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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第九模块 计数原理,考 纲 要 求,1.,理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,.2.,能用两个计数原理分析、解决一些简单的实际问题,.3.,理解排列的概念,掌握排列数公式,能用排列知识解决有关的实际问题,.4.,理解组合的意义,掌握组合数公式和组合数的性质、能解决一些简单的实际问题,.,5.,能区别排列与组合的异同,能综合应用排列、组合知识解决一些简单的实际问题,.6.,能用计数原理证明二项式定理,掌握二项式定理及其性质,.7.,能用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题,特别是求二项展开式中特定项及其系数,.,命 题 走 向,1.,两个计数原理和排列、组合与概率联系十分密切,它是求古典型概率、离散型随机变量分布列的基础,是高考的重点内容,统计,2009,年全国及各省市命题,总有一小题是对排列、组合应用的考查,.,对于概率的解答题中,用排列、组合知识作答的占多数,.,2.,二项式定理也是必考内容之一,以小题的形式出现,属于容易题或中档题,主要考查求二项展开式的特定项或二项式系数的性质,.,第五十五讲 计数原理,走进高考第一关 考点关回 归 教 材,1.,分类加法计数原理完成一件事,可以有,n,类办法,在第一类办法中有,m,1,种方法,在第二类办法中有,m,2,种方法,在第,n,类办法中有,m,n,种方法,.,那么,完成这件事共有,N=m,1,+m,2,+m,n,种方法,.,也称加法原理,.,2.,分步乘法计数原理完成一件事需要经过,n,个步骤,缺一不可,做第一步有,m,1,种方法,做第二步有,m,2,种方法,做第,n,步有,m,n,种方法,.,那么,完成这一件事共有,N=m,1,m,2,m,n,种方法,.,也称乘法原理,.,考 点 训 练,1.(2009,全国,),甲组有,5,名男同学、,3,名女同学,;,乙组有,6,名男同学、,2,名女同学,.,若从甲、乙两组中各选出,2,名同学,则选出的,4,个中恰有,1,名女同学的不同选法共有,()A.150,种,B.180,种,C.300,种,D.345,种,答案,:D,2.(2009,北京卷,),用,0,到,9,这,10,个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为,()A.324 B.328C.360 D.648,答案,:B,解析,:,个位数字是,0,时,有,98,个,个位数字是,2,4,6,8,中的一个时,有,88,个,.,适合题意的三位偶数有,98+488=328,个,.,3.(2008,全国,),如图,一环形花坛分成,A,、,B,、,C,、,D,四块,.,现有,4,种不同的花供选种,要求在每块里种,1,种花,且相邻的,2,块种不同的花,则不同的种法总数为,()A.96 B.84C.60 D.48,解析,:A,花坛可种,4,种,则,B,可种,3,种,.,当,C,与,A,种相同的花时,C,有,1,种,D,有,3,种,;,当,C,与,A,种不同的花时,C,有,2,种,D,有,2,种,.,综上可知,共有,43(13+22)=84(,种,).,答案,:B,4.(2008,安徽卷,)12,名同学合影,站成了前排,4,人后排,8,人,现摄影师要从后排,8,人中抽,2,人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,.,则不同调整方法的总数是,(),答案,:C,5.(2009,天津预测,),某书店有,11,种杂志,2,元,1,本的,8,种,1,元,1,本的,3,种,小张用,10,元钱买杂志,(,每种至多买一本,10,元钱刚好用完,),则不同买法的种数是,_.(,用数字作答,),266,解读高考第二关 热点关题型一 分类计数原理,例,1,三边长均为整数,且最大边长为,11,的三角形有多少个、分析,:,在三角形中,两短边长的和大于最长的边,本题可按一边长的取值分类求解,.,解,:,三角形另两边的长分别用,x,y,表示,且不防设,1xy11,要构成三角形,必须,x+y12,当,y,取值,11,时,x=1,2,11,可有,11,个三角形,.,当,y,取值,10,时,x=2,3,10,可有,9,个三角形,.,当,y,取值,6,时,x,也只能取,6,这时只有一个三角形,.,所以,由分类计数原理,共有三角形的个数为,11+9+7+5+3+1=36.,点评,:,应用分类计数原理时,首先要依据题的特点,确定恰当的分类标准,分类应满足,:,完成一件事的任何一种方法,必须属于某一类且仅属于这一类,即各类办法相互独立的,是互斥的,.,变式,1:,已知集合,A=x|xN,且,x10,a,bA,方程,表示焦点在,x,轴上的椭圆,则这样的椭圆的共有,_.,解析,:,由题意知,a,b,只能取,1,2,10,且,ab.,因此可按,a,取,10,9,3,2,分为,9,类,共有适合题意的椭圆,9+8+2+1=45(,个,).,答案,:45,个,题型二 分步计数原理例,2(1),将,4,封信投入,3,个邮箱,有多少种投法,?