第3章 线性方程组的解法.pdf

第3章 线性方程组的解法本章探讨大型线性方程组计算机求解 的常用数值方法的构造和原理，主要介绍在 计算机上有效快速地求解线性方程组的有 关知识和方法.重点论述Jacobi迭代法、Seidel迭代法、Guass消元法及LU分解法的原理、构造、收敛性等内容。3.1实际案例3.2问题的描述与基本概念解线性方程组问题在线性代数中已有 很优美的行列式解法，但对大型的线性方程 组（阶数n40）的求解问题使用价值并不大,因为其计算量太大。实际问题中经常遇到自 变量个数n都很大的线性方程组求解问题，这些线性方程组要借助计算机的帮助才能 求出解。n个变元小，,的线性方程组的一般 形式为4nX+anX2 H-F ainXn=1a21x.+a22x2+-+a2nxn=b2（3.3）、。加再+。加2%2+一.+用“%”二鬣式中，佝称为系数，加称为右端项，它们都 是已知的常数。如果有=%；，/=，-，%=使方程组（3.3）成立，则称值*再，“20夕为线性方程组的（3.3）的一组解。本章在不作特别说明的情况下，主要讨 论m=n的线性方程组anXx+anX2 H-ainXn“2/1+。22%2 2nn=bi=b21%1玉+%2%+%”%=bn的求解问题，且假设它有唯一解。线性方程组的矩阵表示 Ax-b式中A称为系数矩阵，b称为右端项。数值分析中，线性方程组的数值解法主 要分为直接法和迭代法两大类。直接法是用有限次计算就能求出线性 方程组“准确解”的方法（不考虑舍入误差）;迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公 式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的 初始向量逐步迭代计算，来获得满足精度要 求的近似解。迭代法是一种逐次逼近的方法。3.3线性方程组的迭代解法线性方程组迭代解法有Jocobi迭代法、Seidel迭代法及Sor法等基本思想（与简单迭代法类比）将线性方程组Ax=b等价变形为x=Bx+g以构造向量迭代格式%（i）=Bx +g用算出的向量迭代序列X,X,去逼近解。1.构造原理1）Jacobi迭代法（1）将线性方程组（3.4）的第，个变元七 用其他小1个变元表出，可得1 、X=3 _ 1212 一 13%3 ainXn)%1/7、X2 (，2 21玉23%3 a2nXn)22(3.5)1%=一。2%2-ann-iXn-lann称（3.5）为不动点方程组。（2）将（3.5）式写成迭代格式 f 1xf+D=（4 “12%：）一一囚上）an4+D-%1V）-23靖）-一%/）“22.（3.6）看+1）=，依一时靖）一42靖）-*瑞）I annJacobi迭代格式（3）取定初始向量把=（%化率，姗了,代入，可逐次算出向量序列”，户 这里W=（靖），率，,炉丫。2)Seidel迭代法y(Z+DA11 Z7(k)(k)(k)、=Si _%2芯 _%3片 一a：)auY(6D 人2二(Z?2-a2ixk+1)-。23V22fnx：）丫（61）1/7(左+1)(左+1)(bn-anlXl。几212 annUnn-lA/n-lSeidel迭代格式Seidel迭代并不能取代Jacobi迭代。3）Sor法用Seidel迭代算出的芭山与，的相减得到 差向量心-h+i）_钟）采用加速技术做下一步迭代：尢代+1）=1优）+qAx得Sor法的迭代格式（i-1 n、X 尸）=（1-回 xp）+2-Z 4*叫-S。方），=12aii jT J=M J式中参数co称为松弛因子，可以任意选取，当=1时，Sor法就是Seidel迭代法。