高考数学 2.8函数模型及其应用总复习课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,要点梳理,1.,三种增长型函数模型的图象与性质,2.8,函数模型及其应用,y,=,a,x,(,a,1),y,=log,a,x,(,a,1),y,=,x,n,(,n,0),在,(0,+),上的增减性,_,_,_,增长速度,_,_,相对平稳,增函数,增函数,增函数,越来越快,越来越慢,函,数,性,质,基础知识 自主学习,2.,三种增长型函数之间增长速度的比较,(1),指数函数,y,=,a,x,(,a,1),与幂函数,y,=,x,n,(,n,0),在区间,(0,+),，无论,n,比,a,大多少，尽管在,x,的一定,范围内,a,x,会小于,x,n,，但由于,y,=,a,x,的增长速度,_,y,=,x,n,的增长速度,因而总存在一个,x,0,当,x,x,0,时有,_.,图象的变化,随,x,增大逐渐表现为与,_,平行,随,x,增大逐渐表现为与,_,平行,随,n,值变化而不同,y,轴,x,轴,快于,a,x,x,n,（,2,）对数函数,y,=log,a,x,(,a,1),与幂函数,y,=,x,n,(,n,0),对数函数,y,=log,a,x,(,a,1),的增长速度，不论,a,与,n,值的,大小如何总会,_,y,=,x,n,的增长速度,因而在定义域,内总存在一个实数,x,0,使,x,x,0,时有,_.,由,(1)(2),可以看出三种增长型的函数尽管均为增函,数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在（,0,+),上，总会存在一个,x,0,，使,x,x,0,时有,_.,慢于,log,a,x,x,n,log,a,x,3.,常用的几类函数模型,(1),一次函数模型,f,(,x,)=,kx,+,b,(,k,、,b,为常数，,k,0);,(2),反比例函数模型,(,k,、,b,为常数,k,0);,(3),二次函数模型,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,、,b,、,c,为常数，,a,0),；,(4),指数函数模型,f,(,x,)=,a,b,x,+,c,（,a,、,b,、,c,为常数，,a,0,b,0,b,1,）；,(5),对数函数模型,f,（,x,）,=,m,log,a,x,+,n,（,m,、,n,、,a,为常,数，,m,0,a,0,a,1,）,;,(6),幂函数模型,f,(,x,)=,ax,n,+,b,(,a,、,b,、,n,为常数，,a,0,n,1).,4.,求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意,图表示为,5.,实际问题中函数的定义域要特别注意,另外，结果,要回到实际问题中写答案,.,基础自测,1.,我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税,外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为,70,元，,不收附加税时,每年大约销售,100,万瓶,若每销售,100,元国家要征附加税为,x,元（税率,x,%,）,则每年销售量,减少,10,x,万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附,加税额不少于,112,万元，则,x,的最小值为 （）,A.2 B.6 C.8 D.10,解析,依题意,解得,2,x,8,则,x,的最小值为,2.,A,2.,从,1999,年,11,月,1,日起,全国储蓄存款征收利息税,利,息税的税率为,20%,，由各银行储蓄点代扣代收，某人,2000,年,6,月,1,日存入若干万元人民币，年利率为,2%,，,到,2001,年,6,月,1,日取款时被银行扣除利息税,138.64,元,则该存款人的本金介于 （）,A.3,万,4,万元,B.4,万,5,万元,C.5,万,6,万元,D.2,万,3,万元,解析,设存入的本金为,x,，,则,x,2%,20%=138.64,，,A,3.,在一定范围内，某种产品的购买量,y,吨与单价,x,元之,间满足一次函数关系,如果购买,1 000,吨,每吨为,800,元；购买,2 000,吨,每吨为,700,元,;,一客户购买,400,吨,单价应该是 （）,A.820,元,B.840,元,C.860,元,D.880,元,解析,依题意，可设,y,与,x,的函数关系式为,y,=,kx,+,b,由,x,=800,y,=1 000,及,x,=700,y,=2 000,可得,k,=-10,b,=9 000,即,y,=-10,x,+9 000,将,y,=400,代入得,x,=860.,C,4.,某物体一天中的温度,T,(,单位,:),是时间,t,(,单位,:,h,),的函数,:,T,(,t,)=,t,3,-3,t,+60,t,=0,表示中午,1200,，其后,t,取正值,则下午,3,时温度为 （）,A.8 B.78 C.112 D.18,解析,由题意，下午,3,时，,t,=3,，,T,(3)=78.,B,5.,为了保证信息安全，传输必须使用加密方式,有一,种方式其加密、解密原理如下：,明文 密文 密文 明文,已知加密为,y,=,a,x,-2,（,x,为明文,y,为密文）,如果明文,“,3,”,通过加密后得到密文为,“,6,”,，再发送，接受,方通过解密得到明文,“,3,”,，若接受方接到密文为,“,14,”,，则原发的明文是,_.,解析,依题意,y,=,a,x,-2,中，当,x,=3,时，,y,=6,故,6=,a,3,-2,，,解得,a,=2.,所以加密为,y,=2,x,-2,，因此，当,y,=14,时，由,14=2,x,-2,解得,x,=4.,加密,发送,解密,4,题型一 一次、二次函数模型,【,例,1,】,如图所示，在矩形,ABCD,中，已知,AB,=,a,，,BC,=,b,（,b,a,）,在,AB,，,AD,，,CD,，,CB,上分别截取,AE,，,AH,CG,CF,都等于,x,，当,x,为何值时，四边形,EFGH,的面积最,大？并求出最大面积,.,依据图形建立四边形,EFGH,的面积,S,关于,自变量,x,的目标函数，然后利用解决二次函数的最值,问题求出,S,的最大值,.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解,设四边形,EFGH,的面积为,S,，,则,S,AEH,=,S,CFG,=,x,2,S,BEF,=,S,DGH,=(,a,-,x,)(,b,-,x,),，,由图形知函数的定义域为,x,|0,x,b,.,又,0,b,a,0,b,3,b,时,S,(,x,),在（,0,b,上是增函数，,此时当,x,=,b,时，,S,有最大值为,综上可知，当,a,3,b,时，时，,四边形面积,S,max,=,当,a,3,b,时，,x,=,b,时，四边形面积,S,max,=,ab,-,b,2,.,探究提高,二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建,立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的,最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取,值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的,区间之间的位置关系讨论求解,.,知能迁移,1,某人要做一批地砖，每块地砖（如图,1,所,示）是边长为,0.4,米的正方形,ABCD,，点,E,、,F,分别在,边,BC,和,CD,上，,CFE,、,ABE,和四边形,AEFD,均由,单一材料制成，制成,CFE,、,ABE,和四边形,AEFD,的三种材料的每平方米价格之比依次为,321.,若,将此种地砖按图,2,所示的形式铺设,能使中间的深色,阴影部分成四边形,EFGH,.,图,1,图,2,(1),求证：四边形,EFGH,是正方形；,(2),E,、,F,在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用,最省？,(1),证明,图,2,是由四块图,1,所示地砖组成,由图,1,依次,逆时针旋转,90,，,180,270,后得到，,EF,=,FG,=,GH,=,HE,，,CFE,为等腰直角三角形，,四边形,EFGH,是正方形,.,(2),解,设,CE,=,x,，则,BE,=0.4-,x,，,每块地砖的费用为,W,，,制成,CFE,、,ABE,和四边形,AEFD,三种材料的每平,方米价格依次为,3,a,、,2,a,、,a,（元），,=,a,(,x,2,-0.2,x,+0.24,）,=,a,(,x,-0.1),2,+0.23,（,0,x,0,，当,x,=0.1,时，,W,有最小值，即总费用最省,.,答,当,CE,=,CF,=0.1,米时，总费用最省,.,题型二 分段函数模型,【,例,2,】,某公司研制出了一种新产品，试制了一批样,品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售,情况不断进行调整，结果,40,天内全部销完,.,公司对,销售及销售利润进行了调研,结果如图所示，其中,图（一条折线）、图（一条抛物线段）分别是,国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图,是每件样品的销售利润与上市时间的关系,.,(1),分别写出国外市场的日销售量,f,（,t,）与上市时间,t,的关系及国内市场的日销售量,g,（,t,）与上市时间,t,的关,系；,(2),国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等,于,6 300,万元？