(2)5,名运动员争夺,4,项冠军,有多少不同的结果,?,解,:(1),由于每封信都有,3,种不同的投法,4,封信全部投入信箱中,共有,3333=81(,种,),不同的投法,.(2),每项冠军都有,5,种不同的结果,因此,5,名运动员争夺,4,项冠军共有,5555=625,种不同的结果,.,点评,:(1),应用分步计数原理时,首先确定分步的标准,分布必须满足,:,完成一件事必须而且只需连续完成这几步,即各个步骤是相互依存的,.,只有各步骤都完成了,这件事才算完成,.,(2),本例中最容易错解得到,4,3,和,5,4,其原因没弄清,“,谁选择谁,”,的问题,.,如第,(1),小题中,先投第一封信有,3,种投法,再投第二封信也有,3,种投法,投第三封、第四封仍有,3,种投法,应分四步完成,.,由分步计数原理共有,3,4,种投法,.,变式,2:5,名高中毕业生推荐报考,3,所重点院校,每人限报且只报一所院校,则不同的报考方法有,()A.10,种,B.60,种,C.125,种,D.243,种,解析,:,每一位高中毕业生都有,3,种选择,因此共有,33333=243,种,.,答案,:D,题型三 分类计数原理与分步计数原理的综合应用,例,3,设集合,U=1,2,3,4,5,选择,U,的两个非空子集,A,和,B,要使,B,中最小的数大于,A,中最大的数,则不同的选择方法共有多少种,第四类有,1,种选法,分两组有,4,种分法,.,综上知,不同的选择方法共有,101+102+53+14=49(,种,).,点评,:,对于较复杂的问题,需两个计数原理合用、一般情况下是先分类再分步,如本例,.,变式,3:,在一块并排,10,垄的田地中,选择,2,垄分别种植,A,、,B,两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求,A,、,B,两种作物的间隔不小于,6,垄,则不同的选择方法共有多少种,?,解,:,按选垄方法分为,3,类,:,第一类,A,、,B,间隔,6,垄,可选,1,和,8,2,和,9,3,和,10,垄,每种选法有,2,种种植方法,.,因此有,32=6,种方法,;,第二类,A,、,B,间隔为,7,垄,可选,1,和,9,或,2,和,10,垄,因此共有,22=4,种方法,;,第三类,A,、,B,间隔为,8,垄,只有,1,和,10,垄,因此只有,12=2,种方法、综上知,共有,6+4+2=12,种选择方法,.,笑对高考第三关 技巧关,穷举法解决排列、组合问题当所涉及问题结果的数目不大时,往往可以采用穷举法来解决,其本质仍是两个计数原理的应用,.,典例某电脑用户计划使用不超过,500,元的资金,购买单价分别为,60,元、,70,元的单片软件和盒装磁盘,根据需要软件至少买,3,张,磁盘至少买两盒,则不同的选购方式有多少种,?,解,:,可分如下几种情况进行列举,:(1),买,3,张软件,余额,500-603=320(,元,),320,可以再买盒装磁盘,2,盒,3,盒,4,盒,有,3,种不同的选购方式,.(2),买,4,张软件,余额,500-460=260(,元,),260,元可以购买,2,盒,3,盒磁盘,有,2,种不同的选购方式,.,(3),买,5,张软件,金额,500-605=200(,元,),200,元只能购买,2,盒磁盘,有,1,种购买方式,.(4),买,6,张软件,余额,500-606=140(,元,),这,140,元还可以购买,2,盒磁盘,有,1,种购买方式,.,综上可知,共有,3+2+1+1=7,种不同的购买方式,.,考 向 精 测,1.,某赛季足球比赛的计分规则是,:,胜一场,得,3,分,;,平一场,得,1,分,;,负一场,得,0,分,.,一球队打完,15,场,积分,33,分,若不考虑顺序,.,该队胜,负,平的情况有,()A.3,种,B.4,种,C.5,种,D.6,种,解析,:,分类穷举法,:,胜,11,场负,4,场,;,胜,10,场,平,3,场,负,2,场,;,胜,9,场,平,6,场,.,共,3,种情况,.,答案,:A,2.,同时抛掷两颗骰子,向上的两个数字之和不小于,10,的情况有,_,种,.,解析,:,列举法,:,甲,乙两个骰子的点数记为,(4,6),(5,5),(5,6),(6,6),(6,5),(6,4),共,6,种,.,6,课时作业,(,五十五,),计数原理,一、选择题,1.,正,12,边形的对角线的条数是,()A.66 B.54C.108 D.132,答案,:B,2.,某电话局的电话号码为,168,若后面的五位数字是由,3,或,8,组成的,则这样的电话号码一共有,()A.20,个,B.25,个,C.32,个,D.60,个,解析,:,每位数字可由,3,或,8,组成的,可分五步完成,每一步都有两种方法,因此共有,2,5,=32(,个,).,答案,:C,3.