,1,9,2,1,10,2,思考探索,观察下列各式：,19=-8,4-16=-12,9-25=-16,16-36=-20,（,1,）把以上各式所含的规律用含,n(n,为正整数）的等式表示出来。,（,2,）按照,（,1,）中的规律，请写出第,10,个等式。,本节课你有什么收获？有何疑惑？你对老师又有何建议呢？,你说，我说，大家说！,因式分解,提公因式法,学习,回忆,运用前面所学的知识填空：,把下列多项式写 成乘积的形式,都是多项式化为几个整式的积的形式,(1)ma+mb+mc=()(),(2)x,2,-1=()(),(3)a,2,+2ab+b,2,=(),2,(1)m(a+b+c)=,(2)(x+1)(x-1)=,(3)(a+b),2,=,ma+mb+mc,x,2,-1,a,2,+2ab+b,2,m a+b+c,x+1 x-1,a+b,探究,观察,“,回忆,”,与,“,探究,”,，你能发现它们之间的联系与区别吗？,把,一个,多项式化为,几个,整式,的,乘积,的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式,因式分解,，也叫做把这个多项式,分解因式,。,定义,X,2,-1 (x+1)(x-1),因式分解,整式乘法,X,2,-1=(x+1)(x-1),等式的特征：左边是,多项式,，右边是,几个整式的乘积,初步应用 巩固新知,在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（）,2,多项式中,各项,都含有的,相同因式,，叫做这个多项式的,公因式,。,相同因式,m,这个多项式有什么特点？,例,:,找,3 x,2,6 xy,的公因式,。,系数：最大,公约数。,3,字母：相同的字母,x,所以，公因式是,3x,。,指数：相同字母的最低次幂,1,正确找出多项式各项,公因式,的,关键,是,：,1,、,定系数,：,公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。,2,、,定字母,：,字母取多项式各项中都含有的相同的字母。,3,、,定指数,：,相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂,你知道吗？,找一找,:,下列各多项式的,公因式,是什么？,（,3,）,（,a,）,（,a,2,）,（,2(m+n),）,（,3mn,）,（,-,2xy,）,(1)3x+6y,(2)ab-2ac,(3)a,2,-a,3,(4)4(m+n),2,+2(m+n),(5)9 m,2,n-6mn,(6)-6 x,2,y-8 xy,2,如果一个多项式的各项含有公因式，那么,就可以把这个公因式提出来，从而将多项式,化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的,方法叫做,提公因式法,。,(a+b+c ),ma+mb+mc,m,=,(1),8a,3,b,2,+12ab,3,c,例,1,:,把下列各式分解因式,分析：提公因式法步骤（分两步）,第一步,:,找出公因式；,第二步,:,提取公因式，,即将多项式化为两个因式的乘积。,(2)2a(b+c)-3(b+c),注意：,公因式,既可以是一个,单项式,的形式，,也可以是一个多项式的形式,整体思想,是数学中一种重要而且常用的思想方法。,小明解的有误吗？,把,12x,2,y+18xy,2,分解因式,解：原式,=,3xy(4x+6y),错误,公因式没有提尽，还可以提出公因式,2,注意：,公因式要提尽。,诊断,正确解：,原式,=6xy(2x+3y),小亮解的有误吗？,当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是,1,。,错误,注意：,某项提出莫漏,1,。,解：原式,=x(3x-6y),把,3x,2,-,6xy+x,分解因式,正确解：,原式,=3x,.,x-6y,.,x+1,.,x,=x(3x-6y+1),小华解的有误吗？,提出负号时括号里的项没变号,错误,诊断,把,-x,2,+xy-xz,分解因式,解：原式,=,-x(x+y-z,),注意：,首项有负常提负。,正确解：,原式,=,-,(x,2,-xy+xz),=,-,x(x-y+z),看你能否过关,？,把下列各式分解因式：,(1)8,m,2,n+2mn,(2)12xyz-9x,2,y,2,(3)p(a,2,+b,2,)-q(a,2,+b,2,),(4),-x,3,y,3,-x,2,y,2,-xy,例,2,把,12b(a-b),2,18(b-a),3,分解因式,解：,12b(a-b),2,18(b-a),3,=12b(a-b),2,+18(a-b),3,=6(a-b),2,2b+3(a-b),=6(a-b),2,(2b+3a-3b),=6(a-b),2,(3a-b),练习：,(x-y),2,+y(y-x),(1),13.80.125+86.21/8,(2),已知,a+b=5,ab=3,求,a,2,b+ab,2,的值,.,解：原式,=13.80.125+86.20.125,=0.125(13.8+86.2),=0.125100,=12.5,解,:,a,2,b+ab,2,=ab(a+b)=3,5=15,巧妙计算,智力抢答,99,99,+,99,=259,=9900,（,1,）,99,2,99,（,2,）,=99,(99+1),2,、确定公因式的方法,：,小结,3,、提公因式法分解因式步骤,(,分两步,),：,1,、什么叫因式分解？