14.1力的功(重庆大学理论力学课件).ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十四章 动能定理,各种运动形式存在能量转换和功的关系，在机械运动中则表现为,动能定理,，与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理从能量角度研究动力学问题，建立了与运动有关的物理量,动能和作用力的物理量,功之间的联系，有时可以方便有效地解决动力学问题。,14-1,力的功,一、常力的功,设质点,M,在大小和方向都不变的力,F,作用下，沿直线走过一段路程,S,，力,F,在这段路程内所积累的效应用力的功来度量，以,W,记之，并定义为,W=,Fcos,s,式中,为力,F,与直线位移,方向之间的夹角。,功是代数量，功的国际单位符号为,J,（,焦耳），等于,1N,的力在同方向,1m,路程上作的功。,二、变力的功,元功,设质点,M,在任意变力,F,作用下沿曲线运动，如图。,力,F,在无限小位移,dr,中力,F,可视为常力，经过的一小段弧长,ds,可视为直线，,dr,可视为沿点,M,的切线。在一无限小位移中力作的功称为元功，记为,W,。则：,采用自然法时：,采用直角坐标法时：,力在全路程上作的功为,元功之和,，即,则力从,M,1,到,M,2,过程作的功为,即,在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。,合力的功,质点,M,受,n,个力 作用，合力为 ，则合力 的功,上式表明：合力在质点任一段路程中所作的功，等于各分力,在同一段路程中所作的功的代数和。,三、几种常见力的功,1,、重力的功,上式表明：重力所作的元功为某一函数的全微分。,重力投影：,可见：重力作功仅与质点运动开始和末了位置的高度差有关，与运动轨迹的形状无关。,质点系,，设质点,i,的质量为,m,i,，,运动始末的高度差为,(,z,i,1,z,i,2,),，,则全部重力作功之和为,质点系重力的功，等于质点系的,重量与其在始末位置重心的高度差的,乘积，而与各质点的路径无关。,质心下降，重力作正功；质心上移，重力作负功,。,当质点,M,运动时，弹簧发生变形（伸长或缩短），弹簧的恢复力作用于质点上。,弹簧的恢复力沿弹簧中心,线而与,M,点的矢径共线。,若在质点的运动过程中，,弹簧的变形量保持在弹性,极限内，满足虎克定律，则弹,性力的大小与变形量成正比。,2,弹性力的功,设有一端固定于,O,点，而它端系一可在空间内自由,运动的质点,M,的螺旋弹簧，弹簧原长,l,0,，,在弹簧的弹性极限内，,弹性力的大小与其变形量,成正比，即,F,k,式中：,k,为 比例系数，称为弹簧常数，表示弹簧的变化量,为一个单位长度时，质点所受弹性恢复力的大小。,单位：,弹性力：,弹性力：,质点的径向单位矢量,无论弹簧受拉或受压，上式总有一个负号。,元功,弹簧力,F,在质点的微元位移,d,r,上所作的元功为,由式看出,弹性力所作的元功为某一函数的全微分。,弹性力的功,弹性力的元功,弹性力的功只与弹簧的起始变形,和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。,上式是计算弹性力作功的普遍公式。,上述推导中轨迹可以是空间任意曲线。,由式可见，,当,1,2,时，弹性力作正功；,1,2,时，弹性力作负功。,弹性力功的大小可由图示的阴影面积表示，其横轴为弹簧变形量,，,纵轴为弹性力的大小,F,。,由图可见，当弹簧变形量由,1,增为,2,，,再由,2,增为,3,时，即使,3,2,2,1,，,在此两段相同位移内，弹性力作功也是不相等的。,3,作用于转动刚体上的力的功，力偶的功,设刚体绕定轴,z,转动，一力,F,作用在刚体上,M,点，,如图所示。,1,、力：,2,、元功：,力,F,对于转轴,z,的矩。,即：作用在转动刚体上的力的元功等于该力对于转轴的力矩,与刚体微小转角的乘积。,元功：,(14.11a),式中,注：如果刚体受一力系作用，则式,(14.11a),中的，,也就是该力系对,转轴,z,的主矩。,力,F,对于转轴,z,的矩,即：作用在转动刚体上的力的元功,等于该力对于转轴的力矩与刚体,微小转角的乘积。