例如对线性方程组IO%-x2-2x3=7.2 X+10%2 2%3=8.3x1 X2+5%3=4.2先将其写成不动点方程组,1再=(7.2+羽+)1 10 2 3=-(8.3+)2 10 1 3x2 二 (4.2+X+x2)11 左oa左(2X+217 左(3 2X+Jacobi迭代1117+*3o+3 G(4 1-5-靖+2(3X+(2X+Seidel迭代Y（l）/vl丫（八1）九2Y（D 九3q（7.2+x+2康）二，（8.3+x；+i）+x?）二 g（4.2+f）+V+D）Sor迭代靖+d=（1）4）+3（7.2+才）+2寸）铲）=）%，+养（83+染+D+燎）琮+D=（1 _ 0才）+（4.2+瑶瑾+V+D2.迭代分析及向量收敛1）三种迭代法的向量迭格式对4*=儿将系数矩阵A作如下分解 A=D-L-U一4 n 一一 00 o-o-an.一ainL=a210 0,u 二00,a2n_anlan2.0_00 0贝!J4x=办可以写成（。乙。）1=屋假设存 在，得4%=力的等价方程组x=0T（L+U）x+Zr%由此可得到Jacobi迭代的向量迭代格式”）=亿+0）苫）+D-ib xk+l）=BjX（k+gj4=+u）,gj=Bj称为Jacobi迭代 矩阵。Seidel向量迭代格式=%)+gs式中矩阵纥称为Seidel迭代矩阵，Bs=(D_LU,gs=(D-Lb。Sor法的向量迭代格式苦叫=+g(o式中矩阵乩称为超松弛迭代矩阵,邑=(。-匈T(l-/)0+00 9 ga=矶。-Lyb o三种迭代格式可用一个迭代格式，+i)=B/)+g2）向量收敛定义定义3.1设向量序列”）=（岁君），炉及 向量%*=力都是7T中的向量，如果有=X；，i=1，2,成立,，则称P）收敛于X*。简记为!吧P）=x*。3）范数定义与科学计算中的常用范数定义3.2设L是数域K上的一个线性空 间，如果定义在L上的实值函数玖、）满足1）任取工乙，有尸（%）2 0,且P（x）=0o%=0；2）任取x G L,2 g K,有尸（无0=囚尸（%）；3）任取九，乙，有尸（%+、）-（%）+尸3,则称尸（）是L上的一个范数，称尸为“的 一个范数。范数的定义很象绝对值函数，故常用年或 IH表示范数，而范数。常记为|比或国。这 样，上面范数定义中的3个条件常写为xeL 9 有卜|2。，且N=0ox=0；xeL,A&K,有=苍y，有卜+y忖N|+M将其与绝对值比较，是否很象？实际上，很多有关绝对值的运算和结论可以 平行引进到有关范数的运算和证明问题中。X9 J lz 12 3任任任取取取数值分析中常用的线性空间有 n维向量空间R二a I q=(%,2，一,，4)，4左 g 氏矩阵空间 二连续函数空Ca,b=/(x)在,切上连续函数空间。凡可是由闭区间。回上所有 连续函数组成的集合，其线性运算定义为 加法/+g：(/+g)(x)=x)+g(x)数乘 2/:(2/)(x)=2-/(x),2为数在这些空间上，数值分析中常用的范数有R的向量范数n1)M-Zkl,k=l3)I因8=憾及式中向量X=(再2，居)O（2）的矩阵范数矩阵范数要满足如下四条1）任取agh，有|止0,且|，=ooa=o；2）任取AeNUeK,有|M=|取小;3）任取ABeTT,有M+MM|+悯|4）任取人心不，有|M引加同（相容性）与向量范数做对比由于线性方程组求解问题中，系数矩阵总 是与向量联系在一起的，为描述这种联系，引入如下的算子范数概念。定义3.3设矩阵AsTT,称为矩阵A的算子范数。容易证明，矩阵A的算子范数也是矩阵 范数，且满足不等式关系常用的矩阵范数有如下4种1)列范数：MIL=憎加|J-n i=l2)行范数：MIL=懦|与j=l3)F范数：|=回Ns4)2范数：|川2=。