高考数学 7.2一元二次不等式及其解法总复习课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,要点梳理,1.,一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二,次方程的关系如下表：,7.2,一元二次不等式及其解法,基础知识 自主学习,判别式,=,b,2,-4,ac,0,=0,0),的图象,2.,用程序框图来描述一元二次不等式,ax,2,+,bx,+,c,0,(,a,0),的求解的算法过程为,一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,(,a,0),的根,有两相异,实根,x,1,x,2,(,x,1,0,(,a,0),的解集,_,_,_,ax,2,+,bx,+,c,0),的解集,_,_,_,_,x,|,x,x,1,x,|,x,R,x,|,x,x,2,x,|,x,1,x,0(0),中的,a,均大于,0,若,a,0,的解集为,x,|-1,x,则,ab,的值为 （）,A.-6 B.-5 C.6 D.5,解析,因,x,=-1,是方程,ax,2,+,bx,+1=0,的两根,a,=-3,b,=-2,ab,=6.,C,3.,(2009,四川理，,1),设集合,S,=,x,|,x,|5,T,=,x,|,x,2,+,4,x,-210,则,S,T,=,（）,A.,x,|-7,x,-5 B.,x,|3,x,5,C.,x,|-5,x,3 D.,x,|-7,x,5,解析,S,=,x,|-5,x,5,T,=,x,|-7,x,3,S,T,=,x,|-5,x,3.,C,4.,不等式 的解集是 （）,A.(-,-1)(-1,2 B.-1,2,C.(-,-1)2,+)D.(-1,2,解析,(,x,-2)(,x,+1)0,且,x,-1,-1,x,2.,D,5.,若集合,A,=,x,|,ax,2,-,ax,+10=,则实数,a,的取值范围,是 （）,A.,a,|0,a,4 B.,a,|0,a,4,C.,a,|00,时，相应二次方程中,的,=,a,2,-4,a,0,解得,0,a,4,综上得,a,|0,a,4.,D,题型一 一元二次不等式的解法,【,例,1,】,解下列不等式：,(1)2,x,2,+4,x,+30;,(2)-3,x,2,-2,x,+80;,(3)8,x,-116,x,2,.,首先将二次项系数转化为正数，再看二,次三项式能否因式分解，若能,则可得方程的两根,大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再看,“,”,利用求根公式求解方程的根,而后写出解集,.,题型分类 深度剖析,思维启迪,解,（,1,）,=4,2,-4,2,3=16-24=-80.,方程,2,x,2,+4,x,+3=0,没有实根,.,2,x,2,+4,x,+30,的解集为,.,（,2,）原不等式等价于,3,x,2,+2,x,-80,(,x,+2)(3,x,-4)0,x,-2,或,x,不等式的解集为,(-,-2 ,+).,（,3,）原不等式等价于,16,x,2,-8,x,+10(4,x,-1),2,0.,只有当,4,x,-1=0,即 时不等式成立，,故不等式解集为,探究提高,解一元二次不等式的一般步骤是,:(1),化,为标准形式,;(2),确定判别式,的符号,;(3),若,0,则,求出该不等式对应的二次方程的根,若,0,，则对应,的二次方程无根,;(4),结合二次函数的图象得出不等式,的解集,.,特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项,式能分解因式,则可立即写出不等式的解集,.,知能迁移,1,解下列不等式：,解,（,1,）两边都乘以,-3,，得,3,x,2,-6,x,+20,且方程,3,x,2,-6,x,+2=0,的解是,所以原不等式的解集是,(2),方法一,原不等式即为,16,x,2,-8,x,+10,其相应方程为,16,x,2,-8,x,+1=0,=(-8),2,-4,16=0,上述方程有两相等实根,结合二次函数,y,=16,x,2,-8,x,+1,的图象知,原不等式的解集为,R,.,方法二,8,x,-116,x,2,16,x,2,-8,x,+10(4,x,-1),2,0,x,R,不等式的解集为,R,.,题型二 含参数的一元二次不等式的解法,【,例,2,】,已知不等式,(,a,R,).,(1),解这个关于,x,的不等式,;,(2),若,x,=-,a,时不等式成立,求,a,的取值范围,.,讨论,a,的取值,首先看是否可化为一元二,次不等式，其次看根的大小,.,思维启迪,解,(1),原不等式等价于,(,ax,-1)(,x,+1)0.,当,a,=0,时,由,-(,x,+1)0,得,x,0,时,不等式化为,解得,x,当,a,0,时,不等式化为,若 即,-1,a,0,则,若 即,a,=-1,则不等式解集为空集,;,若 