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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3.1,二元一次不等式,(,组,),与平面区域,第一课时,问题提出,1.,什么是一元二次不等式？其一般形式如何？,基本概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是,2,的不等式,.,一般形式：或,(,a,0).,2.,在现实生活和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究,.,一元一次不等式和一元二次不等式都只含有一个未知数，在实际问题中，我们将遇到需要用两个未知数来表示不等关系，这是一个新的学习内容,.,二元一次不等,式与平面区域,探究,(,一,),：,二元一次不等式的有关概念,【,背景材料,】,一家银行的信贷部计划年初投入不超过,2500,万元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来,3,万元的收益，其中从企业贷款中获益,12%,，从个人贷款中获益,10%.,因此，信贷部应如何分配贷款资金就成为一个实际问题,.,思考,1,：,设用于企业贷款的资金为,x,万元，用于个人贷款的资金为,y,万元，从贷款总额的角度分析有什么不等关系？用不等式如何表示？,x,y2500,思考,2,：,从银行收益的角度分析有什么不等关系？用不等式如何表示？,(12%)x,(10%)y3,即,6x,5y150,思考,3,：,考虑到用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值，,x,、,y,还要满足什么不等关系？,x0,，,y0,思考,4,：,根据上述分析，银行信贷部分配资金应满足的条件是什么？,思考,5:,不等式,x,y2500,与,6x+5y150,叫什么名称？其基本含义如何？,二元一次不等式,:,含有两个未知数，并且未知数的最高次数是,1,的不等式,.,思考,6:,二元一次不等式的一般形式如何？怎样理解二元一次不等式组？,二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组,.,一般形式：,Ax,By,C0,或,Ax,By,C0,思考,7,：,集合,(x,，,y,)|x,y2500,的含义如何？,满足不等式,x,y2500,的所有有序实数对（,x,，,y,）构成的集合,.,思考,8,：,怎样理解二元一次不等式（组）的解集？,满足二元一次不等式（组）的,x,和,y,的取值构成有序实数对（,x,，,y,），所有这样的有序实数对（,x,，,y,）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集,.,探究,(,二,),：,特殊不等式与平面区域,二元一次不等式（组）的解是有序实数对，而直角坐标平面内点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，所以二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合,.,x,a,x,a,思考,1,：,在平面直角坐标系中，方程,x,a,表示一条直线，那么不等式,x,a,和,x,a,表示的图形分别是什么？,x,y,o,x=a,x,y,o,x=a,思考,2,：,在平面直角坐标系中，不等式,ya,和,ya,分别表示什么区域？,y,a,x,y,o,y=a,y,a,x,y,o,y=a,y,x,思考,3,：,在平面直角坐标系中，不等式,y,x,和,y,x.,分别表示什么区域？,x,y,o,y=x,y,x,x,y,o,y=x,思考,4,：,在平面直角坐标系中，不等式,y,x,和,y,x,分别表示什么区域？,y,x,x,y,o,y=,x,y,x,x,y,o,y=,x,探究,(,三,),：,一般不等式与平面区域,思考,1,：,在平面直角坐标系中，方程,x,y,6,0,表示一条直线，对于坐标平面内任意一点,P,，它与该直线的相对位置有哪几种可能情形？,在直线上；,x,y,6,0,x,y,O,P,P,P,在直线左上方区域内；,在直线右下方区域内,.,思考,2,：,若点,P,（,x,，,y,）是直线,x,y,6,0,左上方平面区域内一点，那么,x,y,6,是大于,0,？还是小于,0,？为什么？,x,y,6,0,x,y,O,P(x,y),A(x,y,0,),x,y,6,0,y,y,0,思考,3,：,如果点,P,（,x,，,y,）的坐标满足,x,y,6,0,，那么点,P,一定在直线,x,y,6,0,左上方的平面区域吗？为什么？,x,y,6,0,x,y,O,P(x,y),A(x,y,0,),x,y,6,0,思考,4,：,不等式,x,y,6,0,表示的平面区域是直线,x,y,6,0,的左下方区域？还是右上方区域？你有什么简单的判断办法吗？