高，羽x是Ma最大 特征值以上4个矩阵范数中，MIU4,ML是算子 范数，11不是算子范数。3）范数等价与向量极限定义3.4设帆此是线性空间L上的 两个范数，若存在正常数相和成立则称范数Hp，Hq是等价范数。定理3犬上的所有范数都是等价的。定理 3.2 lim=x*o lim-x*|=0 o式中N是配上任何一种范数。4）谱半径及其与范数的关系定义3.5设AcRnxn f 4,左=1,2,是4的刀个特征值，则称实数夕（A）=max 7 lkn为矩阵4的谱半径。注意4如果是复数，14 表示复数模。定理3.3设4W,则有引川，同为 矩阵A的任意算子范数。证明设4是4的任意一个特征值，音）为 对应的特征向量，则有心的=取范数，得Mil卜牛卜叫小叫=|刈卜|因为产卜。，上式同除卜|,得 由左的任意性可得夕（4）引川。3.迭代法的收敛条件与误差估计1）收敛条件定理：线性迭代格式/叫=5”+g对任意初 始向量”都收敛的充要条件是迭代矩阵谱 半径夕 夕（A）2同，左=。，1，将不等式两边同除 7=1jk nakk9成立同2%1Jacobi迭代矩阵当=/-zr”,故有忸儿=max lknnz jT j*k max lknakj1J由判别条件I,可得Jacobi迭代的收敛性。对Seidel迭代，其迭代矩阵线=（。尸u,设人是矩阵纭的任一特征值,则有特征方程det（2J-Bs）=det（D-L）-1-det（D-L）-C/=0因det（O 故矩阵功的特征方程变为 det2,（D-L）-f/=0写出这个行列式方程对应的矩阵4 aliai2 ainBs=Ak（D-L）-U=4，214,22a2n_kanl2M2kannAv rLrL _如果21,利用矩阵A的行对角占优的不等 式，可以得出如下不等式n k-l nakk|*akk|Z kakj|-akj+Z akj,忆=j=l j=l j=k+ljwk这说明矩阵瓦也是行严格对角占优阵，由定 理，有det瓦0。矛盾,故应有同1成立。由4的任意性有谱半径夕（纭）1，于是可 得Seidel迭代的收敛性。定理3.7 Sor法收敛的必要条件是松弛因 子满足02o证明因为Sor法的迭代矩阵为4=(o 回 O+gUdet Ba=det(D-fy)1-det(1-O)Z)+U有=det Q i det(1 0)Q=(1 o)”设4#=1,2,，是纥的个特征值，则有 det/=444=(1-,若 Sor 收敛，必有(纥)1,注意到4444夕(2。)了,得(i-(P(Bjyio 解之得02。2）误差估计定理3.8设矩阵B的某种矩阵范数忸|1,则由式 必叫+g算出的序列卜与线性方程组*x=Bx+g的准确解X有如下的误差估计1）事后估计式卜一%*卜品卜7gl2）事先估计式卜何-卜普卜。）一叫证明可以参照非线性方程求根定理的证明，注意 将那里的绝对值换成这里的范数，那里的函数换成这 里的矩阵，并注意范数关系的使用即可。例3.1用Jacobi迭代法解线性方程组5力+2肛+3%3=72xi+4x2+2x3=202xr3x2+10 x3=3要求误差卜的3T|口。-4解本题的Jacobi迭代格式为xf+D=-2A-0Ax-0.6x4旬=5+0.25 染）一0.5丹+D=0.3_0.2x，+0.3xJ _L 乙V0-0.4-0.6它的Jacobi迭代矩阵为当=o-25 o-o,5 o-0.2 0.3 0因为网尸=0.98107110-4)二(4.46,4.25,2.28)7,|x(2)-x(1)|=2,06 W4x(18)=(-4.,2.99997,2.)r,|x(18)-x(17)|=0.41 x ICT4 ICT4故所求近似解为=-4,%=2.9997,&=2。