高三数学一轮复习 12-3二项定理课件(北师大版) 课件.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二章 函数与基本初等函数,首页,上页,下页,末页,考纲解读,1,能用计数原理证明二项式定理,2,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题,考向预测,1,本节内容的考查热点是通项公式，可以求指定项，或已知某项，求指数,n,等,2,本节内容的考查通常用选择题、填空题的方式进行,知识梳理,1,二项式定理,(,a,b,),n,C,n,0,a,n,C,n,1,a,n,1,b,1,C,n,2,a,n,2,b,2,C,n,r,a,n,r,b,r,C,n,n,b,n,(,n,N,*,),这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做,(,a,b,),n,的二项展开式，其中的系数,C,n,r,(,r,0,1,2,，,，,n,),叫做,式中的,C,n,r,a,n,r,b,r,叫做二项展开式的,，用,T,r,1,表示，即展开式的第,项；,T,r,1,.,二项式系数,通项,r,1,C,n,r,a,n,r,b,r,2,二项展开式形式上的特点,(1),项数为,.,(2),各项的次数都等于二项式的幂指数,n,，即,a,与,b,的指数的和为,.,(3),字母,a,按,排列，从第一项开始，次数由,n,逐项减,1,直到零；字母,b,按,排列，从第一项起，次数由零逐项增,1,直到,n,.,(4),二项式的系数从,，,C,n,1,，一直到,C,n,n,1,，,.,n,1,n,降幂,升幂,C,n,0,C,n,n,3,二项式系数的性质,(1),在二项展开式中，与首末两端,“,等距离,”,的两项的,相等,(2),如果二项式的幂指数是偶数，,的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，,的二项式系数相等并且最大,(3),二项式系数的和等于,，,即,.,(4),二项式展开式中，偶数项的二项式系数和,奇数项的二项式系数和，,即,.,二项式系数,中间一项,中间两项,2,n,C,n,0,C,n,1,C,n,2,C,n,n,2,n,等于,C,n,1,C,n,3,C,n,5,C,n,0,C,n,2,C,n,4,2,n,1,答案,A,答案,B,3,(2009,江西文,),若,C,n,1,x,C,n,2,x,2,C,n,n,x,n,能被,7,整除，则,x,，,n,的值可能为,(,),A,x,4,，,n,3 B,x,4,，,n,4,C,x,5,，,n,4 D,x,6,，,n,5,答案,C,解析,考查二项式定理,因为,C,n,1,x,C,n,2,x,2,C,n,n,x,n,C,n,0,x,0,C,n,1,x,C,n,2,x,2,C,n,n,x,n,1,(1,x,),n,1,能被,7,整除，代入选项检验易知选,C.,4,(2010,全国卷,文,)(1,x,),4,(1,),3,的展开式中,x,2,的系数是,(,),A,6 B,3,C,0 D,3,答案,A,解析,该题考查求展开式的特定项，用生成法,(1,),3,的有理项为,1,和,3,x,，故要出现,x,2,，需从,(1,x,),4,因式中找,x,2,项和,x,项，即,C,4,2,(,x,),2,和,C,4,1,x,，,x,2,项为,C,4,2,(,x,),2,1,C,4,1,x,3,x,6,x,2,，,选,A.,答案,6,6,(2010,全国卷,文,)(,x,),9,的展开式中的,x,3,的系数是,_,答案,84,7,若,(1,2,x,),6,展开式中第,2,项大于它的相邻两项，试求,x,的取值范围,点评,求二项展开式中某些特殊项、常数项、有理项、无理项或它们的系数等问题利用通项公式写出其一般式，再令其中,r,取某些特定值是解决该类型问题常用方法,答案,B,答案,B,例,2,若,(3,x,1),7,a,7,x,7,a,6,x,6,a,1,x,a,0,，求,(1),a,1,a,2,a,7,；,(2),a,1,a,3,a,5,a,7,；,(3),a,0,a,2,a,4,a,6,.,解析,所求结果与各项系数有关，可以考虑用,“,特殊值,”,法，,整体解决,(1),令,x,0,，则,a,0,1,；令,x,1,，则,a,7,a,6,a,1,a,0,2,7,128,a,1,a,2,a,7,129.,(3),已知,(,x,1),2009,a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,2009,x,2009,，则,a,0,a,1,a,2,a,1004,(,),A,2,2009,B,2,2008,C,2,1005,D,2,1004,答案,(1)4,9,1,(2)A,(3)B,解析,(1),在,(1,3,x,),9,展开式中奇数项为正，偶数项为负,故,|,a,1,|,|,a,2,|,|,a,9,|,a,1,a,2,a,3,a,9,.,令,x,1,，得,a,0,a,1,a,2,a,3,a,9,4,9,.,令,x,0,，得,a,0,1.,故,|,a,1,|,|,a,2,|,|,a,9,|,4,9,1.,例,3,已知,f,(,x,),(,3,x,2,),n,展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大,992.,(1),求展开式中二项式系数的最大项,(2),求展开式中系数最大的项,分析,展开式中二项式系数的最大项应是中间项，并要根据,n,的奇偶性来确定是两项还是一项；系数