第一篇工程力学基础产品与零件的受力分析和计算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,产品与构件的受力分析与计算,2009,级工业设计专业,第一章,引言,任何,机器,或,工程结构,在工作中，都将受到,力,的作用。那么在受力的情况下，它们是否能,正常、,安全地工作,，会不会发生,破坏,，是设计人员必须考虑的问题。,工程中涉及到零件在受力状态下的,强度问题,，需要通过对零件或构件进行受力分析和计算，并恰当地选择材料和设计截面形状，保证其能正常使用。,机器零件或工程构件不能正常工作，发生,破坏,、,过量变形,或,丧失稳定性,，我们称机器或工程结构,失效,，失效一旦发生，将会造成重大损失。,本篇我们就将就零件或构件的,受力分析和计算,、,零件的失效分析和计算,以及,材料选择,进行讨论。以达到避免零件失效，能正常、安全工作的目的。,第一节,工程力学的研究对象和内容,一、对象：,在理论力学的静力学中，将物体看成,刚体,在材料力学中，将物体看成,变形体,二、内容：,1,、理论力学,研究物体由于受力引起的机械运动规律。,分为：,1,）、静力学,2,）、运动学,3,）、动力学,2,、材料力学,研究物体由于受力引起的变形和 发生破坏的规律。考虑物体的：,1,）、强度,2,）、刚度,3,）、稳定性,静力学：是对静止或作匀速运动的物体进行受力分析和计算的力学。,一、静力学研究内容和对象,1.,内容,静力学研究的具体问题是,刚体,在,力系,作用下的,平衡规律,。,2.,对象,刚体,是指,受力,状态下假想,不变形的物体,，是静力学的研究对象。在静力学的研究范围内，都将物体看成刚体。刚体是一个抽象化的理想力学模型。,力系,是指作用在一个物体上的两个或两个以上力所构成的系统。,第二节工程,(,静,),力学基本概念,力系实例,:,5.,等效力系,两个力系,对,同一刚体,的,作用效果,相同，可互相替代，称为,等效力系,。,若一个单独的力与一个力系等效，则单独的力称为力系的,合力,；力系中的每一个力称为此力的,分力,。,如上图，左边由,F,1,、,F,2,和,F,3,组成的力系与右边的,F,单独形成的力系对小车的效果相同，则左面力系与右面力系等效。,F,称为,F,1,、,F,2,和,F,3,的合力，而,F,1,、,F,2,和,F,3,称为,F,的分力。,=,第三节静力学公理,本节介绍的公理和定理是静力学的理论基础，它们是受力分析和计算中的基本依据。,公理一：,二力平衡公理,含义：,受两力作用,的刚体处于,平衡状态,的必要和充分条件是两力相等、方向相反、作用线相同（简称为等值、反向、共线）。,这种受两力作用而处于平衡的刚体称为,二力体,，最常见的是二力杆。,这种平衡是自然界中最简单的平衡。实例：放在桌面上的书本、笔；吊在天花板上的电灯。,注意：,（,1,）必要充分条件，即“,刚体受两力平衡,”与“,两力等值、共线和反向,”可以互推。,当已知两力作用在某一刚体上，而刚体又处于平衡时，可根据该条件判断其所受两力的方向，并可确定两力的作用线为两力作用点的连线。,举例：,棘轮,棘爪,二力杆,BC,二力杆,AB,（,2,）对象是刚体，对非刚体不成立，举例：柔性的绳子，只能承受拉力不能承受压力。,注意：,（,1,）必要充分条件，即“,刚体受两力平衡,”与“,两力等值、共线和反向,”可以互推。,公理二：,加减平衡力系公理,含义：,在刚体上加上或减去任意的平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。,举例：放在地面上的箱子原本受自身重力,G,和地面对箱子的支持力,N,而平衡，现在让两人分别从左右按相反方向用同样大小的力,F,推箱子，也就是在原有力系的基础上加上一个平衡力系，结果箱子任然保持平衡。,推论：力的可传性定理,含义：,作用在刚体上的各力可沿其作用线任意移动作用点，而不改变此力对刚体的作用效应。,证明过程见教材图,1-13,。,=,=,公理三：,力的平行四边形公理,含义：作用在物体上的两个共点力（或称为汇交力）,F,1,、,F,2,，可以合成为一个合力,F,，合力,F,也作用于该点，其大小和方向由这两力为邻边的平行四边形的对角线来确定，即合力等于两个分力的矢量和。,O,O,注意：,公式中的箭头表示矢量（大家在作业中表示矢量时也用这种方式）。,若已知,F,1,和,F,2,的大小数值及两者的夹角为,，可根据余弦定理求出合力,F,的大小数值和方向角,。