即,a,-1,则,综上所述,a,-1,时,解集为,a,=-1,时,原不等式无解,;,-1,a,0,时,解集为,a,=0,时,解集为,x,|,x,0,时,解集为,(2),x,=-,a,时不等式成立,即,-,a,+11,即,a,的取值范围为（,1,，,+,）,.,探究提高,(1),含参数的一元二次不等式可分为两种,情形,:,一是二次项系数为常数,参数在一次项或常数项,的位置,此时可考虑分解因式,再对参数进行讨论，若,不易分解因式,则要对判别式,分类讨论,分类应不重,不漏,;,二是二次项系数为参数,则应考虑二次项系数是,否为,0,然后再讨论二次项系数不为,0,的情形,以便确定,解集的形式,.,注意必须判断出相应方程的两根的大小,以便写出解集,.,(2),含参数不等式的解法问题,是高考的重点内容，主,要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想,.,知能迁移,2,解关于,x,的不等式,x,2,-(,a,+,a,2,),x,+,a,3,0.,解,原不等式可变形为,(,x,-,a,)(,x,-,a,2,)0,则方程,(,x,-,a,)(,x,-,a,2,)=0,的两个根为,x,1,=,a,x,2,=,a,2,.,当,a,0,时,有,a,a,2,x,a,2,此时原不等式的解集为,x,|,x,a,2,;,当,0,a,a,2,x,a,此时原不等式的解集为,x,|,x,a,;,当,a,1,时,有,a,2,a,x,a,2,此时原不等式的解集为,x,|,x,a,2,;,当,a,=0,时,有,x,0,原不等式的解集为,x,|,x,R,且,x,0;,当,a,=1,时,有,x,1,此时原不等式的解集为,x,|,x,R,且,x,1.,综上可知,:,当,a,1,时,原不等式的解集为,x,|,x,a,2,;,当,0,a,1,时,原不等式的解集为,x,|,x,a,;,当,a,=0,时,原不等式的解集为,x,|,x,0;,当,a,=1,时,原不等式的解集为,x,|,x,1.,题型三 一元二次不等式的应用,【,例,3,】,某种商品,现在定价,p,元,每月卖出,n,件,设定价,上涨,x,成,每月卖出数量减少,y,成,每月售货总金额变,成现在的,z,倍,.,(1),用,x,和,y,表示,z,;,(2),设,y,=,kx,(0,k,1),利用,k,表示当每月售货总金额最,大时,x,的值,;,(3),若 求使每月售货总金额有所增加的,x,值的,范围,.,通过代数化简,将问题转化成解一元二次,不等式问题,.,思维启迪,解,(1),按现在的定价上涨,x,成时,上涨后的定价为,元,每月卖出数量为 件,每月售货总金额是,npz,元,因而,所以,(2),在,y,=,kx,的条件下，,整理可得,由于,0,k,1,，,应有 即,x,(,x,-5)0,，,解得,0,x,0,，方程,R,2,-10,R,+16=0,的两个实数根为,x,1,=2,x,2,=8.,然后画出二次函数,y,=,R,2,-10,R,+16,的图象，,由图象得不等式的解为,2,R,8.,题型四 一元二次不等式的恒成立问题,【,例,4,】,（,12,分）已知不等式,mx,2,-2,x,-,m,+10.,（,1,）若对所有的实数,x,不等式恒成立，求,m,的取值范,围；,（,2,）设不等式对于满足,|,m,|2,的一切,m,的值都成立,求,x,的取值范围,.,（,1,）由于二次项系数含有字母，所以首,先讨论,m,=0,的情况，而后结合二次函数图象求解,.,（,2,）转换思想将其看成关于,m,的一元一次不等式，,利用其解集为,-2,，,2,，求参数,x,的范围,.,思维启迪,解,（,1,）不等式,mx,2,-2,x,-,m,+10,恒成立，即函数,f,(,x,)=,mx,2,-2,x,-,m,+1,的图象全部在,x,轴下方,.,当,m,=0,时，,1-2,x,时，不等式恒成立,不满足题意；,3,分,当,m,0,时，函数,f,(,x,)=,mx,2,-2,x,-,m,+1,为二次函数，,需满足开口向下且方程,mx,2,-2,x,-,m,+1=0,无解，即,综上可知不存在这样的,m,.6,分,(2),从形式上看，这是一个关于,x,的一元二次不等式,可以换个角度，把它看成关于,m,的一元一次不等式，,并且已知它的解集为,-2,2,求参数,x,的范围,.7,分,设,f,(,m,)=(,x,2,-1),m,+(1-2,x,),则其为一个以,m,为自变量的一次函数,其图象是直线,由题意知该直线当,-2,m,2,时线段在,x,轴下方，,探究提高,（,1,）解决恒成立问题一定要搞清谁是自,变量，谁是参数,.,一般地，知道谁的范围，谁就是变,量，求谁的范围，谁就是参数,.,（,2,）对于二次不等式恒成立问题，恒大于,0,就是相应,的二次函数的图象在给定的区间上全部在,x,轴上方,恒,小于,0,就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全,部在,x,轴下方,.,知能迁移,4,已知,f,(,x,)=,x,2,-2,ax,+2,当,x,-1,+),时,f,(,x,),a,恒成立，求,a,的取值范围,.,解,方法一,f,(,x,)=(,x,-,a,),2,+2-,a,2,此二次函数图象的对称轴为,x,=,a,当,a,(-,-1),时，结合图象知，,f,(,x,),在,-1,+),上单调递增，,f,(,x,),min,=,f,(-1)=2,a,+3,要使,f,(,x,),a,恒成立，只需,f,(,x,),min,a,即,2,a,+3,a,解得,a,-3,又,a,-1,-3,a,0,或,ax,2,+,bx,+,c,0.,如解不等式,6-,x,2,5,x,时首先化为,x,2,+5,x,-60,或,ax,2,+,bx,+,c,0),与一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,的关系,.