(2007,全国高度,)5,位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有,()A.10,种,B.20,种,C.25,种,D.32,种,答案,:D,4.(2007,山东高考,),已知集合,A=5,B=1,2,C=1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定不同点的个数为,()A.33 B.34C.35 D.36,答案,:A,5.,某同学逛书店发现了三本喜爱的书,决定至少买其中的一本,则购买方法有,()A.3,种,B.6,种,C.7,种,D.9,种,答案,:C,解析,:,买其中一本有,3,种方法,;,买其中两本有,3,种方法,;,买三本有,1,种方法,因此共有,3+3+1=7(,种,).,二、填空题,6.,某同学把英语单词,“,book,”,的顺序写错了,则可能出现的错误有,_,种,.,解析,:4,个字母的全排列有,4!=24,其中有两个相同的字母,o,交换不变,因此共有写法,24 =12(,种,),其中只有一种是正确的,.,故错误的有,11,种,.,11,7.,在书柜的一层上有,6,本书,现要插入,3,本书,且保持原有,6,本书的相对顺序不变,那么共有,_,种不同的排列方法,(,用数字作答,).,解析,:,依次插入第一本,第二本,第三本,共有,789=504(,种,).,504,8.,现要排一份,5,天的值班表,每天有一个人值班,共有,5,个人,每个人可以值多天或不值班,但相邻两天不能同一个人值班,问此值班表有,_,种不同的排法,.,解析,:,先安排第一天,有,5,种排法,以后每天均有,4,种排法,由分步乘法原理得,54444=1280(,种,),1280,9.,甲、乙两个正整数的最大公约数是,60,则甲、乙两数的公约数共有,_,个,.,解析,:60=2,2,35,甲、乙两数的公约数形如,:2,m,3,n,5,p,其中,m0,1,2,n0,1,P0,1.,所以公约数共有,322=12(,个,).,12,三、解答题,10.,在两位自然数中,十位数字大于个位数字的有多少个？,解,:,当十位上的数字分别为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,时,相应的两位数有,1,个,2,个,3,个,4,个,5,个,6,个,7,个,8,、由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有,:1+2+3+4+5+6+7+8=36,个,.,11.,用五种不同的颜色给图中四个区域涂色,每个区域涂一种颜色,.(1),共有多少种不同的涂色方法？,(2),若要求相邻,(,有公共边,),的区域不同色,那么有多少种不同的涂色方法？,解,:(1),由于,1,2,3,4,号区域各有,5,种涂色方法,依分步计数原理知,共有,5555=625,种涂法,.(2),第一类,:1,号与,4,号区域同色时,有,5441=80,种涂法,;,第二类,:1,号与,4,号区域不同色时,有,5433=180,种涂法,.,因此共有,80+180=260,种不同的涂法,.,12.,用,0,1,2,3,4,5,这六个数字,:(1),可以组成多少个三位数,;(2),可以组成多少个数字不允许重复的三位数,;(3),可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数,;(4),可以组成多少个数字不重复的小于,1000,的自然数,.,解,:(1),分三步,:,先确定百位数字,由于,0,不能作百位数字,因此有,5,种选法,十位数字有,6,种选法,个位数字也有,6,种选法,.,由乘法原理知,共组成三位数,566=180(,个,).(2),分三步,:,百位数字有,5,种选法,十位数有,5,种选法,个位数字有,4,种选法,因此所求三位数有,554=100(,个,).,(3),分三步,:,先确定个位数字,从,1,3,5,中选一个,有,3,种取法,再确定百位,有,4,种取法,最后是十位也有,4,种取法,因此,所求的三位奇数共有,344=48(,个,).(4),分三类,:,一位数有,6,个,;,两位数有,55=25(,个,),三位数有,554=100(,个,).,因此小于,1000,的自然数有,6+25+100=131(,个,).,
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