(准确解为为=-4,%=3,项=2)例3.2已知方程组122、1 1 1,2 2 1,2、3y7、1）写出Jacobi和Seidel迭代格式;2）判别两种迭代格式的收敛性。解1）Jacobi迭代格式为/+D=-2 严+3产+1 y（E）=_x+）_z（%）+2 z（%+D=_21仕）_ 2ym+3Seidel迭代格式为、（左+1）=-2严+3zw+l y(k+1)=*钊-z(k)+2(k+i)I=2x(D2y(i)+32）要判别收敛性，由于本题不能由范数及 矩阵本身特性判定，只能用谱半径判别。2 2-2由det-易）=1 2 1=分=0,得当的特征 2 2 2根4=4=4=0,于是与谱半径得（a）=o1,故本题Seidel迭代发散。3.4线性方程组的直接解法解线性方程组的直接法有Gauss消元法,LU分解法及一些特殊线性方程组的解法等,其中Gauss消元法是直接法的基础。本章的重点是在一般公式推导上，要注意 学习和体会。1.Gauss消元法基本思想先将线性方程组通过消元方法化为同解 的上三角方程组，然后从该三角方程组中按 第n个方程、第个方程、第1个方 程的顺序，逐步回代求出线性方程组的解。1)构造原理Gauss消元法的求解过程可分为两个:把原方程组化为上三角形方程组的消元 过程和求上三角方程组的解的回代过程。为推导公式的方便，假设记要求解的原 方程组为点=凶)4西+22)X2+a2nXn=(3.22)Gauss消元法的算法构造如下一、消元过程1）设潞现令乘数%=-4/斓，做（消 去第，个方程组的应）操作%x第1个方程+第，个方程（/=2,3,.,n）则第，个方程变为碍%2 H-1-nXn=短）这样消去第2,3,，n个方程的变元xi后,原线性方程组(3.22)变为婢项+4散2+ainXn=。觊+-+。2%=义)/一、(3.23)、-%2+=4)式中风，)d的计算公式为网1=-客/au/)=(。)+叫封(3.24)*)=4)+见/)，i,j=2,3,-,n这样就完成了第1步消元。2)对线性方程组(3.23)中由第2,3,n个方程组成的n-1元线性方程组做同样的 处理，可得到第2步消元后的线性方程组+婚%2+*-h aXn 优)母%2+aSX3+IK=b2)湍)%3+点Z=bf)、时%3+-+4%=2)式中町2胡”的计算公式为叫2=一破/破甲=向+叫2或)(3.25):)=母+mi2a2 j=3,4，3）由（3.24）与（3.23）系数计算规律,得第k步消元过程的计算公式2的=叶）+恤产）（3.26）力）=a）i,j=k+l,k+2,-,n当做到第n-1步消元后，就完成了 Guass 消元过程，得到上三角方程组(3.27)二、回代过程1）在方程组（3.27）的最后一个方程 中解出 乙,得 Z=b：T）/2）将乙的值代入（3.27）的倒数第2 个方程，再解出Z，得%=（，）力，*）/4鬲3）依次回代，得计算的公式为nZ 尸（左=2,-3,1）j=k+当k=1时，就完成了回代过程，从而完成了 Gauss消元法的全过程，得到所求解。要注意的是，计算公式中分母不能为零,于是可以得到如下Gauss消元法计算公式。三、Gauss消元法计算公式1.对k=1,2,”1,计算状=（i）+叫 i）力）=一0+mikax i,j=k+k+2，2.对=，刀-1,计算nxk 一乙akj Xj”akk j=k+l2)分析(1)Gauss消元法的计算量Gauss消元法由消元过程和回代过程两 部分组成，消元过程的计算量来自计算。丁,旷所用的乘法和计算叫所用的除法。