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,（,1,）知道一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0,的根可以写出对,应不等式的解集；,（,2,）知道一元二次不等式,ax,2,+,bx,+,c,0,或,ax,2,+,bx,+,c,0,或,ax,2,+,bx,+,c,0,，如果,a,=0,它实际上是一个,一元一次不等式；,只有当,a,0,时它才是一个一元二次不等式,.,2.,当判别式,0(,a,0),解集为,R,;,ax,2,+,bx,+,c,0),解集为,.,二者不要混为一谈,.,失误与防范,一、选择题,1.,(2009,陕西理,1),若不等式,x,2,-,x,0,的解集为,M,函,数,f,(,x,)=ln(1-|,x,|),的定义域为,N,则,M,N,为,(),A.,0,1)B.(0,1),C.,0,1,D.(-1,0),解析,不等式,x,2,-,x,0,的解集,M,=,x,|0,x,1,f,(,x,)=,ln(1-|,x,|),的定义域,N,=,x,|-1,x,1,则,M,N,=,x,|0,x,1.,定时检测,A,2.,已知不等式,ax,2,-,bx,-10,的解集是 则不等,式,x,2,-,bx,-,a,0,的解集是 （）,A.(2,3)B.(-,2)(3,+),C.D.,解析,由题意知 是方程,ax,2,-,bx,-1=0,的根,所,以由韦达定理得,解得,a,=-6,b,=5,不等式,x,2,-,bx,-,a,0,即为,x,2,-5,x,+60,的解集是,R,q,:-1,a,0,的解集是,R,等价于,4,a,2,+4,a,0,即,-1,a,0.,C,4.,设命题,p,:|2,x,-3|1,q,:,则,p,是,q,的（）,A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要条件,解析,不等式,|2,x,-3|1,的解是,1,x,2,不等式 的解是,1,x,2,则实数,t,的取值,范围是 （）,A.,（,-,-1,）,(4,+),B.(-,2)(3,+),C.(-,-4)(1,+),D.(-,0)(3,+),解析,由题意知,t,2,-2,t,-12,且,t,0,或,-2,t,+62,且,t,3,或,t,0.,D,6.,在,R,上定义运算：,x,*,y,=,x,(1-,y,).,若不等式（,x,-,a,）*,(,x,+,a,)1,对任意实数,x,恒成立，则 （）,A.-1,a,1 B.0,a,2,C.D.,解析,依题设得,x,-,a,-,x,2,+,a,2,0,y,0,满足,f,(,xy,)=,f,(,x,)+,f,(,y,),则不等式,f,(,x,+6)+,f,(,x,)2,f,(4),的解集为,_.,解析,由已知得,f,(,x,+6)+,f,(,x,)=,f,(,x,+6),x,2,f,(4)=,f,(16).,根据单调性得,(,x,+6),x,16,解得,-8,x,0,x,0,所以,0,x,2.,(0,2),8.,若关于,x,的方程,x,2,+,ax,+,a,2,-1=0,有一正根和一负根，,则,a,的取值范围是,_.,解析,令,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+,a,2,-1,二次函数开口向上，若方程有一正一负根，,则只需,f,(0)0,即,a,2,-10,-1,a,1.,-1,a,0,恒成立,则,b,的取值范围是,_.,解析,依题意，,f,(,x,),的对称轴为,x,=1,又开口向下，,当,x,-1,，,1,时，,f,(,x,),是单调递增函数,.,若,f,(,x,)0,恒成立，,则,f,(,x,),min,=,f,(-1)=-1-2+,b,2,-,b,+10,即,b,2,-,b,-20,(,b,-2)(,b,+1)0,b,2,或,b,2,或,b,1,或,x,0,时，不等式即为,故其解集为,当,a,0,时，不等式即为,当,-2,a,0,时，故其解集为,当,a,=-2,时，不等式即为,(,x,+1),2,0,故其解集为,x,|,x,=-1,；,当,a,0,时，解集为,当,-2,a,0,时，解集为,当,a,=-2,时，解集为,x,|,x,=-1;,当,a,-2,时，解集为,12.,已知二次函数,f,(,x,)=,ax,2,+,x,若对任意,x,1,、,x,2,R,恒,有 ,f,(,x,1,)+,f,(,x,2,),成立，不等式,f,(,x,)0,的解,集为,A,.,(1),求集合,A,；,(2),设集合,B,=,x,|,x,+4|0.,（,2,）,B,=,x,|,x,+4|0,，,a,的取值范围为,返回,