,(1),定系数,(2),定字母,(3),定指数,第一步，找出公因式；,第二步，提取公因式,.,4,、提公因式法分解因式应注意的问题：,（,1,）公因式要提尽；,（,2,）小心漏掉,1;,（,3,）提出负号时,要注意变号,.,记住哟！,综合闯关：,1,、计算（,-2,）,101,+,（,-2,）,100,2,、已知,求代数式 的值。,讨 论,问题,1,：,630,能被哪些数整除？说说你是怎样想的？,问题,2,：,a=101,b=99,时，求,a,2,b,2,的值。,回顾与思考,知识结构,分解因式,分解因式与整式乘法的关系,分解因式的,两种方法,分解因式的,应用,提公因式法,公式法,回 顾 与 思 考,1,、举例说明什么是分解因式。,2,、分解因式与整式乘法有什么关系？,3,、分解因式常用的方法有哪些？,把一个多项式化为几个整式乘积的形式叫做多项式的因式分解。,多项式的乘法与多项式的因式分解是互逆运算，都是多项式的重要变形，这两种变形都有着广泛的应用。,（,1,）提取公因式法；,（,2,）运用公式法；,正确理解因式分解的要求，会判断一个变形是不是因式分解，会判断分解得的因式是否能继续再分解，从而得到因式分解的正确结果。,会正确判定多项式的公因式，会用提取公因式的方法分解的公式。,熟记乘法公式，理解乘法公式的逆向应用就是因式分解的公式。,4,、灵活运用某些重要的数字思想方法（如，换元法）。提高观察问题、分析问题、解决问题的能力。,基 础 训 练,一、填空：,1,=,+,+,mc,mb,ma,()(),2,=,+,-,2,2,4,12,9,b,ab,a,（,3a-2b,）,2,3,=,-,2,2,9,y,x,（,）（,）,二、,判断正误。,1.,-,-,+,=,-,-,+,3,6,12,3,2,4,3,2,2,2,mx,mx,mx,mx,x,x,(,),2.,0,4,1,0,2,1,0,2,1,2,.,(,.,)(,.,),a,a,a,-,=,+,-,3.,(,)(,),(,)(,),(,)(,),a,b,m,b,a,m,a,b,m,-,-,-,-,+,=,-,+,2,3,2,1,4.,(,),(,),-,+,-,=,-,2,2,-2,1,m,m,-,m,a+b+c,x+3y,x-3y,V,课 堂 测 试,1.,下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是,A.,B.,C.,D.,2,下列因式分解正确的是（）,A.,B.,C.,D.,B,D,是完全平方式，,则,m,的值为（）,A.-1 B.7 C.1D.7,或,-1,C,D,6,、,(x-1)(x-3)+1,能分解因式吗？,C,强 化 练 习,一把下列多项式因式分解,二、利用分解因式解决问题,.,b,-,a,b),-,(a,b,-,a,b,-,a,2,2,2,+,2,、当,a=3,b=2,时，求,的值,.,1.,两个连续整数的平方是奇数吗？为什么？,3,、利用分解因式说明：,能被那些数整除。,5.,计算：,因式分解,提取公因式法,如何简便计算,把一个多项式化为几个整式的,乘积,形式，就叫做把这个多项式,因式分解,特征,:,1,、等号左边是一个多项式；,2,、等号右边是几个整式积的形式,下列从左边到右边的变形中，是,因式分解的是,:(),(1)(,x+2)(x-2)=x,2,-4;,(2)x,2,-4=(x+2)(x-2);,(3)ma+mb+c=m(a+b)+c;,(4)x,2,-9+x=(x+3)(x-3)+x;,(5)2ax+4bx=2x(a+2b),因式分解与整式的乘法是什么关系？,因式分解与整式的乘法相反,想,一,想,(),(),(),(),(),试,一,试,吧,(2)(5),多项式,中的每一项都含有一个相同的因式,，我们称之为,公因式,把公因式提出来，多项式,ma+mb+mc,就可以分解成两个因式,m,和（,a+b+c）,的乘积了。像这种因式分解的方法，叫做,提公因式法。,下列各式中各项的公因式是什么？,(3),(4),m,d,x,2,xy,(5),(1),(2),(6),x,3x,2,y,2,试一试，你行,公因式如何确定？,1.,如果公因式是一个单项式，它的系数是各项系数的,最大公约数,，它的字母要取,各项,都有的,相同的,字母，而字母的指数是取,各项中较小,的。,2.,指出下列各多项式中的公因式：,a,2,b,2,3xy,n,(x,2),（,5,）,2a(y,x,）,(x,y),(y,x),或,(x,y),例1 对下列多项式进行因式分解：,“,提公因式法,”,要注意：,公因式要,提尽,；,2 小心漏掉,“,1,”,；,小结：,1,、什么是因式分解？,3,、如何找多项式的公因式？,2,、因式分解与整式的乘法是什么关系？,作业：,、填空：,2.用提公因式法分解因式：,