容易 得出Gauss消元法的消元过程计算量为消兀步 1 2 1乘法次数5 2)5 1)1x2除法次数 n 1 n 2 1因此消元过程计算量为1 n-1 1k=i k=i 3 2类似地可算出Gauss消元法的回代过程的计 算量%=1s+i),于是得Gauss消元法的计算 量为32 H 2 n N-n 3 33当n很大时，n噎。由于科学计算中，变元 个数n都很大，因此也常说Gauss消元法的 计算量为/3。(2)Gauss消元法的矩阵解释借助矩阵的理论，能更清楚地看到Gauss 消元法的本质，也可得出易于推广的内容。Gauss消元法过程实际是对Ax=b的增 广矩阵(A,b)做第三种行初等变换，它对 应着用第三种初等矩阵1 S=tMik=mik S=i,t=k、0 其它 左乘要变换的增广矩阵。Gauss消元过程的第一步消元的矩阵描述 为吃1吃一11叫。/）二（力）式中a与匕是消元后的线性方程组的系 数矩阵和常数项。记M=M M MiV1 1 iV1 nl1V1 n-U 1V1 21利用矩阵运算与相等定义，有MlA=AwlMlb=bm类似地，经过第1步消元后，可以得出 此.M.2MA=d Mn_iMn_2-M1b=b式中是变换后的上三角方程组的系数 矩阵，若记加=此一也7M,有ma=a（t）和=,易验证，M是单位下三角矩阵，且1、m21 1M=m31 m32：1、外1 mn2.m叱i 1?因为detM=10,所以M t存在可以证明T也是下三角矩阵，且注意 到是上三角矩阵。若令L=M-1,U=A(nl)则有A=LU(矩阵的一种分解形式)这种矩阵分解为寻找新的线性方程组解法 创造了条件。注意，矩阵还有分解形式 A=D-L-U(3)Gauss消元法可使用的条件Gauss消元法要求43)wO(左=1,2,)，什么样的线性方程组满足这个要求显得很 重要，下面不加证明地给出两个结果。定理3.9畸-、0(%=12，的充要条件是 矩阵A的所有顺序主子式不为零。定理3.10若线性方程组瓜的系数矩 阵A的顺序主子式都不为零，则可用Gauss 消元法求解此方程组。(4)Gauss消元法的改进缺点1：必须在或-、o(E2M都成立时 才能使用，这不能令人满意；缺点2：在使用Gauss消元法进行计算 机求解时，人们发现有时求出的解是错误 的。例3.4研究下面线性方程组0.0001芭+X2=1 X+=2的Gauss消元法求解结果，假设计算在4位 浮点十进制数的计算机上求解。当将方程组输入计算机后，计算机中记 录为Jo.lOOOxlO-3+0.1000 X 102=0.1000 x1(310.1000 X101.+0.1000 xio1x2=0.2000 x 101可以进行Gauss消元法计算。因为41=0.1000 x1()-3。0,取加21=_6?21/11=-1()4,做第一步Gauss消元法，有=。胃+m2ia=0.1000 x 101-0.1000 x 105 对阶=0.00001 X105-0.1000 xio5=-0.09999xio5=-0.1000 xl05类似有姆)=-O.lOOOxlO5,得方程组f 0.1000 xW3x1+0.1000 xl01x2=0.1000 xl01-0.1000 xl05x2=-0.1000 xl05回代，求得解欠2=1,%=。，但这个解不满 足原方程组，求出的解是错误的！若将本例的方程组调换方程的次序，变为 X+%2=2 0.0001+x2=1在同一个计算机上再用Gauss消元法计算，可得到解七=1,9=1,它与原方程组的准确 解石=畿，=鬻相差不多，是可以接受的 解。通常称消元法中用作分母的数为主元，主元所在的方程称为主方程。列主元消元法全主元消元法例3.5设线性方程组2/+2x2+3x3=3 4xx+7x2+7x3=121+4%2+5%1试用Gauss消元法、列主元消元法求解之。