高考数学 10章7课时空间向量的应用课件 新人教A版 课件.ppt

第,7,课时 空间向量的应用,1,异面直线所成的角,(1),过空间任一点,O,分别作异面直线,a,与,b,的平行线,a,与,b,，那么直线,a,与,b,所成的,的角，叫做异面直线,a,与,b,所成的角,基础知识梳理,不大于,90,(2),异面直线所成角的向量公式,两异面直线,a,、,b,的方向向量分别为,m,和,n,.,当,m,与,n,的夹角不大于,90,时，异面直线,a,、,b,所成的角,与,m,和,n,的夹角,；当,m,与,n,的夹角大于,90,时，直线,a,、,b,所成的角,与,m,和,n,的夹角,所以直线,a,、,b,所成的角,的余弦值为,.,基础知识梳理,相等,互补,2,直线和平面所成的角,(1),平面的斜线与它在平面上的,所成的角叫做这条斜线与平面所成的角,(2),直线与平面所成角的向量公式,直线,a,的方向向量和平面,的法向量分别为,m,和,n,，若,m,与,n,的夹角不大于,90,时，直线,a,与平面,所成的角等于,；若,m,与,n,的夹角大于,90,时，直线,a,与平面,所成的角等于,，所以直线,a,的方向向量和平面,所成的角的正弦值为,.,基础知识梳理,射影,m,与,n,的夹角的余角,m,与,n,的夹角的补角的余角,3,平面和平面所成的角,(1),过二面角,l,棱上任一点,O,作垂直于,棱,l,的平面角，与面,、,的交线分别为,OA,、,OB,，那么,叫做二面角,l,的平面角,(2),平面与平面所成角的向量公式,平面,与平面,的法向量分别为,m,和,n,，则二面角与,m,、,n,的夹角,基础知识梳理,AOB,相等或互补,1,若平面,，,的法向量分别为,n,1,(2,，,3,5),，,n,2,(,3,1,，,4),，则,(,),A,B,C,，,相交但不垂直,D,以上均不正确,答案,：,C,三基能力强化,2,若直线,l,的方向向量与平面,的法向量的夹角等于,120,，则直线,l,与平面,所成的角等于,(,),A,120 B,60,C,30 D,以上均错,答案,：,C,三基能力强化,3,(,教材习题改编,),在如图所示的正方体,A,1,B,1,C,1,D,1,ABCD,中，,E,是,C,1,D,1,的中点，则异面直线,DE,与,AC,所成角的余弦值为,(,),三基能力强化,答案,：,D,三基能力强化,4,已知直线,l,的方向向量为,v,，平面,的法向量是,，且,v,0,，则,l,与,的位置关系是,_,答案,：,l,或,l,5.,已知正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中平面,AB,1,D,1,与平面,A,1,BD,所成的角为,(0,90),，则,cos,_.,三基能力强化,设,a,，,b,分别是两异面直线,l,1,，,l,2,的方向向量，则,课堂互动讲练,考点一,求异面直线所成的角,l,1,与,l,2,所成的角,a,与,b,的夹角,a,，,b,范围,0,0,a,，,b,求法,cos,|cos,a,，,b,|,cos,a,，,b,课堂互动讲练,例,1,(2009,年高考广东卷,),如图，已知正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,2,，点,E,是正方形,BCC,1,B,1,的中心，点,F,、,G,分别是棱,C,1,D,1,、,AA,1,的中点，设点,E,1,、,G,1,分别是点,E,、,G,在平面,DCC,1,D,1,内的正投影,(1),证明：直线,FG,1,平面,FEE,1,；,(2),求异面直线,E,1,G,1,与,EA,所成角的正弦值,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,由题设知点,E,、,F,、,G,1,、,E,1,的坐标分别为,(1,2,1),，,(0,1,2),，,(0,0,1),，,(0,2,1),，,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,题目条件不变，求异面直线,AE,与,CG,所成角的余弦值,课堂互动讲练,互动探究,课堂互动讲练,考点二,求直线与平面所成的角,课堂互动讲练,课堂互动讲练,例,2,(2008,年高考海南、宁夏卷,),如图，已知点,P,在正方体,ABCD,A,B,C,D,的对角线,BD,上，,PDA,60.,(1),求,DP,与,CC,所成角的大小；,(2),求,DP,与平面,AA,D,D,所成角的大小,课堂互动讲练,【,解,】,如图所示，以,D,为原点，棱,DA,，,DC,，,DD,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系设棱长为,1,，,则,D,(0,0,0),，,A,(1,0,0),，,C,(0,1,0),，,C,(0,1,1),，,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【,误区警示,】,在求直线和平面所成的角时，误认为直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线和平面所成角，其错误原因一是概念不清，二是做题不认真,1,利