公式,(1-2),：,在求合力时，也可以用,力三角形,的方法。,O,O,推论：三力平衡汇交定理,含义：刚体受不平行的三力,F,1,、,F,2,和,F,3,作用而平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。,证明过程,:,常用三力平衡汇交定理来进行物体的受力分析。例,F,B,F,O,公理四：力的作用与反作用,公理,含义：两物体间相互作用的力总是等值、反向、共线，并分别作用在这两个物体上。,力总是成对出现的，即有作用力必有反作用力，两者同时存在，同时消失。,注意：条件“,等值、反向、共线,”与二力平衡公理相同，但二力平衡公理中的二力作用在,同一物体,上，而公理四中的两个力却分别作用在,两个物体,上。,举例：,人推小车，在图表示时，加上撇号表示。,第四五节物体的受力分析和受力图,本章主要内容是讨论刚体受力情况下的平衡规律，,为形象直观地反映物体受力情况,，为后面分析和计算的需要，首先,需要对物体上的各种常见受力情况进行分析，并用图形的形式来表达。该图称为,受力图,物体的受力分析就是要分析和研究该物体所受的全部外界作用力（简称,外力,），即弄清这些外力的,大小,、,方向,、,作用线,并且将上述分析的结果用专门的示意图（即,受力图,）表达出来。这种图形我们在前一次课中已经用过了（回顾）。,受力图刚体的简单轮廓图力的矢量箭头,第四五节物体的受力分析和受力图,受力图刚体的简单轮廓图力的矢量箭头,棘轮,棘爪,F,B,F,O,实例演示分析,：,例,:,定滑轮装置,:,由,三个大的部分组成：定滑轮、吊环和大梁。分析,定滑轮、吊环和大梁,的受力情况,并用受力图表示。,分析每一物体的受力，就是将它单独观察，看它在哪些地方与外界发生联系，只要某处与外界发生联系，此处就一定有力的作用。,定滑轮装置受力图,一般情况下将那些能主动引起物体运动或使物体有运动趋势的力称为,主动力（也称为载荷或负荷）,。常见的有物体的重力、人有意识施加给物体的各种作用力，自然界的风力等。,主动力的大小、方向和作用线是已知的，如上例中的大梁的重力,W,。,对所研究物体的运动起阻碍、限制作用的其它外界物体称为,约束物,，简称,约束,，其对研究物体运动的,阻碍、限制作用,是通过,约束力（约束反力或被动力）,来反映,.,如,:F,1,、,F,2,Foy,、,Fox,约束力的大小,往往是,未知,的，必须,通过平衡条件进行求解。,约束力的方向,则可根据约束的类型或形式进行判断，,原则,：,约束力的方向总是与约束所能限制的运动方向相反，并通过两物体的接触点,。,下面讨论工程中常见的约束形式及其约束力方向的确定：,一、柔索约束,工程中的,钢丝绳,、,链条,、,胶带,、,线绳,、,皮带,等都可以简化为柔索。上例子中缠绕在定滑轮上的吊索,3,以及固定在大梁上的绳子,1,和,2,都属于这种情况。,实验表明：柔索只能承受拉力而不能承受压力，如果它作为其它物体的约束物，只能限制该物体沿拉长柔索方向的运动。,柔索约束的,约束力确定原则：,物体受柔索的约束，其所受约束力,(1),只能是拉力；,(2),作用点在柔索与物体的接触点；,(3),作用线沿柔索的中心线，方向背离物体,。,实例,：,二、光滑面,物体与某一支承面直接接触，如果接触处的摩擦力忽略不计时，则支承面对物体的约束作用称为,光滑面约束,。,如地面或桌面对放在它们表面上的物体所起的约束作用、图中型铁的两个斜面对圆轴所起的约束。,经验表明：光滑面约束对物体所起的约束和限制作用表现在接触处的公法线上，阻止物体向着光滑面方向运动。,光滑面约束,的约束力确定原则：,物体受光滑面约束，所受的约束力,(1),必定通过接触点；,(2),作用线沿接触处的公法线方向；,(3),具体指向我们所研究的物体,。,例,:,分析置于墙面和地面上梯子的确受力情况,梯子在,A,、,B,两点与墙面和地面均形成光滑面约束，而接触形式为尖点与平面,这种情况下约束力作用线应垂直于平面。,三、铰链,工程中有一种只限制两构件间的相对移动，而不限制两构件间相对转动的约束称为铰链。具体形式分成下面三,种：,1.,固定座铰链（简称为固定铰链或固定支座）,2.,中间铰链,(,简称中间铰,),3.,活动座铰链,(,简称为可动支座,),1.,固定座铰链（简称为固定铰链或固定支座）,实际结构,:,如图,a,、,b,所示。例,:,门上的活页。为简化问题，,一般将它用规定符号（图,d,）表示,。