解1)Gauss消元法an=2 w 09 m21=2,m31=1做第一步消元，得2修+2x2+3x3=3 3%2+招=15612+813=-4吗=3 WO,%2=一2,做第二步消元，得24+2x2+3x3=33x2+x3=-56x3=6回代求得x3=6/6=1Z=(-5 x3)/3=2匹=(3-2x2 3x3)/2=22)列主元消元法因为|。21|=4=max(EiMiMil)，交换第一个 方程和第二个方程得4x1+7x2+7x3=1 2x1+2x2+3x3=32/+4%2+5/=7此时叫=-0.5,m3i=0.5,做第一步消元，得4芯+7x2+7x3=1 1.512 0.5%2 2.57.5x2+8.5x3=-6.5K=7.5=max（吗，咄），交换第二个方程和第三 个方程，得4x1+7x2+7x3=1 7.5x2+8.5x3=-6.51.5%2。.5%3=2.5%2=02,做第二步消元，得4%+7+7x3=1 7.5x2+8.5%3=-6.51.2%1.2回代求解得%3=L 42=-2,%=22.LU分解法基本思想将方程组儿5的系数矩阵A分解为下 三角矩阵L与上三角矩阵U的乘积，即 A=LU,使求解Ax 的问题变为求解两个 三角矩阵Ly=和。x=y的问题。即Ax=b LUx=b oLy=b Ux=y1）构造原理Gauss消元法的矩阵解释说明矩阵A可以 分解为下三角矩阵与上三角矩阵相乘的形 式。知道矩阵有这种三角分解的结构后，我 们可以利用矩阵运算及相等的概念直接由A 求出其分解矩阵L和U。具体做法为先设叫L和U的形式，再由 A=LU 求出L和U的元素。矩阵的三角分解有如下几种常用形式L和U的结构为(1)Doolittle 分解分解后A=LU,Grout分解分解后A=L和U的结构为、1%2 1311 1“23Z21/22/L=1 2.,U=1U2nUn-Xn、(dx“2,D=LDU分解分解后A=LOU,L、D和U的结构为T%1 L /31，32,Jnl 1n2.-1 423U=11nn-lU2nUn-ln1Doolittle分解算法的构造过程，其它三 角分解算法和分析可以类似得到。Doolittle分解算法构造过程由A=LU及矩阵乘积和相等概念，有%=(1,0,0,()?7=%()=1,2,)回0-G1，2,4?-11,。,(，=2,3,，八)得计算公式“ij=%(j=12，)，/n=aiX!un(1=2,3,，)当时注j,有aij=(41 J?,”一0,0)1四何+%jt u.k从而得到矩阵U的计算公式i-1Uij aij hkkjk=l同理有当，时，=4为+伊力 k=l,可得到矩阵L的计算公式Lj=（。EjikA）/“力k=ls若规定式中求和项在si时表示不求和，二1则计算Doolittle分解的L和U元素的公式用 后两个表示：i-1=a.7 Liu】./jk=i用算出的乙，回代求出u=b的解y*；用算出的为及y*,回代求出Ux=y*的解。用上述过程求解几=6的方法称为Doolittle分解方法。2)分析(1)A可以进行Doolittle分解的条件 定理3.11非奇异矩阵A的Doolittle分解是唯一的。定理3.12设且A的各阶顺序主子式%(左=1,2,，则A有唯一的Doolittle分 解。即：能进行Gauss消元法就能做 Doolittle 分解。(2)Doolittle分解的紧凑格式按下图方式存贮和计算的格式称为Doolittle分解的紧凑格式。un un u13 uln 第一框第二框nln 2U nn 第n框例3.6用LU分解法求解线性方程组2xx+2x2+3x3=3 4x1+7x2+7x3=1+412+513 7解 因为没有指定用哪种LU分解，这里使用Doolittle分解法做之。