,x,y,6,0,x,y,O,x,y,6,0,思考,5,：,不等式,x,y,6,0,和不等式,x,y,6,0,分别表示直线,l,：,x,y,6,0,左下方的平面区域和右上方的平面区域，直线,l,叫做这两个区域的边界,.,那么不等式,x,y,6,0,和,不等式,x,y,6,0,表示的平面区域有,什么不同？在图形,上如何区分？,x,y,6,0,x,y,O,x,y,6,0,x,y,6,0,x,y,6,0,x,y,O,包括边界的区域将边界画成实线，不包括边界的区域将边界画成虚线,.,x,y,6,0,x,y,O,4x,3,y,12,理论迁移,例 画出下列不等式表示的平面区域,.,（,1,）,x,4y,4,；,(2)4x,3y12.,x,4,y,4,x,y,O,x,y,O,1,4,3,4,小结作业,1.,对于直线,Ax,By,C,0,同一侧的所有点,P(x,，,y),，将其坐标代入,Ax,By,C,所得值的符号都相同,.,在几何上，不等式,Ax,By,C,0,（或,0,）表示半平面,.,2.,画二元一次不等式表示的平面区域，常采用,“,直线定界，特殊点定域,”,的方法，当边界不过原点时，常把原点作为特殊点,.,3.,不等式,Ax,By,C,0,表示的平面区域位置与,A,、,B,的符号有关，相关理论不要求掌握,.,作业：,P86,练习：,1,，,2.,（做书上）,P93,习题,3.3 A,组：,1.,3.3.1,二元一次不等式,(,组,),与平面区域,第二课时,问题提出,1.,二元一次不等式有哪两个基本特征？其一般形式如何？,特征：含有两个未知数；,未知数的最高次数是,1.,一般形式：,Ax,By,C,0,或,Ax,By,C0.,2.,怎样画二元一次不等式表示的平面区域？,取特殊点定区域,.,确定边界线虚实,画边界,3.,对实际问题中的,不等关系,，,常需要用二元一次不等式组来表示，因此，如何画二元一次不等式组表示的平面区域，就是一个新的学习内容,.,二元一次不等式,组与平面区域,x,2y,y,3x,12,思考,2,：,不等式,x2y,表示的平面区域是哪一个半平面？,思考,1,：,不等式,y,3x,12,表示的平面区域是哪一个半平面？,探究一：,两个不等式与平面区域,x,y,o,y,3x,12,x,y,o,x,2y,x,y,O,3x,y,12,0,x,2y,0,思考,3:,不等式组,表示的平面区域与上述两个平面区域有何关系？,思考,4,：,两条相交直线,y,3x,12,和,x,2y,将坐标平面分成,4,个角形区域，,其余三个平面区域,(,不含边界,),用不等式组分别如何表示？,3x,y,12,0,x,2y,0,x,y,O,探究（二）：,多个不等式与平面区域,【,背景材料,】,要将两种大小不同的钢板截成,A,、,B,、,C,三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：,3,2,1,第二种钢板,1,1,2,第一种钢板,C,规格,B,规格,A,规格,思考,1:,用第一种钢板,x,张，第二种钢板,y,张，可截得,A,、,B,、,C,三种规格的小钢板各多少块？,3,2,1,第二种钢板,1,1,2,第一种钢板,C,规格,B,规格,A,规格,A,种,:2x,y,块,B,种,:x,2y,块,C,种,:x,3y,块,思考,2,：,生产中需要,A,、,B,、,C,三种规格的成品分别,15,，,18,，,27,块，那么,x,、,y,应满足什么不等关系？用不等式如何表示？,A,种,:2x,y,块,B,种,:x,2y,块,C,种,:x,3y,块,思考,3,：,考虑到,x,、,y,的实际意义，,x,、,y,还应满足什么不等关系？,思考,4,：,按实际要求，,x,、,y,应满足不等式组，,如何画出该不等式组表示的平面区域？,2x,y,15,x,3y,27,x,2y,18,O,x,y,x,O,y,x,y,0,x,y,1,0,理论迁移,例,1,画出下列不等式表示的平面区域,.,（,1,）,（,2,）,y,x,y,2x,x,O,y,y,x,y,2x,例,2,一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产,1,车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐,4t,、硝酸盐,18t,；生产,1,车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐,1t,、硝酸盐,15t.,现库存磷酸盐,10t,、硝酸盐,66t,，在此基础上生产两种混合肥料,.,列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域,.,x,y,O,设,x,，,y,分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，,则,相应的平面区域如图,.,6x,5y,22,4x,y,10,例,3,求不等式组,表示的平面区域的,面积,.,x,y,O,x,y,2,0,x,y,2,0,x,2,小结作业,1.,不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分,.,2.,不等式组表示的平面区域可能是一个多边形，也可能是一个无界区域，还可能由几个子区域合成,.,若不等式组的解集为空集，则它不表示任何区域,.,作业：,P86,练习：,4.,P93,习题,3.3,B,组：,1,，,2.,第一课时,3.3.2,简单的线性规划问题,1,.,“,直线定界，特殊点定域,”,是画二元一次不等式表示的平面区域的操作要点，怎样画二元一次不等式组表示的平面区域？