,固定座铰链,限制,构件既不能沿水平方向,(x,轴,),也不能沿竖直方向,(y,轴,),移动，而只能绕圆柱体中心转动。,原因分析,：图,b,为放大的局部，孔比轴大，则构件,1,和,3,可以相对转动，某个瞬时，轴与孔只能在一点接触，如图中点,.,固定座铰链,就是由两圆形成光滑面约束，根据光滑面约束力的确定原则，,约束力为：通过点的沿接触点处公法线并指向构件,1,的力,F,，如图,c,所示。,x,y,综上所述，,固定铰链的约束力为通过铰链中心而方向沿着某一半径方向的压力,，当两构件转动到其它位置时，由于接触点的位置也会随之发生改变，所以这一压力的指向也同时发生改变。,约束力确定原则：,固定座铰链对物体产生的约束力：,(1),通过铰链中心；,(2),并采用特殊的方法（将,F,正交分解为两个分力,Fx,和,Fy,）来表示任意时刻的约束力，如图,7-8e,所示。,举例：前一节中图,7-2,的棘轮机构和简易三角支架，其中,A,和,C,处的约束类型均为固定铰链。,再如下图。,2.,中间铰链,(,简称中间铰,),形成铰链的两个构件均为活动构件时，这种铰链称为中间铰链。结构,:,如图,a,所示。例,:,折叠的小刀。,一般将它用规定符号（图,b,）的表示,。,约束力确定原则：,中间铰链对物体产生的约束力与固定座铰链基本类似：,(1),通过铰链中心；,(2),也采用,特殊的方法（将,F,正交分解为两个分力,Fx,和,Fy,）来表示任意时刻的约束力,如图,c,、,d,图所示。,注意：图中的,Fx,和,Fx,/,是作用力与反作用力，而,Fy,和,Fy,/,也是作用力与反作用力。,3.,活动座铰链,(,简称为可动支座,),其结构形式与固定铰链近似，不同处在于座体,3,下方通过滚轮,4,与支承在光滑面,5,上，因而可以在光滑面,5,上,(,即,x,轴方向上,),移动，如图,7-12a,所示。,一般将它用规定符号（图,7-12b,的形式）的表示,。,它实际上是由固定铰链和光滑面形成的复合约束。最终它只限制被约束物向着光滑面的内法线方向的运动。,约束力确定原则：,活动座铰链对物体产生的约束力：,(1),通过铰链中心；,(2),作用线垂直于光滑面；,(3),指向我们所研究的物体。,如图,7-12c,所示。,例,:,图,a,所示的梁,AB,，其,A,端为固定座铰链，,B,端为活动座铰链，在梁的,C,点处受到主动力,F,的作用，试作出梁,AB,的受力图。,解：,(1,),选取研究对象并画出其轮廓图：,以,AB,梁为对象，图,b,为其分离体图；,(2),先分析所受的主动力并在分离体上画出：,C,点的主动力,F,，题目中没有要求考虑重力，因此忽略梁的自重；,(3),找出研究对象与外界发生联系的地方，这些地方也就是受外界阻碍、限制的地方即约束和约束力产生的地方：,A,点和,B,点；,(4),判断约束类型，并按对应的约束力确定原则将它们在分离体图上表示出来：,A,点约束类型为固定座铰链，约束力用分解开的,F,Ax,和,F,Ay,表示；,B,点约束类型为活动座铰链，约束力用,F,B,表示。,F,AY,F,AX,F,B,完成的受力图如图,b,所示。,例,:,图,a,所示为一管道支架，支架的两根杆,AB,和,CD,在,E,点相铰接，在,J,、,K,两点用水平绳索相连，已知管道的重力为,W,。不计摩擦和支架、绳索的自重，试作出管道、杆,AB,、杆,CD,以及整个管道支架的受力图。,解：,这道题是要分析由多个物体组成的系统的受力情况。因此按题目要求逐一确定研究对象，具体作分析过程与前一例题相同，但还须注意各个物体间的相互作用关系。,(1,),取,管道,为研究对象,受力图如,b),所示。,(2),取,杆,AB,为研究对象。,受力图如,c),所示。,(3),取,杆,CD,为研究对象。,受力图如,d),所示。,(4),最后取整体为研究对象。,受力图如,e),所示。,注意：,几个物体作为整体进行受力分析时，物体与物体间的相互约束作用力属于,内力,，并相互抵消，无法显露出来，因此,不,能再,画出,这些力。,作业：,教材,15,页：,1-1,、,1-4,、,1-8,、,1-11a,和,c,、,1-12,四、,固定端约束。,=,=,=,四、,固定端约束。,特点,：,某构件的一端被完全固定，此处的所有运动,(,转动和移动,),都被限制,。如埋入地面的电线杆，钉入墙面的钉子等。,约束力确定原则：,物体受固定端约束，其所受约束力包含：,(1),一个约束力偶（通常假设为逆时针方向或空间三个方向的力偶）,限制转动,；,(2),一个约束力（通常正交分解为两个分力或三个方向的分力，分别沿,x,、,y,、,z,轴正向）,限制移动。