用紧凑格式计算。紧凑格式故求解10 0、，2 2 3、L=2 1 0U 二0 3 1X?kX3?,3、5为230得所求解为二 1,%2 二-2,%=2 03.特殊线性方程组解法1）追赶法是解如下三对角方程组的专用方法:为讨论追赶法的计算公式，引入有关带状矩 阵的概念和结论。定义3.7设AeE,且A中任意元素与 满足%=。（j-iP且Tq,与为不小 于n的正整数），则称A为上带宽为P、下 带宽为q的n阶带状矩阵。此时A的非零元 素都集中在主对角线两边的带状区域，即三对角矩阵就是上下带宽都是1的带状 矩阵。关于带状矩阵有如下的分解定理定理3.12若上下带宽分别为p和q的“阶带状矩阵A有Doolittle分解4=LU,则L 为下带宽为q的单位下三角矩阵，U为上带 宽为p的上三角矩阵，即由定理，设三对角阵的Doolittle分解形式为。2。2 C2。3，.2-1%fl 俨 1%弓由矩阵乘法对应关系，有4=%J=解%=伉，4=?；对a2,有r：、为=（0,，0,74/，0,，0）k-1 krk-l以（J）行上行P科t+%，左=2,3,，（Ck=（0,，0,夕女。，0,，0）k-1 krkQk+i上行=rk k=2,3,-,n 1（左+i）行I-7r：、为=（0,0，Pq1，0尸,0）k-1 kQk-0（左T）行=pkqk-i 左=2,3,，上行7于是得到三对角矩阵的Doolittle分解公式 为%=%rk=ck(k=1,2,，-1)Qk=bk-Pkck-i由Ly=d,解得%=4,%=dk-pkyk_l(攵=2,3,再由=y,解得xn=yn/qn，Xk=(yk(左二_i,2,1)这样得三角线性方程组的追赶法求解公式%=1%=Pk=ak/Qk-l Qk=bk-Pkck-i（攵=2,3,，）4=dk-pkyk-i%=yq天k=（九一以4+i）/%（左=1,2,1）用追赶法来求解三对角线性方程组，计算量 只是5n-4,这比Gauss消元法的计算量要小 很多。追赶法解三对角方程组的条件与LU分 解法相同，由于三对角方程组非零元素较 少，使得收敛性判别很容易。此外，在存贮L和U时，只需要三个 一维数组。上面追赶法的构造手法可以用来构造特 殊的稀疏线性方程组的求解公式，应注意学 习和领会。3.5线性方程组解对系数的敏感性解对系数的敏感性是指方程中由于系数的变化（称为扰动）导致所求解的变化情况。因为计算机接收数据时有舍入误差存在，这构成 对线性方程组系数矩阵和常数项的扰动。若所求线性方程组对系数很敏感，会导致求出的 解失真很大，使求出的解不能用。通常称解对系数敏感的方程组为病态方程组，否 则称为良态方程组。本节探讨一下病态方程组的量化描述。解对系数敏感性的相对误差设方程组儿会的准确解为,方程组 的系数扰动后对应方程组变为(A+3 A)x=b+5 b它的准确解为x*+bx,这里54,3匕分别 为A和b的扰动，于是有等式AT=b,A+3 A)x+3 x)=b+8 b(*)解对系数的敏感性可以通过观察解十八 与的相对误差限来找出解对系数的敏感 性特征。分析一下它们的相对误差限。1.考虑34=0,此时(*)变为Ax=b,A(x+3 x)=b+3b两式相减有Adx=3b o设A可逆，贝!=取范数有由Ax*=0,取范数后得卜*|小|/网，于是有x*与*+5%的相对误差关系式2.5AwO,疑=。的相对误差关系式H-IKll-111 同-!1-M|.|at 卜卜1M W3.SAW。，的相对误差关系式定义3.8设非奇阵A W,称 s叫。Ml 为矩阵A的条件数。条件数值越大，解对系数越敏感，方程组越病态。作业：习题31,2,4,5,6,7,8,9,11,14