,元功：,(14.11a),注：如果作用在刚体上的是力偶，则力偶所作的功仍可,用式,(14.11),计算，其中,M,z,为力偶矩矢,M,在,z,轴上的投影。,若,M,z,=,常量，则,(14.11b),功：,当刚体的转角从 到时,(14.11c),4,、平面运动刚体上力系的功,设平面运动刚体上受到多个力作用。,取刚体的质心,C,为基点，,当刚体有无限小位移时，,任一力,F,i,作用,点,M,i,的位移为,力,F,i,在点,M,i,位移上所作元功为,力,F,i,在点,M,i,位移上所作元功为,如刚体无限小转角为,则转动位移,大小为 。因此，上式后一项,其中,力系全部力所作元功之和为,其中,F,R,为力系的主矢，,M,C,为力系对质心的主矩。刚体质心,C,由,C,1,移到,C,2,，,同时刚体又由,f,1,转到,f,2,时，力系作功为,可见，平面运动刚体上力系的功就等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。,这个结论也适用于作一般运动的刚体，基点也可以是刚体上任意一点。,5,、摩擦力的功,当两刚体沿接触面有相对滑动时，摩擦力是做功的。一般情况下，摩擦力方向与其作用点的运动方向相反，所以摩擦力作负功，其大小等于,摩擦力与滑动距离的乘积。,如果摩擦力作用点没有位移，尽管有静滑动摩擦力存在，但静滑动摩擦力不做功（例如轮子在地面上作只滚不滑运动的情形）。,正压力，摩擦力作用于瞬心,C,处，而瞬心的元位移,(2),圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功,5,摩擦力的功,(1),动滑动摩擦力的功,F,N,=,常量时,W,=,fF,N,S,与质点的路径有关。,(3),滚动摩擦阻力偶,M,的功,若,M,=,常量则,6,、内力的功,动量与动量矩的改变与内力无关，而动能的改变则与内力相关。,例如：汽车上安装的发动机对汽车的牵引力，蒸汽机的蒸汽压力等都是内力，正是由于这些内力作功而使动能增加，使汽车发动起来了。,但内力改变动能还要靠外力来推动，如果将汽车架空起来，使其不受地面摩擦，那么轮子只有空转。如果放在地面上，有外力（摩擦力），汽车则可以开走了。,6,质点系内力的功,只要,A,、,B,两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零,。,不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。,不可伸长的绳索内力功之和等于零。,7,理想约束反力的功,约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束,。,1,光滑固定面约束,3,联接刚体的光滑铰链（中间铰）,2,活动铰支座、固定铰支座和向心轴承,连接两质点的不可伸长的绳索约束,刚体在粗糙面上纯滚动时，点为速度瞬心，,约束力没有位 移，所作元功之和为零。,半径为,2,r,的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上有绕有软绳，轮轴半径为,r,，,绳上作用常值水平拉力,F,，,求轮心,C,运动,x,距离时，力,F,所作的功。,2,r,O,r,C,x,F,例,1,将力,F,向轮心简化，产生力偶,M,C,=Fr,，,轮的转动角度为 。,根据式,力,F,所作的功为,解,：,2,r,O,r,C,x,F,三、功率,1,、定义：,力在单位时间内所作的功，称为功率,。,2,、表达式：,即,功率等于力与速度的标积，或等于力在速度方向的投影与速度大小的乘积,。由此可见，当功率,P,一定时，与 成反比。,(14.20),例如，汽车上坡时，需要较大的牵引力，驾驶员就使用低速档，使汽车的速度减小，以便在功率一定的情况下产生较大的牵引力,4,、功率的单位：,单位,W,(,瓦特,)(,),或,kW(,千瓦,),。,3,、作用于转动刚体上的力矩,(,或力偶矩,),的功率：,(14.21),即：,作用于转动刚体上的力矩,(,或力偶矩,),的功率等于对转轴的力矩,(,或力偶矩,),与角速度的乘积,。,作业,14,1,，,3,，,7,，,8,