,问题提出,2.,在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题，如何利用数学知识、方法解决这些问题，是我们需要研究的课题,.,线性规划的,基本原理,探究（一）：线性规划的实例分析,【,背景材料,】,某工厂用,A,、,B,两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用,4,个,A,配件耗时,1h,；每生产一件乙产品使用,4,个,B,配件耗时,2h.,该厂每天最多可从配件厂获得,16,个,A,配件和,12,个,B,配件，每天工作时间按,8h,计算,.,思考,1,：,设每天分别生产甲、乙两种产品,x,、,y,件，则该厂所有可能的日生产安排应满足的基本条件是什么？,思考,2,：,上述不等式组表示的平面区域是什么图形？,x,2y,8,x,O,y,y,3,x,4,思考,3,：,图中阴影区域内任意一点的坐标都代表一种生产安排吗？,阴影区域内的整点（坐标为整数的点）代表所有可能的日生产安排,.,x,2y,8,x,O,y,y,3,x,4,思考,4,：,若生产一件甲产品获利,2,万元，生产一件乙产品获利,3,万元，设生产甲、乙两种产品的总利润为,z,元，那么,z,与,x,、,y,的关系是什么？,z,2x,3y.,思考,5,：,将,z,2x,3y,看作是直线,l,的方程，那么,z,有什么几何意义？,直线,l,在,y,轴上的截距的三倍，,或直线,l,在,x,轴上的截距的二倍,.,思考,6,：,当,x,、,y,满足上述不等式组时，,直线,l,：的位置如何变化？,经过对应的平面区域，并平行移动,.,x,2y,8,x,O,y,y,3,x,4,思考,7,：,从图形来看，当直线,l,运动到什么位置时，它在,y,轴上的截距取最大值？,经过点,M,（,4,，,2,）,x,2y,8,x,O,y,y,3,x,4,M,思考,8,：,根据上述分析，工厂应采用哪种生产安排才能使利润最大？其最大利润为多少？,每天生产甲产品,4,件，乙产品,2,件时，工厂可获得最大利润,14,万元,.,M,（,4,，,2,）,x,2y,8,x,O,y,y,3,x,4,探究（二）：线性规划的有关概念,（,1,）线性约束条件：,上述关于,x,、,y,的一次解析式,z,2x,y,是关于变量,x,、,y,的二元一次函数，是求最值的目标，称为线性目标函数,在上述问题中，不等式组是一组对变量,x,、,y,的约束条件，这组约束条件都是关于,x,、,y,的一次不等式，称为线性约束条件,（,2,）线性目标函数：,满足线性约束条件的解（,x,，,y,）叫做可行解,（,3,）线性规划问题：,在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题,（,4,）可行解：,使目标函数取得最大或最小值的可行解叫做最优解,由所有可行解组成的集合叫做可行域,（,5,）可行域：,（,6,）最优解：,，求,z,的最大值和最小值,.,例,1,设,z=2x,y,，变量,x,、,y,满足下列条件,理论迁移,y,X,0,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,x-4y+3=0,3x+5y-25=0,x=1,5,y,X,0,1,2,3,4,6,7,1,2,3,4,5,x-4y+3=0,3x+5y-25=0,x=1,，求,z,的最大值和最小值,.,例,1,设,z=2x,y,，变量,x,、,y,满足下列条件,2x-y=0,B,A,C,最大值为,8,，,最小值为,.,2x,y,0,x,O,y,y,x,x,y,2,y,3x,6,例,2,已知,x,、,y,满足：,求,z,2x,y,的最大值,.,最优解（,3,，,3,），,最大值,9.,M,小结作业,1.,在线性约束条件下求目标函数的最大值或最小值，是一种数形结合的数学思想，它将目标函数的最值问题转化为动直线在,y,轴上的截距的最值问题来解决,.,2.,对于直线,l,：,z,Ax,By,，若,B,0,，则当直线,l,在,y,轴上的截距最大,(,小,),时，,z,取最大,(,小,),值；若,B,0,，则当直线,l,在,y,轴上的截距最大,(,小,),时，,z,取最小,(,大,),值,.,作业：,P91,练习：,1,，,2.,第二课时,3.3.2,简单的线性规划问题,1.,在线性规划问题中，约束条件，目标函数，可行解，可行域，最优解的含义分别是什么？