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，,m,，,n,即为所求二面角的平面角,课堂互动讲练,考点三,求二面角,课堂互动讲练,2,对易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求,如图所示，二面角,l,，平面,的法向量为,n,1,，平面,的法向量为,n,2,，,n,1,，,n,2,，则二面角,l,的大小为,或,.,课堂互动讲练,课堂互动讲练,例,3,已知四棱锥,P,ABCD,，底面,ABCD,为菱形，,PA,平面,ABCD,，,ABC,60,，,E,，,F,分别是,BC,，,PC,的中点,(1),证明,AE,PD,；,课堂互动讲练,【,思路点拨,】,据题意，题目中过,A,点的线中垂直关系比较明显，可以以,A,为坐标原点建立空间坐标系，利用向量法求解,【,解,】,(1),证明：由四边形,ABCD,为菱形，,ABC,60,，可得,ABC,为正三角形，,点,E,为,BC,的中点，所以,AE,BC,.,又,BC,AD,，因此,AE,AD,.,因为,PA,平面,ABCD,，,AE,平面,ABCD,，所以,PA,AE,.,而,PA,平面,PAD,，,AD,平面,PAD,且,PA,AD,A,，,所以,AE,平面,PAD,.,又,PD,平面,PAD,，所以,AE,PD,.,课堂互动讲练,(2),设,AB,2,，,H,为,PD,上任意一点,由,(1),知,AE,平面,PAD,，,则,EHA,为,EH,与平面,PAD,所成的角,课堂互动讲练,所以,ADH,45.,所以,PA,2.,由,(1),知,AE,，,AD,，,AP,两两垂直，以,A,为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又,E,、,F,分别为,BC,、,PC,的中点，,课堂互动讲练,课堂互动讲练,取,z,1,1,，则,m,(0,2,，,1),因为,BD,AC,，,BD,PA,，,PA,AC,A,，,所以,BD,平面,AFC,.,课堂互动讲练,【,规律总结,】,利用向量法求二面角的步骤：,(1),利用图形性质建立坐标系；,(2),求两半平面的法向量；,(3),求法向量的夹角；,(4),结合图形转化二面角,课堂互动讲练,在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线，平面问题的位置关系、角度、长度等问题越来越受青睐，尤其是探索性问题，比用传统立体几何方法简便快捷,课堂互动讲练,考点四,利用空间向量解决空间中的探索性问题,课堂互动讲练,例,4,课堂互动讲练,(1),求证：,AC,SD,；,(2),若,SD,平面,PAC,，求二面角,P,AC,D,的大小；,(3),在,(2),的条件下，侧棱,SC,上是否存在一点,E,，使得,BE,平面,PAC,.,若存在，求,SE,EC,的值；若不存在，试说明理由,课堂互动讲练,【,思路点拨,】,建立空间坐标系，以,AC,、,BD,为坐标轴,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【,名师点评,】,利用空间向量解决探索性问题，具有一定的优越性，其思路上，利用坐标系，表示出一些点的坐标，计算出满足条件的关系，从而探索出所要研究的问题,课堂互动讲练,4,(,本题满分,12,分,),如图，三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AA,1,平面,ABC,，,BC,AC,，,BC,AC,2,，,AA,1,3,，,D,为,AC,的中点,课堂互动讲练,高考检阅,(1),求证：,AB,1,平面,BDC,1,；,(2),求二面角,C,1,BD,C,的余弦值；,(3),在侧棱,AA,1,上是否存在点,P,，使得,CP,平面,BDC,1,？并证明你的结论,解,：,(1),证明：连结,B,1,C,，与,BC,1,相交于,O,，连结,OD,，如图，,四边形,BCC,1,B,1,是矩形，,O,是,B,1,C,的中点又,D,是,AC,的中点，,OD,AB,1,.,AB,1,平面,BDC,1,，,OD,平面,BDC,1,，,AB,1,平面,BDC,1,.4,分,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(3),假设侧棱,AA,1,上存在一点,P,(2,，,y,0)(0,y,3),，使得,CP,平面,BDC,1,.,方程组无解，,假设不成立,侧棱,AA,1,上不存在点,P,，使得,CP,平面,BDC,1,12,分,课堂互动讲练,用空间向量解决立体几何问题的,“,三步曲,”,(1),两种思维方法,用空间向量解决立体几何问题，有两种基本思维：一种是利用空间向量表示几何量，利用向量的运算进行判断，此种方法不需要建系；另一种是用空间向量的坐标表示几何量，利用向量的坐标运算进行判断，此种方法需要建系,规律方法总结,(2)“,三步曲,”,建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题,把向量运算的结果,“,翻译,”,成相应的几何意义，即回归到图形问题,规律方法总结,随堂即时巩固,点击进入,课时活页训练,点击进入,