高中数学 第七章 三角函数 712 弧度制及其与角度制的换算课件 新人教B版必修第三册 课件.pptx

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第,七,章,三角函数,7.1.2,弧度制及其与角度制的换算,学习目标,1,.,了解弧度制,，,体会引入弧度制的必要性,.,2.,理解,1,弧度的角及弧度的定义,.,3.,掌握角度与,弧度的换算公式,，,能进行角度与弧度的换算,，,并,熟记几个特殊角的弧度数,.,4.,掌握弧度制,中,的弧长公式和扇形面积公式,.,重点,：了解弧度制,，,并能进行弧度与角度的换算,.,难点,：弧度的概念,.,知识梳理,一,、,度量两种角的制度（弧度制与角度制）,角度制,定义,用,度数,作为,单位来度量角的单位制,1,度角,用,周,角,的,1,度角，,记,作,1,弧度制,定义,以,弧度,为,单位来度量角的单位制,1,弧,度角,长度,等于半径长的圆,弧,所对的圆心,角,称为,1,弧,度,的,角,.,它的单位符号时,rad,，读作,弧度,.,注意,：,（,1,）,和,角度制对比，弧度制是以“弧度”为单位来度量的制度，而角度制是以“度”为单位来度量的制度,.,（,2,）,以弧,度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可省略不写，,而只写这个角对应的弧度,数,，,例,如,，,2,表示是,2,rad,的角；,表示,rad,的角的正弦,.,但,以度为单位表示角时，“”不能省略.,（,3,）,1,弧度的角是指等于半径长,的,圆,弧,所对的圆心角，而1度的角是指周角的,的角，二者大小显然不同,.,二,、,弧,度制,与,角度制,的,换算,（,1,）,正,角的弧度数是一个正数,；,（,2,）,负,角的弧度数是一个负数,；,（,3,）,零,角的弧度数是0.,在角度制与弧度制互化时，应注意,：,因,为半径为,r,的圆周长为,2,r，,所以周角的弧度数是,2,，,于是,360,2,rad,，,因此,180 rad,.,由此容易得到弧度制与角度制的换算公式：,设,一,个角的角度数为,n，,弧度数为,，,则,.,由此不难知道,，,0,rad,角就是,0,角,，,它的终边在,x,轴的正半轴,上,；,rad,角就是,90,角,，,它的终边在,y,轴的正半轴,上,；,rad,角就是,180,角,，,它的终边在,x,轴的负半轴,上,；,rad,角就是,270,角,，,它的终边在,y,轴的负半轴,上,.,注意,：,弧,度数的规范表,示,：,以,弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成n的形式，尽量不出现小数，如6730,rad，不必化为,0.375 rad，,除非需要.同样地，不必把写成小数，如45,rad,，不必写成45,0.785 rad.,巧,记,：,数,形结合记忆弧度数,结合直角坐标平面记忆各终边的角的弧度数如下：,三,、,扇形的弧长与面积公式,由弧度制的定义可知,，,在半径为,的圆,中，,若弧长为,的弧所对的圆心角为,rad,，,则,，,由此可得,即,弧长等于,其,所对的圆心角,的,弧度数与半径的积,.,.,扇形的面积为,.,又因为,，,所以,.,【,注意,】,（,1,）,采,用弧度制时,，,弧长公式和扇形面积公式简单明了,，,但,是要注意使用它们的前提是“弧度制”,，,若角是以“度,”,为,单位,，,则应先化为弧度,，,再利用公式,.,（,2,）,由,弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可知,，,对于,四个量,，,可“知二求二”,.,这实质,上,是方程思想,的,应,用,.,常考题型,一,、弧度制,例1,下列命题,中，,正确的是,.,“度”和“弧度”是度量角的两种单位；,1,rad,的角等于,1,度的角；,1,的角是周角的,，1,rad,的角是周角的,；,180,的角,一,定等于,rad,的角,.,【解析】,对于,，,“度”与“弧度”是度量角的两种不同单位,，,需要注意的是：,1,弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,，,弧度是角的度量单位,，,而不是长度的度量单位,，,故正确；,1,rad,，,故错误；,对于,，,用角度制时,，,周角是,360,，,因此,1,的角是周角的,；根据弧度数的计算公式可知周角的弧度数为,2,，,因此,1,rad,的角是周角的,，,故正确；,对于,，,180,的角即平角,，,弧度数为,，,故正确,.,【答案】,训练题,1.在大小不同的圆,中，,1,rad,的圆心角所对的,（）,A,.,弦长相等,B,.,弧长相等,C,.,弦长等于所在圆的半径,D,.,弧长等于所在圆的半,径,2.,2019,贵州安顺高,一,期末下列说法,中,错误的是,.,弧度制下,，,角的集合与实数集,R,之间建立了,一一,对应的关系；,1,弧度是长度为半径长的弧；,1,弧度是长度等于半径长的圆弧所对圆心角的大小；,用弧度作角的单位仅能表示正角,.,D,二,、,角度与弧度的互化,弧,度制与角度制的换算公式,（,1,）,180,rad,；,（,2,）设,一,个角的角度数为,n,，,弧度数为,，,则,.,角度和弧度互化的注意点,1.,角度与弧度的换算公式是角度与弧度互化的重要依据,，,其,中,应记住关系式：,180,rad,（或简写为,180,）,，,它能够帮助我们,更,快、,更,准确地进行运