若有，请说明是上市后的第几天；若,没有，请说明理由,.,思维启迪,第,(1),问就是根据图和所给的数据,运用待定系数法求出各图象中的解析式；第（,2,）问,先求得总利润的函数关系式,再将问题转化为方程是,否有解,.,解,(1),图是两条线段,由一次函数及待定系数法,图是一个二次函数的部分图象，,(2),每件样品的销售利润,h,（,t,）与上市时间,t,的关系为,故国外和国内的日销售利润之和,F,(,t,),与上市时间,t,的,关系为,当,0,t,20,时，,F,（,t,）在,0,，,20,上是增函数，,F,（,t,）在此区间上的最大值为,F,（,20,）,=6 0006 300.,当,20,t,30,时，,由,F,（,t,）,=6 300,，得,3,t,2,-160,t,+2 100=0,解得,t,=(,舍去,),或,t,=30.,当,30,t,40,时，,由,F,（,t,）在（,30,，,40,上是减函数，,得,F,(,t,)400,时，,f,(,x,)=60 000-100,x,是减函数，,f,(,x,)60 000-100,40025 000.,所以，当,x,=300,时，有最大值,25 000.,所以，当月产量为,300,台时，公司所获利润最大，最,大利润是,25 000,元,.,题型三 指数函数模型与幂函数模型,【,例,3,】,某城市现有人口总数为,100,万人,如果年自然,增长率为,1.2%,，试解答以下问题：,(1),写出该城市人口总数,y,（万人）与年份,x,（年,),的,函数关系式；,(2),计算,10,年以后该城市人口总数,(,精确到,0.1,万人,);,(3),计算大约多少年以后，该城市人口将达到,120,万,人（精确到,1,年）,.,(4),如果,20,年后该城市人口总数不超过,120,万人，年,自然增长率应该控制在多少？,（参考数据,:1.012,9,1.113,，,1.012,10,1.127,，,lg 1.20.079,lg 20.301 0,lg 1.0120.005,lg 1.0090.003 9,）,增长率问题是指数函数问题，利用指数,函数模型，构造函数,.,思维启迪,解,（,1,）,1,年后该城市人口总数为,y,=100+100,1.2%=100,(1+1.2%),2,年后该城市人口总数为,y,=100,(1+1.2%)+100,(1+1.2%),1.2%,=100,(1+1.2%),2,.,3,年后该城市人口总数为,y,=100,(1+1.2%),2,+100,(1+1.2%),2,1.2%,=100,(1+1.2%),3,.,x,年后该城市人口总数为,y,=100,(1+1.2%),x,.,(2)10,年后，人口总数为,100,(1+1.2%),10,112.7,（万人,).,(3),设,x,年后该城市人口将达到,120,万人，,即,100,(1+1.2%),x,=120,(4),由,100,(1+,x,%),20,120,得,(1+,x,%),20,1.2,两边取对数得,20lg(1+,x,%)lg 1.2=0.079,所以,所以,1+,x,%1.009,得,x,0.9,即年自然增长率应该控制在,0.9%.,探究提高,此类增长率问题，在实际问题中常可以,用指数函数模型,y,=,N,(1+,p,),x,(,其中,N,是基础数，,p,为增长,率，,x,为时间,),和幂函数模型,y,=,a,(1+,x,),n,(,其中,a,为基础,数，,x,为增长率，,n,为时间,),的形式,.,解题时，往往用到,对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解,.,知能迁移,3,1999,年,10,月,12,日,“,世界,60,亿人口日,”,，,提出了,“,人类对生育的选择将决定世界未来,”,的主,题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前,.,（,1,）世界人口在过去,40,年内翻了一番，问每年人口,平均增长率是多少？,（,2,）我国人口在,1998,年底达到,12.48,亿，若将人口平,均增长率控制在,1%,以内，我国人口在,2008,年底至多,有多少亿？,以下数据供计算时使用：,数,N,1.010,1.015,1.017,1.310,2.000,对数,lg,N,0.004 3,0.006 5,0.007 3,0.117 3,0.301 0,数,N,3.000,5.000,12.48,13.11,13.78,对数,lg,N,0.477 1,0.699 0,1.096 2,1.117 6,1.139 2,解,（,1,）设每年人口平均增长率为,x,，,n,年前的人口,数为,y,，,则,y,(1+,x,),n,=60,，则当,n,=40,时，,y,=30,，,即,30(1+,x,),40,=60,，,(1+,x,),40,=2,，,两边取对数，则,40lg,（,1+,x,）,=lg 