最大项的系数，应满足它不小于前一项的系数，也不小于后一项的系数，若设第,r,1,项为展开式的系数最大项，则应满足第,r,1,项的系数大于或等于第,r,项及第,r,2,项的系数,解析,(1),令,x,1,，则二项式各项系数和为,f,(1),(1,3),n,4,n,，,展开式中各项的二项式系数之和为,2,n,.,由题意，知,4,n,2,n,992.,(2,n,),2,2,n,992,0.,(2,n,31)(2,n,32),0.,2,n,31(,舍,),或,2,n,32.,n,5.,由于,n,5,为奇数，,展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是,解析,根据二项式系数的性质，列方程求解,n,.,系数的绝对值最大问题需要列不等式组求解,由题意知，,2,2,n,2,n,992,，即,(2,n,32)(2,n,31),0,，,2,n,32,，解得,n,5.,点评,在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负符号当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关；而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关值得注意的是，本例中是求,“,系数的绝对值最大的项,”,，若改为,“,系数最大的项,”,又该如何处理？因为第,4,项的系数为负值，所以系数最大项必是第,3,项或第,5,项中的某一项比较这两项的系数,C,10,2,2,8,与,C,10,4,2,6,大小即可,.,例,4,(1),求证：,3,n,(,n,2)2,n,1,(,n,N,*,，且,n,2),；,(2),求,S,C,27,1,C,27,2,C,27,27,除以,9,的余数,分析,(1),把,3,n,化为,(2,1),n,展开后放缩证明；,(2),求出系数和构造二项展开式求解,解析,(1),证明：,n,N,*,，且,n,2,，,3,n,(2,1),n,展开后至少有四项，,而,(2,1),n,2,n,C,n,1,2,n,1,C,n,n,1,2,1,2,n,n,2,n,1,2,n,12,n,n,2,n,1,(,n,2)2,n,1,，,故,3,n,(,n,2)2,n,1,.,(2),S,C,27,1,C,27,2,C,27,27,2,27,1,8,9,1,(9,1),9,1,C,9,0,9,9,C,9,1,9,8,C,9,8,9,C,9,9,1,9(,C,9,0,9,8,C,9,1,9,7,C,9,8,),2,C,9,0,9,8,C,9,1,9,7,C,9,8,是正整数，,S,被,9,除的余数为,7.,点评,幂指数含,n,的不等式,(,n,N,*,),，用二项式定理证明，有时比用数学归纳法证明要简捷得多用二项式定理证明不等式时，要根据,n,的最小值确定展开后的最少项数，然后视具体情况确定应该保留多少项这实际上是一个放缩适量的问题,利用二项式定理解决整除性问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可因此，一般要将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开此时常采用,“,配凑法,”,、,“,消去法,”,配合整除的有关知识来处理,(1)2,2012,除以,9,的余数是,(,),A,1 B,2,C,5 D,8,(2)1,90C,10,1,90,2,C,10,2,90,3,C,10,3,(,1),k,90,k,C,10,k,90,10,C,10,10,除以,88,的余数是,(,),A,1 B,1,C,87 D,87,答案,(1)C,(2)B,解析,(1)2,2012,4,2,2010,4(9,1),670,4(9,670,C,670,1,9,669,C,670,2,9,668,1),，展开式中共,671,项，最后一项为,4,(,1),4,，故余数为,9,4,5.,答案选,C.,(2)1,90C,10,1,90,2,C,10,2,90,3,C,10,3,(,1),k,90,k,C,10,k,90,10,C,10,10,(1,90),10,89,10,(88,1),10,88,10,C,10,1,88,9,C,10,2,88,8,C,10,9,88,1,，前,10,项均可被,88,整除，故余数为,1.,答案选,B.,1,运用二项式定理一定要牢记通项,T,r,1,C,n,r,a,n,r,b,r,，注意,(,a,b,),n,与,(,b,a,),n,虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的,(,字母,),系数是两个不同概念，前者只指,C,n,r,，而后者是指字母外的部分,2,求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求,r,，再求,T,r,1,.,有时还需求,n,，再求,r,，才能求出,T,r,1,.,3,有些三项展开式问题可以通过变形变成二项式问题加以解决，有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏,4,对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段,5,用二项式定理证明整除问题时，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用,“,配凑法,”“,消去法,”,配合整除的有关知识来解决,