,例,1-1,碾子重为,P,，拉力为,F,，,A,、,B,处光滑接触，画出碾子的受力图。,解：画出简图,画出主动力,画出约束力,例,1-2,屋架受,:,均布风力,q,（,N/m,），,屋架重为,P,，,画出屋架的受力图。,解：取屋架,画出主动力,画出约束力,画出简图,例,1-3,水平均质梁,AB,重为,P,1,，电动机重为,P,2,，不计杆,CD,的自重，画出杆,CD,和梁,AB,的受力图。图,(a),解：,取,CD,杆，其为二力构件，简称二力杆，其受力图如图,(b),取,AB,梁，其受力图如图,(c),例,1-4,不计三铰拱桥的自重与摩擦，画出左,AC,、右拱,CB,的受力图与系统整体受力图。,解：,右拱,CB,为二力构件，其受力图如图（,b,）所示,左拱,AC,在三个力作用下平衡，按三力平衡汇交定理画出左拱,AC,的受力图，如图（,e,）所示,此时整体受力图如图（,f,）所示,讨论：若左、右两拱都考虑自重，如何画出各受力图？,如图,（,g,）,（,h,）,（,i,）,例,1,5,不计自重的梯子放在光滑水平地面上，画出梯子、梯子左右两部分与整个系统受力图。图,(a),解：,绳子受力图如图（,b,）所示,梯子左边部分受力图如图（,c,）所示,梯子右边部分受力图如图（,d,）所示,整体受力图如图（,e,）所示,提问：左右两部分梯子在,A,处，绳子对左右两部分梯子均有力作用，为什么在整体受力图没有画出？,实际中各种物体的受力情况是不一样的，但为便于讨论，可分为：,空间力系,和,平面力系。,平面力系又可分为：,平面共点力系,平面汇交力系,平面平行力系,平面力偶系,平面一般力系,第二章,第一节平面力系的简化和合成,以后讨论在它们作用下，刚体平衡所需满足的条件，再利用这些条件建立平衡方程式，求解待定问题。,-,称为典型力系,平面汇交力系：,即作用在某一物体上的所有力在同一平面内并相交于同一点。,如图：,上面刚体所受的力的数量都是三个，实际中力的数量没有限制。,研究的,第一个问题：,就是,将多个相交在一点的力合成为一个力,。方法有二种：,一、平面汇交力系合成的,几何法,及平衡条件,二、平面汇交力系合成的,解析法,及平衡条件,F,B,F,O,第一节平面汇交力系的简化和合成,一、平面汇交力系合成的几何法及平衡条件,所谓几何法是指用,作图的方法,求解合力，所使用的基本原理是公理三，即连续作平行四边形，直至将所有分力合成完毕。,实际使用中，,三角形法则,更简单。具体作法：依次将所有分力首尾相接，连成折线，再从出发点向终点作出矢量箭头，即得到合力。当分力数量超过三个，由于作出的最后图形是一个多边形，因此这种方法又称为,力多边形法,。三角形法是力多边形法的特例。,1.,两个汇交力的合成,力三角形规则,2.,多个汇交力的合成,-,力多边形规则,.,.,.,.,.,.,.,.,.,A,A,平衡条件,力多边形自行封闭,三,.,平面汇交力系平衡的几何条件,上述结论可用力的矢量表达式来表示：,由于所有相交的分力都已经合成为一个合力，那么对物体的作用就由这一个力来反映，如果要使物体平衡，则这个合力必须等于零。即,物体在平面,汇交力系作用下平衡的必要和充分条件是力系的合力等于零,。,又由求解合力的作图过程表明：合力是由力多边形的封闭边来表示，而合力为零时，该封闭边不再存在，换句话就说：,平面,汇交力系平衡的,几何条件,是力系中各力构成自行封闭的力多边形。,二力平衡公理,三力平衡汇交定理,是,平面,汇交力系平衡的典型情况,例题,7-3,图,7-17a,所示为一利用定滑轮提升工字钢梁的装置。若已知梁的重力,W=15kN,，几何角度,=45,，不计摩擦和吊索、吊环的自重，试分别用几何法和解析法求吊索,1,和,2,所受的拉力。,解：,一、几何法,1.,取梁为研究对象,2.,受力分析并作出梁的受力图，见图,7-17b,。,3.,判断力系为,平面,汇交力系，列出平衡方程。,5.,解方程选作图比例尺，作出矢量封闭图。,例题,7-3,图,7-17a,所示为一利用定滑轮提升工字钢梁的装置。若已知梁的重力,W=15kN,，几何角度,=45,，不计摩擦和吊索、吊环的自重，试分别用几何法和解析法求吊索,1,和,2,所受的拉力。,解：,一、几何法,5.,解方程选作图比例尺，作出矢量封闭图。,W,大小方向已知，可先作出；,F,1,、,F,2,知道方向，可从力,W,的两个端点作分别作出它们的方向线，与,W,形成封闭三角形。