,问题提出,（,1,）线性约束条件：,变量,x,、,y,满足的一次不等式组,关于,x,，,y,的二元函数,（,2,）目标函数：,满足线性约束条件的解（,x,，,y,）,（,3,）可行解：,由所有可行解组成的集合,（,4,）可行域：,使目标函数取得最大或最小值的可行解,（,5,）最优解：,2.,线性规划理论和方法来源于实际又服务于实际，它在实际应用中主要解决两类问题：一是在人力、物力、资金等资源条件一定的情况下，如何使用它们来完成最多的任务；二是对给定的一项任务，如何合理安排和规划，使之以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务,.,对不同的背景材料，我们作些实例分析,.,线性规划的,实际应用,探究（一）：营养配置问题,【,背景材料,】,营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供,0.075kg,的碳水化合物，,0.06kg,的蛋白质，,0.06kg,的脂肪,.,已知,1kg,食物,A,含有,0.105kg,碳水化合物，,0.07kg,蛋白质，,0.14kg,脂肪，花费,28,元；而,1kg,食物,B,含有,0.105kg,碳水化合物，,0.14kg,蛋白质，,0.07kg,脂肪，花费,21,元,.,思考,1,：,背景材料中有较多的相关数据，你有什么办法理顺这些数据？,0.07,0.14,0.105,B,0.14,0.07,0.105,A,脂肪,/kg,蛋白质,/kg,碳水化合物,/kg,食物,/kg,思考,2,：,设每天食用,xkg,食物,A,，,ykg,食物,B,，问题中的约束条件用不等式组怎样表示？,思考,3,：,设总花费为,z,元，则目标函数是什么？,z,28x,21y,思考,4,：,为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要解决什么问题？,在线性约束条件下，求目标函数最小值,.,思考,5,：,作可行域，使目标函数取最小值的最优解是什么？目标函数的最小值为多少？,7x,14y,6,7x,7y,5,14x,7y,6,O,x,y,最优解 ，,最小值,16.,28x,21y=0,A,思考,6,：,上述分析得出什么结论？,每天食用食物,A,约,143g,，食物,B,约,571g,，不仅能够满足日常饮食要求，同时使花费最低，且最小花费为,16,元,.,探究（二）：产品数量控制问题,【,背景材料,】,要将两种大小不同的钢板截成,A,、,B,、,C,三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：,3,2,1,第二种钢板,1,1,2,第一种钢板,C,规格,B,规格,A,规格,生产中需要,A,、,B,、,C,三种规格的成品分别,15,，,18,，,27,块，问分别截这两种钢板各多少张，才能使所用钢板张数最小？,思考,1,：,设用第一种钢板,x,张，第二种钢板,y,张，则,x,、,y,满足的约束条件是什么？目标函数是什么？,约束条件：,z,x,y.,目标函数：,在可行域内取与点,M,最临近的整点，并比较,Z,值的大小,.,最优解（,3,，,9,）和（,4,，,8,）,.,思考,2,：,作可行域，如何确定最优解？,x,O,y,x,3y,27,x,2y,18,x,y=0,2x,y,15,M,思考,3,：,如何回答原来的问题？,结论：,截第一种钢板,3,张，第二种钢板,9,张，或截第一种钢板,4,张，第二种钢板,8,张，才能使所用钢板张数最小，且两种截法都至少要两种钢板,12,张,.,最优解：,（,3,，,9,）和（,4,，,8,）,.,z,x,y.,目标函数：,理论迁移,例,一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产,1,车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐,4t,、硝酸盐,18t,；生产,1,车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐,1t,、硝酸盐,15t.,现库存磷酸盐,10t,、硝酸盐,66t.,若生产,1,车皮甲种肥料，产生的利润为,10 000,元；生产,1,车皮乙种肥料，产生的利润为,5 000,元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,设生产甲、乙两种混合肥料的车皮数分别为,x,，,y,，产生的利润为,z,万元,.,最优解,M,（,2,，,2,），最大利润为,3,万元,.,z,x,0.5y,x,y,O,6x,5y,22,4x,y,10,x+0.5y,0,M(2,2),小结作业,1.,解决线性规划实际问题的基本思路：设相关字母,定约束条件,写目标函数,作可行域,找最优解,求最值,应答实际问题,.,2.,一般地，最优解通常是可行域的顶点，整点最优解在可行域的顶点附近,.,最优解可能有多个，也可能在可行域的边界上取得,.,作业：,P93,习题,3.3 A,组：,3,，,4.,B,组：,3.,
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