高二数学三垂线定理和逆定理课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三垂线定理,a,A,P,o,复习：,什么叫平面的斜线、垂线、射影？,如果,a ,aAO,，,思考,a,与,PO,的位置关,系如何？,a,A,P,o,PO,是平面,的斜线,O,为斜足,;,PA,是平面,的垂线,A,为垂足,;,AO,是,PO,在平面,内的射,影,.,三垂线定理,性质,判定定理,性质,线面垂直,线线垂直,线面垂直,线线垂直,PO,平面,PAO,aPO,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的,一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,PA,a ,PAa,AOa,a,平面,PAO,三垂线定理,P,a,A,o,直线,a,在一定要在平面内，如果,a,不在平面内，定理就不一定成立。,P,A,O,a,例如：当,b,时，,b,OA,如果将定理,“,在平面内,”,的条件去掉，结论仍然成立吗？,b,但,b,不垂直于,OP,思考?,1,、三垂线定理描述的是,PO(,斜线,),、,AO(,射,影,),、,a(,直线,),之,间的垂直关系。,2,、,a,与,PO,可以相交，也可以异面。,3,、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和,平面内的一条直线垂直的判定定理。,说明：,三垂线定理,例,1,直接利用三垂线定理证明下列各题：,(1),已知：,PA,正方形,ABCD,所在平面，,O,为对角线,BD,的中点,求证：,PO,BD,，,PC,BD,(3),已知：,在正方体,AC,1,中，求证：,A,1,C,B,1,D,1,，,A,1,C,BC,1,(2),已知：,PA,平面,PBC,，,PB=PC,，,M,是,BC,的中点，,求证：,BC,AM,A,D,C,B,A,1,D,1,B,1,C,1,(1),(2),B,P,M,C,A,(3),P,O,A,B,C,D,(1),PA,正方形,ABCD,所在平,面，,O,为对角线,BD,的中点，,求证：,PO,BD,，,PC,BD,P,O,A,B,C,D,证明,:,ABCD,为正方形,O,为,BD,的中点,AO,BD,同理，,AC,BD,AC,是,PC,在,ABCD,上的射影,PC,BD,PO,BD,AO,是,PO,在,平面,ABCD,上的射影,PA,平面,ABCD,BD,平面,ABCD,又,P,M,C,A,B,(2),已知：,PA,平面,PBC,，,PB=PC,，,M,是,BC,的中点，,求证：,BC,AM,证明,:,PM,BC,BC,AM,PM,是,AM,在平面,PBC,上的射影,PA,平面,PBC,PB,=,PC,M,是,BC,的中点,BC,平面,PBC,又,(3),在正方体,AC,1,中，,求证：,A,1,C,BC,1,，,A,1,C,B,1,D,1,在正方体,AC,1,中,A,1,B,1,面,BCC,1,B,1,且,BC,1,B,1,C,B,1,C,是,A,1,C,在面,BCC,1,B,1,上的射影,C,B,A,1,B,1,C,1,A,D,D,1,证明：,C,B,A,1,B,1,C,1,A,D,D,1,同理可证，,A,1,C,B,1,D,1,由三垂线定理知,A,1,C,BC,1,P,M,C,A,B,P,A,O,a,A,1,C,1,C,B,B,1,O,A,a,P,我们要学会从纷繁的已知条件中找出,或者创造出符合三垂线定理的条件,解题回顾,三垂线定理解题的关键：,找三垂！,怎么找？,一找直线和平面垂直,二找平面的斜线在平面,内的射影和平面内的,一条直线垂直,注意：,由一垂、二垂直接得出第三垂,并不是三垂都作为已知条件,解题回顾,P,A,O,a,关于三垂线定理的应用，关键是找出平面,(,基准面,),的垂线。,至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。,从三垂线定理的证明得到证明,ab,的一个程序：一垂、,二射、三证。即,第一、找平面,(,基准面,),及平面垂线,第二、找射影线，这时,a,、,b,便成平面上的一条直线与,一条斜线。,三垂线定理,第三、证明射影线与直线,a,垂直，从而得出,a,与,b,垂直。,P,A,O,a,三垂线定理包含几种垂直关系？,线射垂直,P,A,O,a,线面垂直,线斜垂直,P,A,O,a,直,线,和,平,面,垂直,平面内的直,线,和平面一条斜线的,射,影垂直,平面内的直,线,和平面的一条,斜,线垂直,线射垂直,线斜垂直,P,A,O,a,P,A,O,a,平面内的一条直,线,和平面的一条斜线在平面内的,射,影,垂直,平面内的一条直,线,和平面的一条,斜,线,垂直,三垂线定理的逆定理,？,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一,条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。,P,A,O,a,已知：,PA,，,PO,分,别是平面,的垂线和斜,线，,AO,是,PO,在平面,的射影,a,a,PO,求证：,a,AO,三垂线定理的逆定理,例,2,如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。,已知：,BAC,在平面,内，点,P,，,PE,AB,，,PF,AC,，,PO,，,垂足分别是,E,、,F,、,O,，,PE=PF,求证：,BAO,=,CAO,分析：要证,BAO,=,CAO,只须证,OE,=,OF,OE,AB,OF,AC,P,C,B,A,O,F,E,?,?,?,证明：,PO,OE,、,OF,是,PE,、,PF,在,内的射影,PE,=,PF,OE,=,OF,由,OE,是,PE,的射影且,PE,AB,得,OE,AB,同理可得,OF,AC,结论成立,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果,和这个平面的一条斜线,的射影,垂直，那么它也,和这条斜线垂直。,小 结,三垂线定理,三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果,和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条,斜线,的射影,垂直。,3,操作程序分三个步骤,“,一垂二射三证”,1,定理中四条线均针对同一平面而言,2,应用定理关键是找“基准面”这个参照系,作业：,教学与测试,53,创新作业,14,