7.6(1) 第七章直线和圆的方程全部课件 第七章直线和圆的方程全部课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2/15/2026,第七章 直线和圆的方程,7.6圆的方程（1）,圆的标准方程,问题,1,：,具有什么性质的点的轨迹称为圆？,平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,.,问题,2,：图,中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？,圆心,C,是定点，圆周上的点,M,是动点，它,们到圆心距离等于定长,|MC|=r,，圆心和,半径分别确定了圆的位置和大小,问题,3,：求曲线的方程的一般步骤是什么？,其中哪几个步骤必不可少？,（,1,）建立适当的坐标系，用有序实数对例如,(,x,y,),表示曲线上,任意一点,M,的坐标；,（,2,）写出适合条件,p,的点,M,的集合,P=,M|p(M,),；,（,3,）用坐标表示条件,p(M,),，列出方程,f(x,y,)=0,；,（,4,）化方程,f(x,y,)=0,为最简形式；,（,5,）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点,其中步骤,(1)(3)(4),必不可少,下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程,圆的标准方程,解：设,M(x,y,),是圆上任意一点，,x,y,O,r,M,根据圆的定义,|MC|=r,C,由两点间距离公式，得,把式两边平方，得,圆的标准方程,说明：,1.,特点：明确给出了,圆心,和,半径,。,2.,确定圆的方程必须具备,三个,独立的条件。,练习,1.,写出下列各圆的方程：,（,1,）圆心在圆点，半径是,3,；,（,3,）经过点,P(5,1),，圆心在点,C(8,-3),（,2,）圆心在点,C(3,4),，半径是 ；,练习,2.,写出下列各圆的圆心坐标和半径,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,-1,，,2,）,3,例,1.,求以,C(1,3),为圆心，并且和直线,3x-4y-7=0,相切的圆,的方程。,解：设所求圆的方程为,(x-1),2,+(y-3),2,=r,2,因为圆,C,和直线,3x-4y-7=0,相切，,所以圆心到直线的距离等于半径,r,C,x,y,O,r,根据点到直线距离公式，得,因此，所求的圆的方程是,练习,3.,已知一个圆的圆心在原点，并与直线,4x+3y-70=0,相切，求圆的方程。,例,2.,已知圆的方程是,x,2,+y,2,=r,2,，求经过圆上一点,M(x,0,y,0,),的切线的方程。,解：如图，,x,y,O,M(x,0,y,0,),设切线的斜率为,k,半径,OM,的斜率为,k,1,因为圆的切线垂直于过切点的,半径，于是,经过点,M,的切线方程是,整理得，,x,0,x+y,0,y=x,0,2,+y,0,2,因为点,M(x,0,y,0,),在圆上，所以,x,0,2,+y,0,2,=r,2,所求切线方程是,x,0,x+y,0,y=r,2,当点,M,在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。,例,2,已知圆的方程是 ，求经过圆上一点,的切线的方程。,P,(,x,y,),由勾股定理：,|,OM|,2,+|MP|,2,=|OP|,2,解法二（利用平面几何知识）：,在直角三角形,OMP,中,y,x,O,x,0,x,+y,0,y=r,2,P,(,x,y,),y,x,O,例,2,已知圆的方程是 ，求经过圆上一点,的切线的方程。,解法三（利用平面向量知识）：,OM MP=0,OM MP,x,0,x,+y,0,y=r,2,x,2,+,y,2,=r,2,练习,4.,写出过圆,x,2,+y,2,=10,上一点,M,的切线的方程,练习,5.,已知圆的方程是,x,2,+y,2,=1,，,求,（,1,）斜率等于,1,的切线的方程；,（,2,）在,y,轴上截距是 的切线的方程。,所以切线方程为：,y=x,2,提示：设切线方程为,y=,x+b,由圆心到切线的距离等于半径,1,，得：,|b|,1,2,+(-1),2,=1,解得,b=,2,2,（,2,）在,y,轴上截距是 的切线方程。,y=,x+,2,例,3,：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度,AB=20m,，拱高,OP=4m,，在建造时每隔,4m,需用一个支柱支撑，求支柱,A,2,P,2,的长度（精确到,0.01m),y,x,解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（,0,，,b,）圆的半径是,r,则圆的方程是,x,2,+(y-b),2,=r,2,。,把,P(0,4),、,B(10,0),代入圆的方程得方程组：,0,2,+(4-b),2,=r,2,10,2,+(0-b),2,=r,2,解得：,b=-10.5 r,2,=14.5,2,所以圆的方程是：,x,2,+(y+10.5),2,=14.5,2,把点,P,2,的横坐标,x=-2,代入圆的方程，得,(-2),2,+(y+10.5),2,=14.5,2,因为,y0,所以,y=,14.5,2,-(-2),2,-10.5,14.36-10.5=3.86(m),答：支柱,A,2,P,2,的长度约为,3.86m,。,小结,(1),圆心为,C(a,b,),，半径为,r,的圆的标准方程为,(x-a),2,+(,y-b,),2,=r,2,当圆心在原点时,a=b=0,，圆的标准方程为：,x,2,+y,2,=r,2,(2),由于圆的标准方程中含有,a,b,r,三个参数，因此必须具备,三个独立的条件,才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。,(3),注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。,作业：,书,P81,习题,7.6_4,2.,求圆心,C,在直线,x+2y+4=0,上，且过两定点,A(-1,1),、,B(1,-1),的圆的方程。,3.,从圆,x,2,+y,2,=10,外一点,P(4,2),向该圆引切线，求切线方 程。,x+3y=10,或,3x-y=10,(x+),2,+(y+),2,=,3,4,3,4,9,50,作业：,1.,书,P81,习题,7.6_4,