,直接量出两段线段的长度，根据比例尺,折算成力,F,1,、,F,2,的大小。,1.,力在坐标轴上的投影,设有一力,F,并将其放在一个直角坐标系中来考察，如图：过力,F,的起点,A,和终点,B,分别向,x,、,y,坐标轴作垂线，得到垂足,a,1,、,b,1,和,a,2,、,b,2,，我们将坐标轴上的两段线段,a,1,b,1,和,a,2,b,2,称为力,F,在,x,、,y,轴上的投影，并分别用,Fx,和,Fy,表示。,若已知力,F,与,x,轴的夹角为,，则求力,F,的投影的表达式为：,二、平面汇交力系合成的解析法及平衡条件,所谓,解析法,是指用基本数学计算来求解合力，并建立平衡的相应条件，为进行平衡问题的数学求解。,其中,正负号,规定：当由,a,1,到,b,1,和,a,2,到,b,2,的指向,与,x,轴、,y,轴的正方向一致时取,“,+,”,，反之取,“,-,”,。,提醒,:,Fx,和,Fy,表示力 在,x,和,y,轴上的投影,有正负值,是个代数量,;,表示力在,x,和,y,方向的分力,是个有大小、方向的矢量。,在图中，,Fx,应取正，而,Fy,应取负：,2.,合力投影定理,设有一个由,F,1,，,F,2,，,，,F,n,组成的,平面,汇交力系，其合力为,F,，由于力系的合力与整个力系等效，所以,合力在某轴上的投影一定等于各分力在同一轴上的投影的代数和,，这一结论称为合力投影定理。,A,x,y,3.,平面,汇交力系合成的解析法和平衡条件,用解析法求一个,平面,汇交力系的合力：,(1),求出各分力在两坐标轴上的投影；,(2),求出合力在两坐标轴上的投影,Fx,和,Fy,；,(3),求出合力大小,:,平面,汇交力系平衡的条件是合力,F,等于零，要使,F=0,，由上式知必须,F,ix,和,F,iy,同时为零。,所以，,平面,汇交力系平衡的,解析条件,为：力系中各力在两坐标轴上的投影的代数和应分别为零。,上式称为,平面,汇交力系的,平衡方程,。由此最多要以建立两个独立方程，最多可求解两个未知数。,现在我们可以拟定一个求解力学平衡问题的基本步骤（教材,P157-158,页）：,(1),确定研究对象。根据已知与未知的力的关系，确定一个物体或多个物体或整个物体系统作为研究对象。,(2),进行受力分析。,(3),画出受力图。,(4),判断物体受力图所表示的力系是何种力系，并根据其平衡条件，列出平衡方程,-,矢量方程或解析方程。,(5),用几何法或解析法解方程，求出未知量。,例题,7-3,图,7-17a,所示为一利用定滑轮提升工字钢梁的装置。若已知梁的重力,W=15kN,，几何角度,=45,，不计摩擦和吊索、吊环的自重，试分别用几何法和解析法求吊索,1,和,2,所受的拉力。,解：,一、几何法,1.,取梁为研究对象,2.,受力分析并作出梁的受力图，见图,7-17b,。,3.,判断力系为,平面,汇交力系，列出平衡方程。,5.,解方程选作图比例尺，作出矢量封闭图。,例题,7-3,图,7-17a,所示为一利用定滑轮提升工字钢梁的装置。若已知梁的重力,W=15kN,，几何角度,=45,，不计摩擦和吊索、吊环的自重，试分别用几何法和解析法求吊索,1,和,2,所受的拉力。,解：,一、几何法,5.,解方程选作图比例尺，作出矢量封闭图。,W,大小方向已知，可先作出；,F,1,、,F,2,知道方向，可从力,W,的两个端点作分别作出它们的方向线，与,W,形成封闭三角形。,直接量出两段线段的长度，根据比例尺,折算成力,F,1,、,F,2,的大小。,二、解析法,1.,取梁为研究对象,2.,受力分析并作出梁的受力图，见图,7-17b,。,3.,判断力系为,平面,汇交力系，列出平衡方程。,1.2.3.,过程与几何法相同。,4.,列平衡方程,5.,解方程,x,y,力可以改变物体的运动状态或运动趋势,，首先一个,力通过其大小、方向和作用线对刚体的移动产生影响,；其次力还可以,对刚体的转动产生影响,。本节我们将向大家,介绍力如何对物体的转动产生影响。,一、力矩,1.,力矩的概念,力对刚体的转动状态产生影响是通过力矩来实现的。,举例：板手拧螺母,:,第二章,第二节力矩和平面力偶系,要使螺母转动,需要在板手上施加力,F,力,F,的大小、方向以及力,F,到转动中心的距离,h,的改变都将对转动效果产生影响。