2,，,则,lg,（,1+,x,）,=0.007 525,，,1+,x,1.017,，得,x,=1.7%.,（,2,）依题意，,y,12.48(1+1%),10,，,得,lg,y,lg 12.48+10,lg 1.01=1.139 2,y,13.78,，故人口至多有,13.78,亿,.,答 每年人口平均增长率为,1.7%,，,2008,年人口至多有,13.78,亿,.,题型四 函数的综合应用,【,例,4,】,(12,分,),有一个受到污染的湖泊，其湖水的体,积为,V,立方米,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的,水量，都为,r,立方米,.,现假设下雨和蒸发正好平衡，,且污染物质与湖水能很好的混合,.,用,g,（,t,）表示任一,时刻,t,每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其,为在时刻,t,时的湖水污染质量分数,.,已知目前污染源,以每天,p,克的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数,满足关系式,(,p,0),，其中,g,(0),是湖水污染的初始质量分数,.,（,1,）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的,初始质量分数；,（,2,）求证：当,g,(0),时,湖泊的污染程度将越来越,严重；,（,3,）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染,停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平,下降到开始时,(,即污染源停止时,),污染水平的,5%,？,（,1,）水污染质量分数为常数，即,g,(,t,),为常数函数；,(2),污染程度越来越严重，即证明,g,(,t,),为增函数；,(3),转化为方程即可解决,.,(1),解,设,0,t,1,t,2,g,(,t,),为常数，,g,（,t,1,）,=,g,(,t,2,),2,分,4,分,思维启迪,(2),证明,设,0,t,1,t,2,g,(0)-0,t,1,t,2,g,(,t,1,)-,g,(,t,2,)0,g,(,t,1,),g,(,t,2,).,故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来,越严重,.8,分,(3),解,污染源停止，即,p,=0,，此时,设要经过,t,天能使湖水的污染水平下降到开始时污染,水平的,5%.,即,g,(,t,)=5%,g,(0),，即有,5%,g,（,0,）,=,10,分,由实际意义知,g,(0)0,，,即需要 天时间,.12,分,探究提高,(1),对此类问题的解决关键是认真审题，,理顺数量关系,.,(2),应用数学模型，抽象出方程、不等式或函数解析,式,.,(3),用函数、方程、不等式解答,.,知能迁移,4,经市场调查，某城市的一种小商品在过,去的近,20,天内的销售量,(,件,),与价格（元）均为时间,t,(,天,),的函数,且销售量近似满足,g,(,t,)=80-2,t,(,件,),价,格近似满足,(1),试写出该种商品的日销售额,y,与时间,t,(0,t,20),的函数表达式；,(2),求该种商品的日销售额,y,的最大值与最小值,.,解,（,1,）,y,=,g,（,t,）,f,（,t,）,=,（,40-,t,）（,40-|,t,-10|,）,=,（,2,）当,0,t,0,b,1),；,(5),对数型函数模型,:,f,(,x,)=,m,log,a,x,+,n,(,m,n,a,为常数，,m,0,a,0,a,1);,(6),分段函数模型,.,1.,函数模型应用不当，是常见的解题错误,.,所以，正,确理解题意，选择适当的函数模型,.,2.,要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确,定函数的定义域,.,3.,注意问题反馈,.,在解决函数模型后，必须验证这个,数学解对实际问题的合理性,.,失误与防范,一、选择题,1.,某电信公司推出两种手机收费,方式,:,A,种方式是月租,20,元,B,种,方式是月租,0,元,.,一个月的本地网,内打出电话时间,t,(,分钟,),与打出,电话费,s,（元）的函数关系如图，,当打出电话,150,分钟时,这两种方式电话费相差,（）,A.10,元,B.20,元,C.30,元,D.,元,定时检测,解析,设,A,种方式对应的函数解析式为,S,=,k,1,t,+20,B,种方式对应的函数解析式为,S,=,k,2,t,当,t,=100,时，,100,k,1,+20=100,k,2,当,t,=150,时，,150,k,2,-150,k,1,-20=,故选,A.,答案,A,2.,由方程,x,|,x,|+,y,|,y,|=1,确定的函数,y,=,f,(,x,),在,(-,+),上是 （）,A.,增函数,B.,减函数,C.,先增后减,D.,先减后增,解析,当,x,0,且,y,0,时，,x,2,+,y,2,=1,当,x,0,且,y,0,时，,x,2,-,y,2,=1,当,x,0,时，,y,2,-,x,2,=1,当,x,0,且,y,0,），匀速,行驶,s,=,vt,减速行驶,(,a,0),结合函数图象可,知选,A.,A,5.,某产品的总成本,y,(,万元,),与产量,x,(,台,),之间的函数,关系是,y,=3 000+20,x,-0.1,x,2,(0,x,0,且,a,1,，,f,(,x,)=,x,2,-,a,x,当,x,(-1,1),时均有,f,(,x,)0,时，方程,f,(,x,)=0,只有一个实数根；,c,=0,时，,y,=,f,(,x,),是奇函数；,方程,f,(,x,)=0,至多有两个实根,.,上述三个命题中所有正确命题的序号为,_.,解析,f,(,x,)=,x,|,x,|+,c,=,如图，曲线与,x,轴只有一个交点，,所以方程,f,(,x,)=0,只有一个实数根，正确,.,c,=0,时，,f,(,x,)=,x,|,x,|+,bx,，显然是奇函数,.,当,c,=0,b,0,在,2,+),上恒成立,且为增函数,-40,，解得,x,2.3.,x,N,*,，,x,3,，,3,x,6,，,x,N,*,，,当,x,6,时，,y,=50-3,（,x,-6,）,x,-115.,令,50-3,（,x,-6,）,x,-1150,有,3,x,2,-68,x,+1150,上述不等式的整数解为,2,x,20(,x,N,*,）,6185,，,当每辆自行车的日租金定在,11,元时，才能使一日的,净收入最多,.,11.,通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注,意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增,;,中间有一段时间,学生的兴趣保持,较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设,f,(,t,),表示学生注意力随时间,t,（分钟）的变化规律,(,f,(,t,),越大,表明学生注意力越集中,),经过实验分析得知：,(1),讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能,持续多少分钟？,(2),讲课开始后,5,分钟与讲课开始后,25,分钟比较,何时,学生的注意力更集中？,(3),一道数学难题，需要讲解,24,分钟，并且要求学生,的注意力至少达到,180,，那么经过适当安排，教师能,否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？,解,（,1,）当,0,t,10,时，,f,(,t,)=-,t,2,+24,t,+100,=-(,t,-12),2,+244,是增函数，且,f,(10)=240,；,当,20,t,40,时，,f,(,t,)=-7,t,+380,是减函数，,且,f,(20)=240.,所以,讲课开始,10,分钟，学生的注意力最集中，能持,续,10,分钟,.,（,2,）,f,（,5,）,=195,，,f,（,25,）,=205,，,故讲课开始,25,分钟时，学生的注意力比讲课开始后,5,分钟更集中,.,（,3,）当,0,t,10,时，,f,（,t,）,=-,t,2,+24,t,+100=180,，,则,t,=4,；,当,2024,所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的,状态下讲授完这道题,.,12.,某化工厂引进一条先进生产线生产,某种化工产品,其生产的总成本,y,(,万元,),与年产量,x,(,吨,),之间的函数,关系式可以近似地表示为,y,=-48,x,+8 000,已知此,生产线年产量最大为,210,吨,.,(1),求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成,本最低,并求最低成本,;,(2),若每吨产品平均出厂价为,40,万元,那么当年产量,为多少吨时,可以获得最大利润？最大利润是多少？,解,(1),每吨平均成本为,(,万元,).,当且仅当 即,x,=200,时取等号,.,年产量为,200,吨时,每吨平均成本最低为,32,万元,.,(2),设年获得总利润为,R,(,x,),万元,则,R,(,x,)=40,x,-,y,=40,x,-+48,x,-8 000,=-+88,x,-8 000,=-(,x,-220),2,+1 680(0,x,210).,R,(,x,),在,0,210,上是增函数,x,=210,时,R,(,x,),有最大值为,-(210-220),2,+1 680=1 660.,年产量为,210,吨时,可获得最大利润,1 660,万元,.,返回,