高中数学 直接证明与间接证明课件八 新人教A版选修1-2 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1,数学归纳法,及其应用举例,（,1,）,2.1,数学归纳法及其应用举例,课题引入,观察：,6,3,3,，,8,5,3,，,10,3,7,，,12,5,7,，,14,3,11,，,16,5,11,，,78,67,11,，,我们能得出什么结论？,任何一个大于等于,6,的偶数，都可以表示成两个奇质数之和,教师根据成绩单，逐一核实后下结论：,“,全班及格,”,由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常,叫做,归纳法,不完全归纳法,完全归纳法,这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法,叫归纳法归纳法是否能保证结论正确,?(1),不完全归纳法，,有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确,(2),完全,归纳法，结论可靠，但一一核对困难,数学小常识,?,2.1,数学归纳法及其应用举例,新授课,1,在等差数列 中，已知首项为 ，公差为 ，,归纳,2,数列通项公式为：,验证可知：,如,2.1,数学归纳法及其应用举例,新授课,2.1,数学归纳法及其应用举例,新授课,对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当,n,取第一个值,n,0,(,例如,n,0,=1),时命题成立，然后假设当,n=k(kN,kn,0,),时命题成立证明当,n=k+1,时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法,.,数学归纳法的两个步骤：,(),证明当,n,n,0,(n,1)(,如,n,1,或,2,等,),时，结论正确；,(),假设当,n,k(kN,*,且,kn,0,),时结论正确，并应用此假设证明,n,k,1,时结论也正确,注意,:,运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可,定 义,2.1,数学归纳法及其应用举例,新授课,如果 是等差数列，已知首项为 ，公差为 ，那么,对一切 都成立,证明,：（,1,）当,n,=1,时，,等式是成立的,（,2,）假设当,n=k,时等式成立，就是,那么,这就是说，当,n,=,k,+1,时，等式也成立,根据（,1,）和（,2,）,可知等式对任何 都成立,2.1,数学归纳法及其应用举例,新授课,数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：,（,1,）,证明当 取第一个值（如 或,2,等）时结论正确；,（,2,）,假设当 时结论正确，证明当,时结论也正确,递推基础,递推依据,小时候学数数的经历,：先会数,1,，,2,，,3,；再数到,10,；再数到,20,以内的数再数到,30,以内的数,，终于有一天我们可以骄傲地说：,我什么数都会数了,.,为什么呢,?,因为会数,1,，,2,，,3,有了数数的,基础,会在前一个数的基础上加上,1,得到后一个数，进行传递，所,以，可以说什么数都会数了,“找准起点，奠基要稳”,“用上假设，递推才真”,2.1,数学归纳法及其应用举例,例题讲解,例,1,用数学归纳法证明,【,分析,】,（,1,）,1+3+5+(2n1)=n,当,n,分别取值,1,、,2,、,3.k,、,k+1,时的命题是什么？,n=1,命题：,1=1,n=2,命题：,1+3=2,n=k,命题：,1+3+5+.+,（,2k-1,）,=k,2,n=k,十,1,命题：,1+3+5,十,.,十,(2k-1),十,(2k+1)=(k+1),2,n=3,命题：,1+3+5=3,2,2.1,数学归纳法及其应用举例,例题讲解,例,1,用数学归纳法证明,【,分析,】(2),第一步应做什么,?,本题的,n,0,应取多少,?,n,0,=1,（,3,）在证传递性时，假设什么？求证什么,?,假设,1+3+5+.+,（,2k-1,）,=k,2,求证,1+3+5,十,.,十,(2k-1),十,(2k+1)=(k+1),2,（,4,）怎样将假设,1+3+5+.+,（,2k-1,）,=k,2,推理变形为,1+3+5,十,.,十,(2k-1),十,(2k+1)=(k+1),2,2.1,数学归纳法及其应用举例,例题讲解,例,1,用数学归纳法证明,证明,：（,1,）当,n,=1,时，左边,=1,，右边,=1,，等式成立,（,2,）假设当 时，等式成立，就是,那么,这就是说，当,n,=,k,+1,时，等式也成立,根据（,1,）和（,2,），可知等式对任何 都成立,用数学归纳法证明：,1,、,1+2+3+n=n(n+1)/2(,nN,),；,证明,:(1),当,n=1,时,左边,=1,右边,=1,等式是成立的。,(2),假设当,n=k,时等式成立，就是,1+2+3+k,=,k(k+1)/2,那么，,1+2+3+k,+(k+1),=,k(k+1)/2,+(k+1),=(k+1)(k+1)+1/2,这就是说，当,n=k+1,时，等式也成立。,因此,根据,(1),和,(2),可断定,等式对于任何,nN,都成立。,练习：,2,、用数学归纳法证明：,1+2+2,2,+2,n-1,=2,n,-1(,nN,*),证明,:(1),当,n=1,时,左边,=1,右边,=1,等式是成立的。,(2),假设当,n=k,时等式成立，就是,1+2+2,2,+2,k-1,=,2,k,-1,那么，,1+2+2,2,+2,k-1,+2,k,=,2,k,-1,+2,k,=22,k,-1,=2,k+1,-1,这就是说，当,n=k+1,时，等式也成立。,因此,根据,(1),和,(2),可断定,等式对于任何,nN,*,都成立。,练习：,归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；,数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；,数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；,数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷,数学归纳法的基本思想：,在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题,数学归纳法的核心,:,在验证命题,n=n,0,正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程,.,所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。,2.1,数学归纳法及其应用举例,课堂小结,2.1,数学归纳法及其应用举例,练习,.,下面是某同学用数学归纳法证明命题,的过程,.,你认为他的证法正确吗,?,为什么,?,(1).,当,n=1,时,左边,=,右边,=,(2).,假设,n=k,时命题成立 即,那么,n=k+1,时,左边,=,右边,即,n=k+1,时,命题也成立,.,由,(1)(2),知,对一切自然数,命题均正确,.,再见！,2005,，,5,，,30,作业：,P67 1,、（,1,）,2,、,3,（,1,）,哥德巴赫猜想,德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：任何大于,5,的整数,都可以表示为三个质数的和,他猜想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明,.1742,年,6,月,6,日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉,欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证明任意大于,2,的偶数能表示为两个质数的和,.,于是,欧拉对大于,2,的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述结论是正确的。,6,月,30,日，他复信哥德巴赫，信中指出：“任何大于,2,的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想,.,返回,