高三数学一轮复习 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 北师大版 课件.ppt

,(,能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系,/,能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系,/,能用直线和圆的方程解决一些简单的问题,/,初步了解用代数方法处理几何问题的思想,),8.5,直线与圆、圆与圆的位置关系,1,设直线,l,：,Ax,By,C,0,，圆,C,：,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,，圆心到直线的距离,d,(1),利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定：比较圆心到直线的距离,d,与圆的半径,r,：,d,r,直线与圆相交；,d,r,直线与圆相切；,d,r,直线与圆相离,(2),看直线与圆组成的方程组有无实数解；,有解，直线与圆有公共点；有一组则相切；有两组，则相交；,b,无解，则相离。,2,两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断,两圆,O,1,、,O,2,的半径分别为,r,1,、,r,2,，,相离,|,O,1,O,2,|,r,1,r,2,；,外切,|,O,1,O,2,|,r,1,r,2,；,内切,|,O,1,O,2,|,|,r,1,r,2,|,；,内含,|,O,1,O,2,|,|,r,1,r,2,|,；,相交,|,r,1,r,2,|,|,O,1,O,2,|,r,1,r,2,.,1,已,知直线,mx,3,y,4,0,与圆,(,x,2),2,y,2,5,相交于两点,A,、,B,，若,|,AB,|,2,，,则,m,的值是,(,),解析：,由已知弦长，可知圆心到直线的距离为,d,2,，,利用点到直线的距离公式代入即可求得,答案：,B,2,如,图，从圆,x,2,2,x,y,2,2,y,1,0,外一点,P,(3,2),向这个圆作两条切线，,则两切线夹角的余弦值为,(,),解析：,tan,APC,，则,cos,APB,.,答案：,B,3,直线,x,7,y,5,0,分圆,x,2,y,2,1,所成两部分弧长之差的绝对值是,(,),解析：,弦心距,d,，故直线把单位圆分成 与的两段弧,答案：,C,4.,过,点,P,(1,，,),的直线,l,将圆,(,x,2),2,y,2,4,分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线,l,的斜率,k,_.,解析：,如图，,k,PC,，,k,.,答案,：,1.,若点,P,(,x,0,，,y,0,),在圆,x,2,y,2,r,2,上，则过,P,(,x,0,，,y,0,),点的切线方程为,x,0,x,y,0,y,r,2,.,2,过点,P,(,x,0,，,y,0,),作圆,C,的切线，若点在圆上切线有一条；若点在圆外切线有两,条求过,P,(,x,0,，,y,0,),点与圆,C,相切的直线方程的方法大致有两种：,判别式法；,更多的是使用点到直线的距离公式使圆心到切线的距离等于圆的半径,【,例,1,】,自,点,A,(,3,3),发出的光线,l,射到,x,轴上，被,x,轴反射，,其反射光线所在直线与圆,x,2,y,2,4,x,4,y,7,0,相切，,如图所示，求光线,l,所在的直线方程,解答：,解法一：,设,入射光线,l,所在直线方程为,y,3,k,(,x,3),点,A,关于,x,轴对称点为,A,(,3,，,3),，,反射光线所在直线经过点,A,.,又,光线的入射角等于反射角，,反射光线所在直线的方程为,k,x,y,3,k,3,0,，,反射光线与圆,x,2,y,2,4,x,4,y,7,0,相切，,1,，,解之得,k,.,入射光线,l,所在直线方程为：,y,3,(,x,3),或,y,3,(,x,3),，,即,3,x,4,y,3,0,或,4,x,3,y,3,0.,解法二：圆,C,：,x,2,y,2,4,x,4,y,7,0,关于,x,轴的对称圆,C,的方程为,x,2,y,2,4,x,4,y,7,0.,因入射光线经,x,轴反射后与圆,C,相切，则入射光线所在直线与圆,C,相切,设：,l,：,y,3,k,(,x,3),即,k,x,y,3,k,3,0.,圆,C,的圆心,(2,，,2),到,l,距离与半径相等，,1,，,k,，,入射光线所在直线方程,3,x,4,y,3,0,或,4,x,3,y,3,0.,变式,1.,点,P,(,3,1),在椭圆 ,1(,a,b,0),的左准线上，过点,P,且方向向量为,a,(2,，,5),的光线经直线,y,2,反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离,心率为,(,),解析：,本题考查椭圆的有关概念，直线的方向向量，光线反射定律及有关的计算,由题意 ,3,，,a,2,3,c,；,又点,P,(,3,1),关于直线,y,2,的对称点为,P,(,3,，,5),，,椭圆左焦点为,F,(,c,0),，由光的反射定律，反射光线经过点,P,和,F,且其方,向向量为,(2,5),，,(,c,3,5),，,c,3,2,c,1,，,又,a,c,，,e,.,故选,A,项,答案：,A,已知点,P,(,x,，,y,),在圆上，求形如,x,y,，的最值等问题，可类似于解线性规划问题，利用其几何意义将问题转化为圆的切线问题,【,例,2,】,已,知圆,C,：,(,x,2),2,y,2,3,，直线,l,与圆,C,相切并且在两坐标轴上的截距相等，求直线,l,的方程,解答：,(1),如,图，若直线,l,过原点，设所求直线,方程为,y,k,x,，即,k,x,y,0.,由，,解得,k,.,则直线,l,的方程为,x,y,0,或,x,y,0,；,(2),若直线,l,不过原点，设,l,的方程为 ,1,，即,x,y,a,0.,由 ，解得,a,2 .,则直线,l,的方程为,x,y,2,0,，或,x,y,2,0.,综上所知所求直线有四条，方程分别为,x,y,0,，,x,y,0,，,x,y,2,0,，,x,y,2,0.,变式,2.,已,知点,P,(,x,，,y,),是圆,x,2,y,2,1,上任意一点，求：,(1),x,2,y,的最大值；,(2),t,的取值范围,解答：,(1),设,与,x,2,y,0,平行的直线的方程为,x,2,y,C,0.,由 ,1,，,得,C,.,与直线,x,2,y,0,平行且与圆相切的直线方程为,x,2,y,0,，,由,x,2,y,0,知,x,2,y,的最大值为 ；,(2),设过,A,(,2,，,2),点的直线方程为,y,2,t,(,x,2),，即,tx,y,2,2,t,0.,则,1,，,3,t,2,8,t,3,0.,解得,1.,过圆内一点,M,的直线一定与圆相交，当这条直线与点,M,和圆心连线垂直时直线被圆所截得的弦长最短；,2,求弦长时可利用弦心距与半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解,【,例,3,】,已,知圆,C,：,x,2,y,2,6,x,8,y,21,0,和直线,k,x,y,4,k,3,0.,(1),证明不论,k,取何值，直线和圆总有两个不同交点；,(2),求当,k,取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长,解答：,(1),证,明：由,k,x,y,4,k,3,0,得,(,x,4),k,y,3,0.,直线,k,x,y,4,k,3,过定点,P,(4,3),由,x,2,y,2,6,x,8,y,21,0,，即,(,x,3),2,(,y,4),2,4,，,又,(4,3),2,(3,4),2,2,4.,直线和圆总有两个不同的交点,(2),k,PC,1.,可以证明与,PC,垂直的直线,被圆所截得的弦最短，因此过,P,点斜率为,1,的直,线即为所求，其方程为,y,3,x,4,，即,x,y,1,0.,|,PC,|,，,|,AB,|,.,变式,3.,将圆,x,2,y,2,2,x,4,y,0,按向量,a,(,1,2),平移后得到,O,，直线,l,与,O,相交于,A,、,B,两点，若在,O,上存在点,C,使 ，求直线,l,的方程及对应的点,C,的坐标,解答：,解法一：圆,x,2,y,2,2,x,4,y,0,化为标准方程为,(,x,1),2,(,y,2),2,5,，,按向量,a,(,1,2),平移得,O,方程为,x,2,y,2,5.,a,且,a,.,k,AB,.,设直线,l,的方程为,y,x,m,，联立，得,将方程,代入,，整理得,5,x,2,4,mx,4,m,2,20,0.,设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，则,x,1,x,2,m,，,y,1,y,2,m,，,因为点,C,在圆上，所以,(,m,),2,(,m,),2,5,，解之，得,m,.,此时，,式中的,16,m,2,20(4,m,2,20),3000.,所求的直线,l,的方程为,2,x,4,y,5,0,，对应的,C,点的坐标为,(,1,2),；,或直线,l,的方程为,2,x,4,y,5,0,，对应的,C,点的坐标为,(1,，,2),解法二：同解法一，得,O,的方程,x,2,y,2,5.,1,对于圆的切线问题，当已知圆的圆心在原点，而圆上一点坐标已知时，可利,用切线公式求解；而其他情况应利用点到直线的距离公式解决圆的切线以及弦,长的计算等问题，应注意解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的联系和区别,2,可利用两点间的距离公式判断两圆的位置关系，两圆的位置关系包括：,(1),相离；,(2),外切；,(3),相交；,(4),内切；,(5),内含,【,方法规律,】,3,求切线方程一般有下面,4,种方法：,(1),设切点用切线公式；,(2),设有关点利用向,量数量积等于零；,(3),设切线斜率利用判别式；,(4),设切线斜率利用圆心到切线的,距离等于半径,注：一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中应注意斜率不存,在的情况,4,过圆外一点,(,x,0,，,y,0,),作圆,x,2,y,2,r,2,的切线，则经过两切点的直线的方程为,x,0,x,y,0,y,r,2,.,(2009,全国,),(,本小题满分,4,分,),已知,AC,、,BD,为圆,O,：,x,2,y,2,4,的两条相互垂直的,弦，垂足为,M,(1,，,),，则四边形,ABCD,的面积的最大值为,_.,【,答题模板,】,解析：,如图，过,O,点分别作,AC,、,BD,的垂线，,垂足分别为,E,、,F,，设,OE,d,1,，,OF,d,2,，则,3,，,|,AC,|,2,，,|,BD,|,2,，,S,四边形,ABCD,|,AC,|,BD,|,由,0,3,知，当 时，,S,四边形,ABCD,取到最大值为,5.,答案：,5,对于直线与圆的位置关系，一般可利用圆心到直线的距离进行判断和求解，从,理论上可利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系及求根公式判断直线与,圆的位置关系及解决求弦长等问题，但在考卷实录中提供的方法是一个学生难,以完成的求最值问题，同时解法中也忽略了直线斜率不存在的情况其解法可,参看标准答案,.,【,分析点评,】,点击此处进入 作业手册,