,工程中我们这样,规定,：刚体受力,F,的作用，并绕一点,O,转动，则称转动中心,O,为,矩心,，矩心到力,F,作用线的垂直矩离,h,称为,力臂,，,F,的大小与,h,的乘积并加正或负号称为,力对,O,点之矩,简称,力矩,用符号,Mo(F),表示,.,即,Mo(F)=Fh,工程中我们这样,规定,：刚体受力,F,的作用，并绕一点,O,转动，则称转动中心,O,为,矩心,，矩心到力,F,作用线的垂直矩离,h,称为,力臂,，,F,的大小与,h,的乘积并加正或负号称为,力对,O,点之矩,简称,力矩,用符号,Mo(F),表示,.,即,Mo(F)=Fh,公式中的正负号分别对应力使刚体转动的两方向,：使之,逆时针转动规定为正；顺时针转动规定为负,。,注意：,力矩是一个代数量,，不同于力。,力矩的单位牛,米（,N,m,）,。,2.,合力矩定理,刚体受一个合力为,F,的平面力系,F,1,F,2,，,F,n,的作用，在该平面内任取一点,O,为矩心，由于合力与整个力系等效，所以合力对,O,点的矩一定等于各个分力对,O,点之矩的代数和。即：,A,Mo(F)=Mo(F,1,)+Mo(F,2,)+Mo(F,n,),例题,P21,图示为一渐开线直齿圆柱齿轮,其齿廓在分度圆上的,P,点处受到一法向力,Fn=1000N,的作用，分度圆的直径,d=200mm,分度圆的压力角,。试求力,n,对轮心点的力矩,O,例题,7-4:P21,解：根据力矩的定义或合力矩定理进行求解。,注意：判断所求力矩的转向并给出正负号。,二、平面力偶系,除了力矩可以对刚体的转动状态产生影响外，力还可以通过另外一种形式对刚体的转动状态产生影响，这就是,力偶,。,1.,力偶和力偶系,我们将,作用在刚体上的一对等值、反向、不共线的平行力称为,力偶,。,如实例：司机转动方向盘，图,2-8,所示。,将组成力偶的,两力之间的距离,h,称为,力偶臂。,两个要素,a.,大小：力与力偶臂乘积,b.,方向：转动方向,力偶矩,力偶中两力所在平面称为,力偶作用面,。力偶两力之间的垂直距离称为,力偶臂,。,2.,力偶矩,1.,何谓力偶,?,力偶对刚体转动状态的影响是通过,力偶矩,来反映。其符号及计算方法为：,Mo(F,、,F,/,),Mo(F,/,)+Mo(F),-F,/,x+F(x+h)=+Fh,注意：,(1),力偶矩大小和方向与矩心的位置无关。,(2),力偶矩的正负号规定与力矩正负号的规定相同，分别表示逆时针,(+),和顺时针,(-),；同样,力偶矩也是一个代数量,；力偶矩的单位也与力矩相同。,2.,力偶的性质,(1),力偶是一个由二个力组成的特殊的不平衡力系，它不能合成一个合力，也不能与力等效或平衡。,力偶只能与其它的力偶等效或平衡,。,(2),只要力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对刚体的转动效应。所以，,决定力偶对刚体转动效应的唯一特征量是力偶矩,，,因此在受力分析中常用图,c,的形式表示力偶。,(3),力偶可以在作用平面内任意转移（转动位置或移动位置），而不会改变它对刚体的转动效应。,刚体在受平面力偶系作用下处于平衡的,必要充分条件,是,所有分力偶矩的代数和等于零,。,即,由于组成力偶的两力对任一点的矩的代数和恒等于力偶矩，所以平面力偶系的,平衡条件,也可表达为,平面力偶系中的所有各力对任一点矩的代数和等于零,。即,3.,平面力偶系的合成与平衡,一个刚体在同一平面内所作用的多个力偶称为,平面力偶系,。平面内的多个力偶可以合成为一个,合力偶,，其,合力偶矩等于所有分力偶矩的代数和,。即,=,=,第二章,第三节平面一般力系,平面一般力系,，指作用在某一刚体上的全部力的作用线任意分布在同一平面上。平面汇交力系和力,偶系都是,平面一般力系的特殊情况。研究,平面一般力系,首先需要将其进行简化处理，而简化的依据是,力线平移定理,。,一、力线平移定理,含义：作用于刚体上的力,F,，可以平行移动到刚体上的任一点，为了不改变移动前后对刚体的作用效果，需要在移动后附加一个,力偶，其力偶矩的大小等于原力,F,对新的作用点之矩。,即,二、平面一般力系的简化,设刚体作用有一个平面一般力系,F,1,、,F,2,、,F,3,，如图,a,。现通过,力线平移定理,将其向所在平面内的任一点,O,简化，,O,点称为,简化中心,。,每个力在平移后，都向新作用点,O,附加一个力,偶，各自大小由定理确定：,T,O1,=M,O,(F,1,),、,T,O2,=M,O,(F,2,),、,T,O3,=M,O,(F,3,),如图,b,图所示。,单独看附加的三个力偶,T,O1,、,T,O2,、,T,O3,，它们组成一个力偶系，可以合成为一个合力偶,T,O,。