算,.,2.,将角度转化为弧度时,，,如果角度以度、分、秒的形式给出,，,应先将它化为度,，,再转化为弧度,.,3.,将弧度转化为角度时,，,如果弧度给出的是实数,，,如,2,弧度,，,化为度应是,2,.,4.,注意角度制和弧度制不得混用,，,如,，,都是不正确的写法,.,5.,用弧度制表示角时,，,若无精确度要求,，,常常把弧度数用含有的式子表示,，,而不把取近似值计算,.,C,3.,2019,四川成都高,一,检测（,1,）将下列各角进行角度与弧度的互化（角度精确到,0.01,）：,1,，,2,，,3,9，,4,-855,.,（,2,）把下列各角化为,2k,+,（,0,2,，,k,Z,）的形式：,，-315,，,.,例,3,把下列各角化成,2k,+,（,0,2,，,k,）,的形式,，,并指出是第几象限角：,（,1,）,-1 500,；（,2,）,；（,3,）,-4.,【解题提示】,先把角度化为弧度,，,再把角通过加减,2k,，,将角调整到限定,范,围,.,【解】,（,1,）,-1 500,-1 800,+300,-5,360,+300,，,-1 500,可化成,-10,+,，,是第四象限角,.,（,2,）,2,+,，,与,终边相同,，,是第四象限角,.,（,3,）,-4,-2,+,（,2,-4,）,，,-4,与,2,-4,终边相同,，,是第二象限角,.,三,、,象,限角、轴线角、终边相同的角的弧度制表示,终边相同的角的弧度制表示法,用弧度制表示与角终边相同的角的,一,般形式为,+2k,（,k,），,这些角所组成的集合为,|,2k,+,k,.,【易错提醒】,2k,是的偶数倍,，,而不是整数倍；,在同,一,问题,中，,单位制度要统,一，,角度制与弧度制不能混用,.,训练题,1.,将,-1 485,化成,+2k,（,0,2,，,k,Z,）的形式,是（,）,A,.-,-8,B,.,-8,C,.,-10,D,.,-10,2,.,2019,山东潍坊,一中,高,一,检测在（,-4,，,4,）内与角,的终边相同的角是,.,3,.,2019,福建厦门,一中,高,一,检测若角的终边与角,的,终边关,于直线,y,x,对称,，,且（,-4,，,4,）,，,则,.,D,4.用弧度表示顶点在原点,，,始边重合于,x,轴的正半轴,，,终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界,，,如图所示）,.,图,（,1,）,图,（,2,）,图,（,3,）,四,、,弧长与,扇,形面,积公,式,例,4,（,1,）,2019,广东珠海模拟已知扇形的周长是,4,cm,，,则扇形面积最大时,，,扇形的圆心角的弧度数是,（）,A,.2,B.,1,C.,D,.3,（,2,）,2019,湖北七校联考若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,，,则其圆心角的弧度数为,（）,A,.,B.,C.,3,D,.,【解析】,（,1,）设扇形的半径为,R,，,则弧长,，,扇形面积,S,，,当,R,1,时,，,S,最大,，,此时,，,扇形圆心角为,2,弧度,.,（,2,）如图,所示，,等边三角形,ABC,是半径为,r,的圆,O,的内接三角形,，,则线段,AB,所对的圆心角,AOB,，,作,OM,AB,，,垂足为,M,，,在,Rt,AOM,中，,AO,r,，,AOM,，,AM,r,，,AB,r,，,r,，,由,弧长公式得,.,【答案】,（,1,）,A,（,2,）,D,应用弧度制解决问题的方法,（,1,）利用扇形的弧长和面积公式解题时,，,要注意角的单位必须是弧度,.,（,2,）求扇形面积最大值的问题时,，,常转化为二次函数的最值问题,.,（,3,）在解决弧长问题和扇形面积问题时,，,要合理地利用圆心角所在的三角形,.,训练题,1.,2019,广西贺州高二检测已知扇形的圆心角为,，,面积为,，,则扇形的弧长等于,.,2.,已知扇形的周长是,6,cm,，,面积是,2,cm,2,，,则扇形圆心角的弧度数是,（,）,A,.1,B.,4,C.,1,或,4,D.,2,或,4,C,五,、,与弧度有关的实际应用题,例,5,如,图,所示,，,已知,AOB,1,rad,，,点,A,1,，,A,2,，,在,OA,上，,点,B,1,，,B,2,，,在,OB,上，,其,中,的每,一,个实线段和虚线段长均为,1,个单位,，一,个动点,M,从,O,点出发,，,沿着实线段和以,O,为圆心的圆弧匀速运动,，,速度为,1,单位,/,秒,，,则质点,M,到达点,A,10,处所需要的时间为,秒,.,训练题,1.,2019,浙江宁波高,一,联考某书,中,记载计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积,（弦矢,+,矢,2,）,.,弧田（如图,所示,）由圆弧及其所对弦围成,，,公式,中,“弦”指圆弧所对的弦长,，,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,.,现有圆心角为,，,半径为,4,m,的弧田,，,按照,上,述经验公式计算所得弧田面积约是,（）,A,.6,m,2,B.,9,m,2,C.,12,m,2,D.,15,m,2,B,2.,如图,所示，,要修建,一,扇环形花圃,，,外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍,，,周长为定值,，,问当圆心角,为多少时,，,其面积最大？求出最大面积,.,小结,