称其为原力系的,主矩,。即,单独看移动后的三个力,F,1,/,、,F,2,/,、,F,3,/,，它们组成一个汇交力系,可以合成为一个合力,F,/,称其为原力系的,主矢,。即,以上简化过程和结论都可以推广到有,n,个力组成的平面一般力系。,结论,：,平面一般力系可以简化为一个,主矢,和一个,主矩,，见图,7-25c,。,主矢等于各力的矢量和；主矩等于各力对简化中之矩的代数和,。,三、平面一般力系的平衡方程及其应用,由于平面一般力系可以简化为一个主矢和一个主矩，那么,刚体受平面一般力系作用而又平衡的必要和充分条件,为：,主矢和主矩同时为零,，保证刚体即不会发生移动；也不会发生转动。即,:,实际使用中将式中的主矢为零表达式改写为,x,和,y,方向的投影表达式，即,:,上式表明：,平面一般力系的平衡条件,是,力系中各力在两个坐标轴上的投影和分别为零,以及,各力对任一点的矩的代数和为零,。,为了简便起见，一般略去投影式中的下标,i,并常将,M,O,(F,i,),简写为,M,O,，上式进一步简写为,(7-19),式,该,式,称为平面一般力系的平衡方程，前两个为投影方程，后一个为力矩方程，这是三个独立方程，可求解三个未知数。并且这三个方程是最基本的形式，也称为,一力矩式,或,一点式,（一个简化中心即一个点,O,）。,两力矩式,：,注意：为了确保方程均独立，两力矩式方程中,A,、,B,连线不能垂直于,x,或,y,轴。,三力矩式,：,有时平面一般力系的平衡方程还可表达成以下两种形式：,一力矩式,：,注意：为了确保方程均独立，三力矩式方程中,A,、,B,、,C,连线不能为一直线。,下面我们通过实例来讲解有关平面一般力系作用下刚体的平衡问题求解。,例,7-6,如图,7-26a,所示的简易支架，已知横梁,AB,的自重,G=2kN,，最大起重量,W=10kN,，几何尺寸如图，,30,。求图示位置时，杆,CD,所受的力和铰链,A,处的约束力。,解题思路分析,？,？,？,解：,取横梁,AB,为研究对象，进行受力分析，受力图如,7-26b,所示。,由受力图可知横梁受平面一般力系作用，根据平面一般力系平衡条件，列平衡方程,（,可以在一力矩式、两力矩式和三力矩式中任意选择一种,）。,？,？,？,解法,1.,一力矩式（取,A,点为力矩方程的简化中心）,先解出,F,D,，再将其代入前两式解出,F,Ax,、,F,ay,发现,F,D,为正值，说明受力图中假设的方向即为真实方向,；,同时,F,Ax,、,F,Ay,为负值，说明受力图中假设的方向与真实方向相反,(,如图中红色箭头所示,),。,A,处的约束力若用合力表示，则有,:,？,？,？,F,Ay,F,Ax,解法,2,.,两力矩式,（取,A,和,D,点作为两个力矩方程的简化中心，并取,x,轴方向建立投影方程，,AD,连线不垂直于,x,轴）,F,D,、,F,Ay,可直接由方程求出,然后将,F,D,代入第一式，求出,F,Ax,。结果与前面完全相同。,？,？,？,解法,3.,三力矩式,（取,A,、,D,和,C,点作为三个力矩方程的简化中心，,A,、,D,、,C,三点不在一条直线上）,F,D,、,F,ay,、,F,ax,均可直接由方程求出,结果与前面完全相同。,？,？,？,回顾上面建立方程和解方程三种方法，我们发现：,每一个力矩方程都可直接解出一个未知力,。原因在于：,力矩方程的简化中心刚好选在两个未知力的交点上,。,因此求解平面一般力系的平衡问题应尽量采用三力矩式，并注意恰当选择矩心（使两个未知力通过它），这样建立方程后，可以每一个方程直接求出一个未知力，避免了求联立方程的麻烦。,例,P174,页,7-8,题的第,3,小题,求图中梁,AB,所受到的约束力。已知,F=3000N,，,ITI=100N.m,a=200mm,l=60mm,梁的自重不计。,F,Ax,F,Ay,T,A,解题思路分析,F,F,例,P174,页,7-8,题的第,3,小题,显然,AB,梁所受力系为平面一般力系，可列出如下平衡方程,:,解：研究对象取,AB,梁，受力分析（主动力为作用在,B,处的力偶,T,及力,F,；约束力为作用在,A,处的固定端约束力，为一个约束力偶和两个正交分解约束力），受力图如下图所示。,解上面的方程组，结果如下：,由于结果全部为正，说明在受力图中所表示约束力方向均与真实方向相同。,作 业,教材,174,页,：,7-,a),、,b);7-9,第二章,第四节,平面平行力系的平衡方程,平面平行力系的方程为两个，有两种形式,各力不得与投影轴垂直,两点连线不得与各力平行,机身向前（顺时针）翻倒方向,机身向前（顺时针）,不翻倒的条件,:F,A,0,解题思路分析,例：图所示为两腿架在工字钢轨上的一台塔式起重机。设已知机身重力,G=220kN,，最大起吊重力,P=50kN,，各部分几何尺寸如图，求起重机满载时，为保证机身不致向前（顺时针）翻倒，平衡重力,W,的最小值就为多少？,解：以起重机为对象，受力分析（受主动力,G,、,W,、,P,；约束力为,F,A,、,F,B,），受力图如图所示。,通过受力图判断，起重机受力为平面平行力系；,在保证起重机不顺时针翻转，应满足,F,A,0,，取临界时刻建立平衡方程,如下,:,由上式得,:,机身向前（顺时针）不翻倒的条件,:FA0,0,前面介绍了各种典型力系及其平衡问题的求解，而实际工程中出现的往往是多个物体组成的系统，简称,物系。,当物系平衡时，构成物系的各个物体都应处于平衡,下面通过实例介绍物系平衡问题的求解。,因此在求解实际问题，可以根据条件灵活选取一个物体或整体进行研究；对于复杂问题的求解，还可能需要多次选取不同物体作研究对象，还要找出它们之间的相互关系。,第二章,第五节物体系统的平衡,例,7-10,图,7-31a,所示的三铰拱桥由,AC,、,BC,两半拱和,A,、,B,、,C,三个固定座铰链构成。已知载荷,P=6kN,，,W=10kN,，几何尺寸如图，不计拱桥的自重，求两铰链,A,、,B,处的约束力。,解：,A,、,B,处为固定座铰链，约束力分解后为,F,Ax,、,F,Ay,和,F,Bx,、,F,By,，而平面一般力系对一个研究对象最多只能求解三个未知力。,因此只取一个研究对象,无法求出全部未知力。,整体受力按平面一般力系列平衡方程如下：,-(1),-(2),-(3),解,(1)(2),式得,F,Ay,=1kN,；,F,By,=9kN,；,(3),中含有两个未知力，无法求解。,一,.,先取整体为研究对象,进行受力分析，画出受力图如下图所示,AC,拱受力按平面一般力系列平衡方程如下：,-(4),将前面解出的,F,Ay,=1kN,代入,(4),式，解之,F,Ax,=-2kN,，,再将其代入,(3),式，可解得,F,Bx,=-4kN,由于解出的,F,Ay,、,F,By,为正值，说明它们真实指向与假设指向相同；而,F,Ax,、,F,Bx,为负值，说明它们真实指向与假设指向相反。,二,.,再取,AC,半拱为研究对象,进行受力分析，画出受力图如下图所示,本章小节,:,求解物系或物体的平衡问题的步骤及注意事项,:,1.,正确选取研究对象,2.,正确进行受力分析和画出受力图,3.,列平衡方程和求解,作 业,教材,55,页,：,2-11,2-14,2-18,一、空间力系及其平衡条件,1,、,空间力系,：各力的作用线不在同一平面内的力系,Fa,第二章,第六节空间力系和超静定简介,2,、空间力系的平衡条件和平衡方程,平衡方程：,空间任意力系平衡的充分必要条件是：,各力在任意直角坐标系三个坐标轴上的投影的代数和均等于零，各力对此三个坐标轴之矩的代数和也等于零。,例4-8,已知：,各尺寸如图,求：,（2）,A、B,处约束力,（3）,O,处约束力,(1),解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图,又：,结果：,研究对象2：工件,受力图如图,列平衡方程,结果：,二、静定和超静定简介,静定问题,:,用前面讨论的静力学的理论和方法可解决的受力分析问题,超静定问题,(,非静定问题,):,用前面讨论的静力学的理论和方法不可能解决的受力分析问题,G,N,1,N,2,G,N,1,N,2,N,3,静定,超静定,二、静定和超静定简介,静定问题,:,用前面讨论的静力学的理论和方法可解决的受力分析问题,超静定问题,(,非静定问题,):,用前面讨论的静力学的理论和方法不可能解决的受力分析问题,F,Bx,F,By,静定,超静定,物体系的平衡静定和超静定问题举例,例3-2（例21）,已知：,AC=CB=l,P=10kN;,求：,铰链,A,和,DC,杆受力。,（用平面任意力系方法求解）,解：,取,AB,梁，画受力图。,解得,例3-3,已知：,尺寸如图；,求：,轴承,A、B,处的约束力。,解：,取起重机，画受力图。,解得,例3-4,已知：,求：,支座,A、B,处的约束力。,解：取,AB,梁，画受力图。,解得,解得,解得,取轮,画受力图.,解得,解得,解得,例3-11,已知:,DC=CE=CA=C